열린집합

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

열린집합은 위상 공간의 기본적인 개념으로, 위상 공간의 부분 집합 중 특정 조건을 만족하는 집합을 의미한다. 위상 $\tau$ 가 주어진 집합 X에서 $\tau$ 의 각 원소를 열린집합이라고 정의하며, 열린집합은 위상 공간의 정의에서 무정의 개념으로 간주되기도 한다. 열린집합은 닫힌집합, 내부, 폐포, 경계, 극한점, 집적점 등과 밀접한 관련을 가지며, 열린집합이면서 닫힌집합인 열린닫힌집합, 정칙 열린집합과 정칙 닫힌집합 등의 개념으로 확장된다. 열린집합은 유한 교집합과 임의의 합집합에 대해 닫혀 있으며, 거리 공간, 전순서 집합, 이산 공간 등에서 다양한 형태로 나타난다.

더 읽어볼만한 페이지

일반위상수학 - 극한
극한은 수학에서 함수의 값이나 수열의 항이 특정 값에 가까워지는 현상을 기술하는 개념으로, ε-δ 논법으로 엄밀하게 정의되며 수렴, 연속성, 미적분학 등 다양한 분야에서 활용되고, 고대 그리스에서 시작하여 19세기에 현대적 정의가 완성되었다.
일반위상수학 - 스콧 위상
스콧 위상은 부분 순서 집합 위에 정의되는 위상으로, 하향 집합과 directed set의 상한에 대해 닫혀있는 집합을 닫힌 집합으로 정의하며, 컴퓨터 과학, 특히 프로그램 의미론에서 연속 함수의 개념을 일반화하고 프로그램의 계산 과정을 모델링하는 데 사용된다.

열린집합
기본 정보
영어	open set
프랑스어	ensemble ouvert
독일어	offene Menge
중국어	开集 (kāijí)
정의
위상 공간	위상 공간 (, )에서 열린 집합은 의 원소이다. 즉, 의 부분 집합 가 열린 집합일 필요충분조건은 ∈ 인 것이다.
유클리드 공간	유클리드 공간 에서, 열린집합은 임의의 점을 중심으로 하는 충분히 작은 열린 공을 포함하는 부분집합이다.
성질
임의의 합집합	열린 집합들의 임의의 합집합은 열린 집합이다.
유한 교집합	열린 집합들의 유한한 교집합은 열린 집합이다.
공집합과 전체집합	공집합과 전체집합은 열린 집합이다.
예
유클리드 공간	유클리드 공간 에서, 열린집합은 다음 성질들을 만족하는 부분집합 이다. 안의 모든 점 에 대해, 를 중심으로 하고 에 완전히 포함되는 열린 공이 존재한다.
거리 공간	거리 공간에서, 열린집합은 그 안의 모든 점을 중심으로 하는 어떤 열린 공을 포함하는 부분집합이다.
이산 공간	이산 공간에서는 모든 부분집합이 열린 집합이다.
비이산 공간	비이산 공간에서는 공집합과 전체집합만이 열린 집합이다.
수직선	수직선에서, 구간 (, )은 열린 집합이다.
폐구간	폐구간 [, ]은 열린 집합이 아니다.
반개구간	반개구간 [, )과 (, ] 역시 열린 집합이 아니다.
같이 보기
관련 개념	닫힌집합 열린 닫힌 집합

2. 정의

Open set^영어의 개념은 추상성의 정도를 포함하여 다양한 부류에 대해 정식화할 수 있다.

직관적으로, 열린 집합은 두 개의 점을 구별하는 방법을 제공한다. 예를 들어, 위상 공간에서 두 점 중 하나에 대해 다른 점을 포함하지 않는 열린 집합이 존재하면, 두 점은 위상적으로 구별 가능하다고 한다. 이러한 방식으로, 구체적인 거리를 정의하지 않고도 위상 공간의 두 점 또는 더 일반적으로 두 개의 부분 집합이 "가까운지" 여부에 대해 말할 수 있다. 따라서 위상 공간은 거리 공간이라고 하는 거리 개념을 갖춘 공간의 일반화로 볼 수 있다.

모든 실수 집합은 자연스러운 유클리드 거리를 갖는다. 즉, 두 실수 사이의 거리를 측정하는 함수가 있다. 따라서 실수 ''x''가 주어지면, 해당 실수에 가까운 모든 점, 즉 ''x''에서 ''ε'' 이내의 집합에 대해 말할 수 있다. 본질적으로, ''x''에서 ε 이내의 점은 ''x''를 ''ε''의 정확도로 근사한다. 여기서 ''ε'' > 0이지만, ''ε''이 점점 작아질수록 ''x''를 더 높은 정확도로 근사하는 점을 얻는다.

일반적으로 0을 근사하는 데 사용되는 0을 포함하는 집합의 집합을 '''''근방 기저''''''라고 한다. 이 근방 기저의 구성원을 열린 집합이라고 한다. 실제로, 이러한 개념은 실수뿐만 아니라 임의의 집합 (''X'')으로 일반화할 수 있다. 이 경우, 해당 집합의 점 (''x'')이 주어지면, ''x''를 근사하는 데 사용되는 ''x'' "주변" (즉, 포함하는) 집합의 모음을 정의할 수 있다. 물론, 이 모음은 거리 측정을 위한 잘 정의된 방법을 갖지 못할 수 있으므로 특정 속성 ('''공리'''라고 알려짐)을 충족해야 한다.

다음은 그 정의의 몇 가지 예시이다.

집합 $X$ 에 대한 위상 $\tau$ 는 다음 속성을 갖는 $X$ 의 부분 집합의 집합이다. $\tau$ 의 각 구성원을 ''열린 집합''이라고 한다.^[10]
* $X \in \tau$ 및 $\varnothing \in \tau$
* $\tau$ 의 집합의 임의의 합집합은 $\tau$ 에 속한다. $\left\{ U_i : i \in I \right\} \subseteq \tau$ 이면, $\bigcup_{i \in I} U_i \in \tau$
* $\tau$ 의 집합의 임의의 유한 교집합은 $\tau$ 에 속한다. $U_1, \ldots, U_n \in \tau$ 이면, $U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \tau$
$X$ 와 $\tau$ 를 함께 위상 공간이라고 한다.

열린 집합의 무한 교집합은 열린 집합일 필요가 없다. 예를 들어,

n

이 양의 정수인 형식

\left( -1/n, 1/n \right)

의 모든 구간의 교집합은 실수선에서 열려 있지 않은 집합

\{ 0 \}

이다.

거리 공간은 위상 공간이며, 그 위상은 열린 공의 합집합인 모든 부분 집합의 모음으로 구성된다. 그러나 거리 공간이 아닌 위상 공간도 있다.

2. 1. 열린집합과 닫힌집합

위상 공간의 정의에서 열린집합은 보통 무정의 개념으로 간주되지만, 위상 공간을 다른 방식으로 정의할 경우, 부분 집합이 열린집합이 되기 위한 여러 동치 조건들이 존재한다. 마찬가지로 닫힌집합이 되기 위한 동치 조건들도 존재한다.

위상 공간

X

의 부분 집합

U\subseteq X

에 대해, 다음은 서로 동치이며, 이를 만족시키는

U

를 '''열린집합'''이라고 한다.

$X\setminus U$ 가 닫힌집합이다.
$U$ 는 내부와 같다. ( $U=\operatorname{int}U$ )
$U=X\setminus\operatorname{cl}(X\setminus U)$ ( $\operatorname{cl}$ 는 폐포)
$U$ 와 경계의 교집합은 공집합이다. ( $U\cap\partial U=\varnothing$ )
$X\setminus U$ 의 극한점 집합과 $U$ 의 교집합은 공집합이 아니다. ( $\operatorname{acc\,pt}_2(X\setminus U)\cap U\ne\varnothing$ )
$X\setminus U$ 의 밀착점 집합은 $X\setminus U$ 와 같다. ( $\operatorname{acc\,pt}_1(X\setminus U)=X\setminus U$ )

위상 공간

X

의 부분 집합

F\subseteq X

에 대해, 다음은 서로 동치이며, 이를 만족시키는

F

를 '''닫힌집합'''이라고 한다.

$X\setminus F$ 가 열린집합이다.
$F$ 는 폐포와 같다. ( $F=\operatorname{cl}F$ )
$F=X\setminus\operatorname{int}(X\setminus F)$ ( $\operatorname{int}$ 는 내부)
경계는 $F$ 의 부분집합이다. ( $\partial F\subseteq F$ )
극한점 집합은 $F$ 의 부분집합이다. ( $\operatorname{acc\,pt}_2(F)\subseteq F$ )
밀착점 집합은 $F$ 와 같다. ( $\operatorname{acc\,pt}_1(F)=F$ )

위상 공간

X

의 열린집합들의 집합족은

\boldsymbol\Sigma^0_1(X)

로, 닫힌집합들의 집합족은

\boldsymbol\Pi^0_1(X)

로 표기한다. (이 기호는 보렐 위계에서 유래한다.)

주어진 부분 집합을 포함하는 최소의 닫힌집합을 폐포라 하며, 주어진 부분 집합에 포함되는 최대의 열린집합을 내부라 한다.

2. 2. 열린닫힌집합

어떤 위상 공간

(X,\mathcal T)

의 부분 집합

S\subseteq X

에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 '''열린닫힌집합'''이라고 한다.

$S$ 는 열린집합이며 닫힌집합이다. 즉, $\{S,X\setminus S\}\subseteq\mathcal T$ 이다.^[10]
$S$ 는 정칙 열린집합이며 정칙 닫힌집합이다. 즉, $S=\operatorname{int}(\operatorname{cl}S)=\operatorname{cl}(\operatorname{int}S)$ 이다.
$\partial S=\varnothing$ . 즉, $S$ 의 경계는 공집합이다.^[11]
$S$ 는 닫힌집합이며, $S\subseteq\operatorname{int}(\operatorname{cl}(S))$ 이다.^[12]

위상 공간

X

의 열린닫힌집합들의 집합족은

\boldsymbol\Delta^0_1(X)

로 표기한다. (이 기호는 보렐 위계의 일부에서 유래한다.)

2. 3. 정칙 열린집합과 정칙 닫힌집합

위상 공간

X

의 부분 집합

U\subseteq X

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합

U\subseteq X

를 '''정칙 열린집합'''(regular open set^영어)이라고 한다.

스스로의 폐포의 내부와 일치한다. 즉, $U=\operatorname{int}(\operatorname{cl}U)$ 이다.^[13]^[14]^[15]
$U=\operatorname{int}(F)$ 인 닫힌집합 $F\subseteq X$ 가 존재한다.
정칙 닫힌집합의 여집합이다.

마찬가지로, 위상 공간

X

의 부분 집합

F\subseteq X

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합

F\subseteq X

를 '''정칙 닫힌집합'''(regular closed set^영어)이라고 한다.

스스로의 내부의 폐포와 일치한다. 즉, $F=\operatorname{cl}(\operatorname{int}F)$ 이다.^[13]^[14]^[15]
$F=\operatorname{cl}(U)$ 인 열린집합 $U\subseteq X$ 가 존재한다.
정칙 열린집합의 여집합이다.

위상 공간

X

의 부분 집합

S

는

\operatorname{Int} \left( \overline{S} \right) = S

이거나, 동등하게는

\operatorname{Bd} \left( \overline{S} \right) = \operatorname{Bd} S

일 때 '''정칙 열린 집합'''이라고 부른다. 여기서

\operatorname{Bd} S

,

\operatorname{Int} S

및

\overline{S}

는 각각

X

에서

S

의 위상 경계, 내부 및 폐포를 나타낸다.

X

의 부분 집합은 그 여집합이 정칙 닫힌 집합일 때 정칙 열린 집합이다. 여기서, 부분 집합

S

가

\overline{\operatorname{Int} S} = S

이거나, 동등하게는

\operatorname{Bd} \left( \operatorname{Int} S \right) = \operatorname{Bd} S

일 때 '''정칙 닫힌 집합'''이라고 정의한다.

모든 정칙 열린 집합 (각각 정칙 닫힌 집합)은 열린 부분 집합 (각각 닫힌 부분 집합)이지만, 일반적으로^[4], 역은 참이 아니다.

3. 성질

위상 공간의 부분 집합에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

colspan=2 \|	정칙 열린집합 ⇒ 열린집합
	⇗		⇘
열린닫힌집합	colspan=3\|	보렐 집합
	⇘		⇗	⇘
colspan=2 \|	정칙 닫힌집합 ⇒ 닫힌집합	colspan=3 \|	준열린집합 ⇒ 부분 집합
colspan=5 \|	⇗
조밀 열린집합의 여집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 제1 범주 집합

임의 개수의 열린 집합의 합집합은 열린 집합이다.^[2] 유한 개수의 열린 집합의 교집합은 열린 집합이다.^[2]

열린 집합의 여집합은 닫힌집합이라고 한다. 공집합과 전체 공간은 열린닫힌집합의 예이다.^[3]

어떤 집합이 열려 있는지 여부는 고려 중인 위상에 따라 다르다. 예를 들어, 구간 $(0, 1)$ 의 유리수 집합 $U$ 는 유리수의 열린 부분 집합이지만, 실수의 열린 부분 집합은 아니다. 이는 주변 공간이 유리수일 때는 $U$ 의 모든 점 $x$ 에 대해 $x$ 로부터 거리 $a$ 이내의 모든 유리수 점이 $U$ 에 속하도록 하는 양수 $a$ 가 존재하기 때문이다. 반면, 주변 공간이 실수일 때는 $U$ 의 모든 점 $x$ 에 대해, $x$ 로부터 거리 $a$ 이내의 모든 실수 점이 $U$ 에 속하도록 하는 양수 $a$ 는 없다 ( $U$ 는 무리수를 포함하지 않기 때문).

$(X, \tau)$ 가 위상 공간일 때, 위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $A \subseteq X$ 에 대해 다음과 같이 정의한다.

'''α-열린 집합''': $A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X A \right) \right)$ 를 만족. 여집합은 '''α-닫힌 집합'''이다.
'''준열린 집합''' ('''근사 열린 집합''', '''국소적 조밀 집합'''): 다음 조건 중 하나를 만족한다.

$A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X A \right).$

$X$ 에서 열린 집합 $U$ 와 조밀 집합 $D$ 가 존재하여 $A = U \cap D$ 이다.

$A$ 가 $U$ 의 조밀 집합이 되는 열린 부분 집합 $U \subseteq X$ 가 존재한다.

준열린 집합의 여집합은 '''준닫힌 집합'''이다.

'''b-열린 집합''': $A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X A \right) ~\cup~ \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X A \right)$ 를 만족. 여집합은 '''b-닫힌 집합'''이다.
'''β-열린 집합''' ('''반준열린 집합'''): 다음 조건 중 하나를 만족한다.

$A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X A \right) \right)$

$\operatorname{cl}_X A$ 는 $X$ 의 정규 닫힌 부분 집합이다.

$U \subseteq A \subseteq \operatorname{cl}_X U$ 를 만족하는 $X$ 의 준열린 부분 집합 $U$ 가 존재한다.

β-열린 집합의 여집합은 '''β-닫힌 집합'''이다.

'''수열 열린 집합''': 다음 조건 중 하나를 만족한다.

$X$ 의 수열이 $A$ 의 어떤 점으로 수렴하면, 그 수열은 결국 $A$ 에 속한다.

$A$ 는 $X$ 에서의 '''수열 내부'''와 같다.

수열 열린 집합의 여집합은 '''수열 닫힌 집합'''이다.

'''거의 열린 집합''' ('''베어 성질'''을 갖는 집합): $A \bigtriangleup U$ 가 희소 부분 집합인 열린 부분 집합 $U \subseteq X$ 가 존재. ( $\bigtriangleup$ 는 대칭 차)^[5]
'''반열린 집합''': $A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X A \right)$ 이거나, $\operatorname{cl}_X A = \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X A \right)$ 이다. 여집합은 '''반닫힌 집합'''이다.
'''θ-열린 집합''' ('''δ-열린 집합'''): 여집합이 θ-닫힌 집합 (δ-닫힌 집합)인 경우이다.

A \subseteq B

인 두 부분 집합

A, B \subseteq X

에 대해, 다음이 성립한다.

모든 α-열린 집합은 반열린 집합, 반준열린 집합, 준열린 집합, b-열린 집합이다.
모든 b-열린 집합은 반준열린 집합 (β-열린 집합)이다.
모든 준열린 집합은 b-열린 집합 및 반준열린 집합이다.
모든 반열린 집합은 b-열린 집합 및 반준열린 집합이다.

정규 열린 집합은 준열린 집합이자 반닫힌 집합이다. α-열린 집합과 반준열린 집합 (resp. 반열린 집합, 준열린 집합, b-열린 집합)의 교집합은 반준열린 집합 (resp. 반열린 집합, 준열린 집합, b-열린 집합)이다. 준열린 집합은 반열린 집합일 필요도 없고 반열린 집합은 준열린 집합일 필요도 없다.

준열린 집합 (resp. α-열린 집합, b-열린 집합, 반준열린 집합)의 임의의 합집합은 다시 준열린 집합 (resp. α-열린 집합, b-열린 집합, 반준열린 집합)이다. 그러나 준열린 집합의 유한 교집합은 준열린 집합일 필요가 없다.

(X, \tau)

의 모든 α-열린 부분 집합의 집합은

\tau

보다 더 세분된

X

에 대한 위상을 형성한다.

3. 1. 연산에 대한 닫힘

집합족	유한 교집합에 대해 닫힘	임의의 교집합에 대해 닫힘	유한 합집합에 대해 닫힘	임의의 합집합에 대해 닫힘	여집합에 대해 닫힘	연속 함수에 대한 원상
열린집합	⭕	❌	⭕		❌	⭕
닫힌집합	⭕		⭕	❌	❌	⭕
열린닫힌집합	⭕	❌	⭕	❌	⭕	⭕
정칙 열린집합	⭕	❌	❌		❌	❌
정칙 닫힌집합	❌		⭕	❌	❌	❌

위 표에서, ⭕는 집합족이 주어진 연산에 대하여 닫혀 있다는 뜻이다.^[13] 예를 들어, 열린집합의 유한 교집합은 항상 열린집합이다. ❌는 일반적인 위상 공간에서 집합족이 주어진 연산에 대하여 닫혀 있지 않을 수 있다는 뜻이며, 특정 위상 공간에서는 집합족들이 추가 연산에 대하여 닫혀 있을 수 있다. 예를 들어, 알렉산드로프 공간에서 열린집합들은 임의의 교집합에 대하여 닫혀 있다.

집합족	상 보존	원상 보존
열린집합	열린 함수	연속 함수
닫힌집합	닫힌 함수	연속 함수

열린집합의 상이 항상 열린집합인 함수는 열린 함수라고 하며, 닫힌집합의 원상이 항상 닫힌집합인 함수는 연속 함수라고 한다.

3. 2. 연결성과의 관계

임의의 위상 공간

X

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$X$ 는 연결 공간이다.
정확히 두 개의 열린닫힌집합을 갖는다. (이는 물론 $X$ 와 $\varnothing$ 이다.)

임의의 열린닫힌집합은 (유한 또는 무한 개의) 연결 성분들의 합집합이다.

유한 개의 연결 성분을 갖는 위상 공간

X

의 부분 집합

A\subseteq X

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

열린닫힌집합이다.
$A=C_1\cup C_2\cup\cdots\cup C_n$ 인 자연수 $n\in\mathbb N$ 및 연결 성분들 $C_1,C_2,\dots,C_n\subseteq X$ 이 존재한다.

그러나 무한 개의 연결 성분을 갖는 위상 공간의 경우, 열린집합이 아닌 연결 성분이 존재할 수 있다.

3. 3. 순서론적 성질

위상 공간

X

의 열린닫힌집합들은 합집합, 교집합, 여집합에 대해 불 대수를 이룬다. 스톤 표현 정리에 따르면, 모든 불 대수는 어떤 위상 공간의 열린닫힌집합 불 대수로 나타낼 수 있다.

위상 공간

X

위의 정칙 열린집합들의 집합족

\operatorname{RegOpen}(X)

에 다음과 같은 연산들을 부여하면 완비 불 대수를 이룬다.^[16]

연산	정의
$\top$	$X$
$\bot$	$\varnothing$
$U \land V$	$U \cap V$
$\lnot U$	$X \setminus \operatorname{cl}(U)$
$U \lor V$	$\operatorname{int}(\operatorname{cl}(U \cup V))$

임의의 정칙 열린집합들의 족 $\mathcal{U}$ 의 상한과 하한은 각각 다음과 같다.

연산	정의
$\bigvee \mathcal{U}$	$\operatorname{int}(\operatorname{cl}(\bigcup \mathcal{U}))$
$\bigwedge \mathcal{U}$	$\operatorname{int}(\operatorname{cl}(\bigcap \mathcal{U}))$

마찬가지로, 위상 공간 $X$ 위의 정칙 닫힌집합들의 집합족 $\operatorname{RegClsd}(X)$ 에 다음과 같은 연산들을 부여하면 완비 불 대수를 이룬다.

연산	정의
$\top$	$X$
$\bot$	$\varnothing$
$F \land G$	$\operatorname{cl}(\operatorname{int}(F \cap G))$
$\lnot F$	$\operatorname{cl}(X \setminus F)$
$F \lor G$	$F \cup G$

임의의 정칙 닫힌집합들의 족 $\mathcal{F}$ 의 상한과 하한은 각각 다음과 같다.

연산	정의
$\bigvee \mathcal{F}$	$\operatorname{cl}(\operatorname{int}(\bigcup \mathcal{F}))$
$\bigwedge \mathcal{F}$	$\operatorname{cl}(\operatorname{int}(\bigcap \mathcal{F}))$

4. 예

위상 공간에서 열린집합의 다양한 예를 살펴보자.

일반적인 위상 공간: 일반적인 위상 공간에서는 무엇이 열린집합이 될 수 있는지가 매우 다양하다. 바탕이 되는 집합이 같더라도, 어떤 부분 집합들을 열린집합으로 선택하느냐에 따라 서로 다른 위상 공간이 된다.
실수 집합의 예: 실수 전체 집합 R^영어에는 자연스러운 유클리드 거리가 있다. 이 거리를 사용하면, 주어진 실수 와 양수 에 대하여, 로부터의 거리가 보다 작은 점들의 집합을 생각할 수 있다. 예를 들어, , 이면, 와의 거리가 이내인 점들은 열린 구간 에 속하는 모든 실수가 된다. 값을 더 작게 하면, 를 더 높은 정밀도로 근사하는 점들을 얻을 수 있다.
열린 구간, 닫힌 구간, 반열린 구간의 예:
실수선 에 유클리드 위상을 부여하면, 열린 구간 는 열린 집합이다. 이러한 열린 구간들의 합집합도 열린 집합이 된다. 예를 들어, 는 두 구간이 서로 만나지 않더라도 열린 집합이다.
열린 구간 은 열린 집합이지만 닫힌 집합은 아니다. 그 여집합은 인데, 이는 열린 구간의 합집합으로 표현할 수 없기 때문이다.
닫힌 구간 는 닫힌 집합이지만 열린 집합은 아니다.
반열린 구간 는 열린 집합도 아니고 닫힌 집합도 아니다. 그 여집합 이 유클리드 위상에 포함되지 않기 때문이다.
유리수 집합의 예: 를 열린 구간 에 속하는 모든 유리수의 집합이라고 하자. 그러면 는 유리수 전체의 공간 에서는 열린 부분 집합이지만, 실수선 에서는 열린 부분 집합이 아니다.

4. 1. 거리 공간

유클리드 공간을 비롯한 거리 공간

(X,d)

에서, 중심이

x\in X

이고 반지름이

r>0

인 열린 공은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{ball}(x,r)=\{y\in X\colon d(x,y)

(X,d)

의 모든 열린 공은 정칙 열린집합이다.

(X,d)

의 열린집합은

X

의 열린 공들의 합집합이다. (다시 말해, 열린 공은

(X,d)

의 기저를 이룬다.)

즉, 임의의 부분 집합

U\subseteq X

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$U$ 는 $X$ 의 열린집합이다.
임의의 $x\in U$ 에 대하여, $\operatorname{ball}(x,r)\subseteq U$ 인 양의 실수 $r>0$ 가 존재한다.

4. 2. 전순서 집합

실수선과 같은 전순서 집합

(X,\le)

의 순서 위상에서, 열린집합은 열린구간들의 합집합이다. 즉, 모든 열린구간

:

(a,b)=\{c\in X\colon a

또는

:

(-\infty,b)=\{c\colon c

또는

:

(a,\infty)=\{c\colon a

은 정칙 열린집합이며, 열린구간들의 합집합은 열린집합이고, 반대로 모든 열린집합은 열린구간의 합집합으로 나타낼 수 있다. 다시 말해, 열린구간들은

(X,\le)

의 기저를 이룬다. (그러나 열린구간들의 합집합이 정칙 열린집합일 필요는 없다.)

4. 3. 이산 공간

임의의 위상 공간

X

에 대하여, 다음 조건들은 모두 서로 동치이다.

$X$ 의 모든 부분 집합은 열린닫힌집합이다.
$X$ 의 모든 부분 집합은 열린집합이다.
$X$ 의 모든 부분 집합은 닫힌집합이다.
$X$ 의 모든 부분 집합은 정칙 열린집합이다.
$X$ 의 모든 부분 집합은 정칙 닫힌집합이다.
$X$ 는 이산 공간이다.

즉, 이산 공간에서는 (정의에 따라) 모든 부분 집합들이 열린집합, 닫힌집합, 정칙 열린집합, 정칙 닫힌집합, 열린닫힌집합이다.

4. 4. 비이산 공간

비이산 공간

X

에서, 열린집합은

X

와

\varnothing

밖에 없다.^[1] 마찬가지로, 닫힌집합, 정칙 열린집합, 정칙 닫힌집합, 열린닫힌집합 또한 이 둘 밖에 없다.^[1]

4. 5. 열린닫힌집합

임의의 위상 공간에서 전체 공간과 공집합은 열린닫힌집합이다.^[3] 유리수 위상 공간

\mathbb Q

에서 구간

(-\infty,\sqrt2)\subseteq\mathbb Q

은 열린닫힌집합이다.

T₁ 공간에서 고립점

x

가 주어졌을 때, 한원소 집합

\{x\}

은 열린닫힌집합이다.

4. 6. 정칙 열린집합이 아닌 열린집합

실수선의 열린집합

:

U=(0,1)\cup(1,2)

을 생각하자. 그렇다면,

:

\operatorname{cl}U=[0,2]

:

\operatorname{int}(\operatorname{cl}U)=(0,2)\supsetneq U

이므로,

U

는 열린집합이지만 정칙 열린집합이 아니다. 마찬가지로, 그 여집합

\mathbb R\setminus U

는 닫힌집합이지만 정칙 닫힌집합이 아니다.

또한, 열린구간

(0,1)

과

(1,2)

는 정칙 열린집합이므로, 정칙 열린집합들은 유한 합집합에 대하여 닫혀 있지 않음을 알 수 있다. 마찬가지로, 정칙 닫힌집합들은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있지 않음을 알 수 있다.

절댓값 함수

|\cdot|\colon\mathbb R\to\mathbb R

는 연속 함수이다. 이 함수 아래, 정칙 열린집합

(0,1)

의 원상

:

|\cdot|^{-1}\left[(-1,1)\right]=(-1,0)\cup(0,1)

은 열린집합이지만 정칙 열린집합이 아니다. 즉, 정칙 열린집합은 연속 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있지 않다.

5. 역사

열린집합·닫힌집합 개념은 극한점 개념이 등장한 이후 발달되었다.^[19]

‘닫힌집합’(abgeschlossene Menge|아프게슐로세네 멩게^de)이라는 용어는 게오르크 칸토어가 1884년에 최초로 사용하였다.^[19]^[17]^[18]

‘열린집합’(domaine ouvert|도멘 우베르^프랑스어)이라는 용어는 르네루이 베르가 1899년 박사 학위 논문에서 최초로 사용하였다.^[19]^[20]

참조

_[1] 서적 A Mathematical Gift: The Interplay Between Topology, Functions, Geometry, and Algebra https://books.google[...] American Mathematical Society
_[2] 서적 Complex Variables https://books.google[...] American Mathematical Society
_[3] 서적 Essentials of Topology With Applications https://books.google[...] CRC Press
_[4] 문서
_[5] 간행물 Measure and Category https://books.google[...] Springer-Verlag
_[6] 간행물 Topology. Vol. 1 Academic Press and Polish Scientific Publishers
_[7] 서적 A Mathematical Gift: The Interplay Between Topology, Functions, Geometry, and Algebra https://books.google[...] American Mathematical Society
_[8] 서적 Complex Variables https://books.google[...] American Mathematical Society
_[9] 서적 Essentials of Topology With Applications https://books.google[...] CRC Press
_[10] 서적 Introduction to lattices and order Cambridge University Press 2002
_[11] 서적 Introduction to topology https://archive.org/[...] Allyn and Bacon 1975
_[12] 서적 位相空間論とその応用研究会八代工業高等専門学校 1998
_[13] 서적 General topology http://store.doverpu[...] Addison-Wesley 1970
_[14] 서적 Counterexamples in topology Springer 1978
_[15] 서적 Classical descriptive set theory Springer-Verlag 1995
_[16] 서적 Introduction to Boolean algebras Springer-Verlag 2009
_[17] 저널 Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. Nr. 6 http://resolver.sub.[...] 1884
_[18] 저널 De la puissance des ensembles parfaits de points. Extrait d’une lettre addressée à l’editeur http://fa.its.tudelf[...] 1884-03-04
_[19] 저널 The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology 2008-08
_[20] 저널 Sur les fonctions de variables réelles 1899

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com