브레치나이더 공식

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1. 개요
2. 공식
3. 증명
- 3.1. 삼각함수를 이용한 증명
- 3.2. 다른 증명 방법
4. 관련 공식
5. 일반화
6. 역사
7. 추가 정보
참조

1. 개요

브레치나이더 공식은 임의의 사각형의 넓이를 계산하는 공식으로, 사각형의 네 변의 길이와 마주보는 두 각의 합을 이용하여 표현된다. 이 공식은 원에 내접하는 사각형의 넓이를 구하는 브라마굽타 공식을 일반화한 것이며, 삼각형의 넓이를 구하는 헤론의 공식 또한 일반화한다. 브레치나이더 공식은 1842년 카를 안톤 브레치나이더와 카를 게오르크 크리스티안 폰 슈타우트에 의해 독립적으로 발견되었다.

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브레치나이더 공식

2. 공식

임의의 사각형의 각 변의 길이를 ''a'', ''b'', ''c'', ''d''라고 하고, 반둘레를 ''s'' ( $s=\frac{a+b+c+d}{2}$ )라고 하자. 마주보는 두 각의 크기를 각각 α, γ라고 할 때, 이 사각형의 넓이 ''S''는 다음과 같이 주어진다.

$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)}$

이를 '''브레치나이더 공식'''(Bretschneider's formula^eng)이라고 한다.

브레치나이더 공식은 다음과 같이 표현될 수도 있다.

$S = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}$

$= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{2} abcd [ 1 + \cos (\alpha+ \gamma) ]}$

여기서, ''a'', ''b'', ''c'', ''d''는 사각형의 네 변의 길이이고, ''s''는 반둘레이며, α와 γ는 마주보는 두 각이다. 사각형의 내각의 합은 $360^\circ$ 이므로, 다른 마주보는 두 각 β와 δ에 대해서도 $\cos\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right) = \cos\left(\frac{360^\circ - (\beta+\delta)}{2}\right)$ 가 성립하여 어떤 마주보는 각을 사용해도 동일한 결과를 얻는다.

브레치나이더 공식은 삼각형 넓이를 구하는 헤론의 공식을 사각형에 대해 일반화한 것으로 볼 수 있으며, 특히 원에 내접하는 사각형의 넓이를 구하는 브라마굽타 공식을 포함하는 더 일반적인 공식이다. 사각형이 원에 내접하는 경우, 마주보는 두 각의 합은 $180^\circ$ ( $\alpha + \gamma = 180^\circ$ )가 되므로, $\cos\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right) = \cos(90^\circ) = 0$ 이다. 이 값을 브레치나이더 공식에 대입하면 $abcd\cos^2\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)$ 항이 0이 되어 브라마굽타 공식 $S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ 과 같아진다.

3. 증명

브레치나이더 공식은 사각형의 넓이를 네 변의 길이와 마주보는 두 각의 합을 이용하여 나타낸다. 증명은 일반적으로 사각형을 두 개의 삼각형으로 나누어 넓이를 구하는 방식에서 시작한다. 각 삼각형의 넓이를 구하고 이를 합한 뒤, 코사인 법칙을 이용하여 사각형의 대각선 길이를 두 가지 방식으로 표현하고 이 식들을 연립하여 공식을 유도한다.

자세한 유도 과정은 아래의 삼각함수를 이용한 증명에서 확인할 수 있다. 또한, Emmanuel García가 일반화된 반각 공식을 사용하여 제시한 대체 증명 방법도 있다.^[1] (다른 증명 방법 참조)

3. 1. 삼각함수를 이용한 증명

사각형의 네 변의 길이를 ''a'', ''b'', ''c'', ''d''라 하고, 마주보는 두 각을 ''α'', ''γ''라고 하자. 사각형의 넓이 ''K''는 두 삼각형의 넓이 합으로 나타낼 수 있다.

:

K = \frac{1}{2} ad \sin \alpha + \frac{1}{2} bc \sin \gamma

양변에 2를 곱하고 제곱하면 다음과 같다.

:

4K^2 = (ad)^2 \sin^2 \alpha + (bc)^2 \sin^2 \gamma + 2abcd \sin \alpha \sin \gamma

코사인 법칙에 따라 대각선 ''BD''의 길이의 제곱은 두 삼각형에서 각각 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

a^2 + d^2 - 2ad \cos \alpha = BD^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \gamma

따라서 다음 등식이 성립한다.

:

a^2 + d^2 - 2ad \cos \alpha = b^2 + c^2 - 2bc \cos \gamma

이 식을 정리하면 다음과 같다.

:

a^2 + d^2 - b^2 - c^2 = 2ad \cos \alpha - 2bc \cos \gamma

양변을 2로 나누고 제곱하면 다음과 같다.

:

\frac{(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2}{4} = (ad)^2 \cos^2 \alpha + (bc)^2 \cos^2 \gamma - 2abcd \cos \alpha \cos \gamma

앞서 구한

4K^2

식과 이 식을 더하면 다음과 같다.

:

\begin{align} 4K^2 + \frac{(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2}{4} &= (ad)^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (bc)^2 (\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma) + 2abcd (\sin \alpha \sin \gamma - \cos \alpha \cos \gamma) \\ &= (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd (\cos \alpha \cos \gamma - \sin \alpha \sin \gamma) \\ &= (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd \cos (\alpha + \gamma) \end{align}

여기서 삼각함수 항등식

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

과 코사인 덧셈정리

\cos(\alpha + \gamma) = \cos \alpha \cos \gamma - \sin \alpha \sin \gamma

를 사용했다.

우변을 완전제곱식으로 변형하고 코사인 반각 공식

1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}

을 이용하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

:

\begin{align} (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd \cos (\alpha + \gamma) &= (ad + bc)^2 - 2abcd - 2abcd \cos(\alpha + \gamma) \\ &= (ad + bc)^2 - 2abcd (1 + \cos(\alpha + \gamma)) \\ &= (ad + bc)^2 - 4abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) \end{align}

따라서 다음 등식이 성립한다.

:

4K^2 + \frac{(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2}{4} = (ad + bc)^2 - 4abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)

양변에 4를 곱하면 다음과 같다.

:

16K^2 + (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 = 4(ad + bc)^2 - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)

이 식은 브라마굽타 공식의 증명 과정과 유사하게 다음과 같이 변형할 수 있다.

:

16K^2 = (2ad)(2bc) - (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)

:

16K^2 = (2ad + 2bc)^2 - (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)

:

16K^2 = (2ad + 2bc + a^2 + d^2 - b^2 - c^2)(2ad + 2bc - a^2 - d^2 + b^2 + c^2) - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)

:

16K^2 = ((a+d)^2 - (b-c)^2)((b+c)^2 - (a-d)^2) - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)

:

16K^2 = (a+d-b+c)(a+d+b-c)(b+c-a+d)(b+c+a-d) - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)

:

16K^2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d) - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)

사각형의 반둘레

s = \frac{a+b+c+d}{2}

를 도입하면

a+b+c-d = 2(s-d)

,

a+b-c+d = 2(s-c)

,

a-b+c+d = 2(s-b)

,

-a+b+c+d = 2(s-a)

이므로 위 식은 다음과 같이 간단해진다.

:

16K^2 = 16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)

양변을 16으로 나누면 다음과 같다.

:

K^2 = (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)

양변에 제곱근을 취하면 브레치나이더 공식을 얻는다.

:

K = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}

코사인 반각 공식

\cos^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac {1 + \cos \theta}{2}

을 이용하면 공식을 다음과 같은 형태로도 쓸 수 있다.

:

K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{2} abcd [ 1 + \cos (\alpha+ \gamma) ]}

Emmanuel García는 일반화된 반각 공식을 사용하여 대체 증명을 제시하기도 했다.^[1]

3. 2. 다른 증명 방법

Emmanuel García는 일반화된 반각 공식을 사용하여 대체 증명을 제시했다.^[1]

사각형의 면적을 ''S''라고 하면,

:

S=\pm\bigtriangleup \text{ADB}\pm\bigtriangleup \text{BDC}

(±는 볼록 사각형과 오목 사각형의 경우를 나타낸다)

:

\begin{align}&=\frac{1}{2} ps\sin A+\frac{1}{2} qr\sin C\end{align}

에서

:

4S^2=(ps)^2 \sin ^2 A+(qr)^2\sin ^2 C+2pqrs\sin A\sin C

을 얻는다. 또한, 코사인 법칙에서,

:

\text{BD}^2 =p^2 +s^2 -2ps\cos A=q^2 +r^2 -2qr\cos C

이므로

:

\frac{1}{4} (q^2 +r^2 -p^2 -s^2 )^2 =(ps)^2 \cos^2 A+(qr)^2 \cos^2 C-2pqrs\cos A\cos C

을 얻는다. 4S²에 관한 식과 변변 더하면, 덧셈 정리

\cos(A + C) = \cos A \cos C - \sin A \sin C

를 사용하면,

:

4S^2 +\frac{1}{4} (q^2 +r^2 -p^2 -s^2 )^2 =(ps)^2 +(qr)^2 -2pqrs\cos (A+C)

이 된다. 배각 공식

1+\cos \theta =2\cos^2 \frac{\theta}{2}

를 사용하여 변형하면,

:

16S^2=(p+q+r-s)(p+q-r+s)(p-q+r+s)(-p+q+r+s)-16pqrs\cos ^2 \frac{A+C}{2}

이 된다. 이 식은, 반둘레

:

T=\frac{p+q+r+s}{2}

을 사용하여

:

16S^2=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)-16pqrs\cos ^2 \frac{A+C}{2}

이 되어, 브레치나이더 공식을 얻는다.

4. 관련 공식

수학에서는 종종 특수한 경우의 수식을 일반화하여 더 넓은 범위에 적용 가능한 공식을 만드는 방식으로 발전해왔다. 행렬식에서 행렬 개념이 확장된 것처럼, 원에 내접하는 사각형의 넓이를 구하는 브라마굽타 공식을 일반화하여 임의의 사각형에 적용할 수 있는 브레치나이더 공식이 유도되었다.

브레치나이더 공식은 임의의 사각형의 네 변의 길이를 각각 a, b, c, d라 하고, 마주보는 두 각의 크기를 $\alpha, \gamma$ 라고 할 때, $\theta = \frac{\alpha+\gamma}{2}$ (마주보는 두 각의 합의 절반)를 이용하여 사각형의 넓이 ''S''를 다음과 같이 구한다.

: $S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\theta}$

여기서 s는 사각형 둘레 길이의 절반(반둘레)으로, $s=\frac{a+b+c+d}{2}$ 이다.

이 공식은 원내 사각형의 넓이에 대한 브라마굽타 공식을 일반화한 것이며, 브라마굽타 공식은 다시 삼각형의 넓이에 대한 헤론의 공식을 일반화한 것으로 볼 수 있다. 즉, 브레치나이더 공식은 이들 공식을 포괄하는 더 일반적인 형태이다.

사각형이 원에 내접하지 않는 경우, 브레치나이더 공식의 삼각 함수 부분을 사각형의 변과 두 대각선의 길이 ''e'' 와 ''f'' 를 사용하여 다음과 같이 삼각 함수 없이 나타낼 수도 있다.^[2]^[3]

: $\begin{align}S &=\tfrac{1}{4}\sqrt{4e^2f^2-(b^2+d^2-a^2-c^2)^2} \\&=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{4}((ac+bd)^2-e^2f^2)} \\&=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{4}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)} \\\end{align}$

4. 1. 브라마굽타 공식

수학에서는 특수한 경우의 수식을 일반화하여 더 넓은 범위에 적용 가능한 공식을 만드는 방식으로 발전해 온 역사가 있다. 이는 특수한 경우인 행렬식으로부터 보다 일반화된 행렬이 생겨난 것과 유사하다. 마찬가지로, 특수한 경우인 "원에 내접하는 사각형"의 넓이를 구하는 공식인 브라마굽타 공식으로부터 보다 일반화된 브레치나이더 공식이 구체화되었다.

원에 내접하는 사각형의 네 변의 길이가 각각 a, b, c, d일 때, 이 사각형의 넓이 ''S''는 다음과 같이 구할 수 있다.

:

S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

여기서 s는 사각형 둘레 길이의 절반(반둘레)을 의미하며, 다음과 같이 계산한다.

:

s=\frac{a+b+c+d}{2}

이 공식은 인도의 수학자 브라마굽타의 이름을 따서 명명되었다.

브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 특별한 경우로 볼 수 있다. 브레치나이더 공식은 임의의 사각형에 대한 넓이 공식으로, 다음과 같다.

:

S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\theta}

여기서 θ는 사각형의 마주보는 두 각의 합을 2로 나눈 값이다. 만약 사각형이 원에 내접한다면, 마주보는 두 각의 합은 항상 180°가 된다. 따라서 θ = 180°/2 = 90°가 되고, 코사인 값인 cos(90°) = 0이므로 cos²θ = 0이 된다. 이 값을 브레치나이더 공식에 대입하면 뒤의 항 `abcd cos²θ`가 0이 되어 브라마굽타 공식과 정확히 일치하게 된다.

:

S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2(90^\circ)} = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-0} = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

즉, 브라마굽타 공식은 원에 내접하는 사각형이라는 특수한 조건 하에서 성립하는 넓이 공식이다. 이는 다시 삼각형의 넓이를 구하는 헤론의 공식을 일반화한 것으로 볼 수도 있다.

4. 2. 헤론의 공식

브레치나이더 공식은 삼각형의 넓이를 구하는 헤론의 공식을 일반화한 것으로 볼 수 있다.^[2]^[3] 브레치나이더 공식 증명 과정에서 사각형의 한 변의 길이, 예를 들어 ''p''를 0으로 두면 삼각형의 넓이를 구하는 경우가 된다. 이때 삼각형의 세 변을 ''q'', ''r'', ''s''라 하고, 반둘레(세 변 길이 합의 절반)를 ''T''라고 하면, 넓이 ''S''는 다음과 같은 헤론의 공식으로 표현된다.

:

S = \sqrt{T(T-q)(T-r)(T-s)}

이는 세 변의 길이가 주어졌을 때 삼각형의 넓이를 구하는 잘 알려진 공식이다. 즉, 헤론의 공식은 브레치나이더 공식에서 한 변의 길이를 0으로 두는 특수한 경우로 유도될 수 있다.

4. 3. 쌍심 사각형의 넓이 공식

원에 내접하는 사각형의 넓이는 네 변의 길이를

p, q, r, s

라 하고,

T = \frac{p+q+r+s}{2}

(반둘레)라 할 때 브라마굽타의 공식에 의해 다음과 같이 주어진다.

S = \sqrt{(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}

한편, 원에 외접하는 사각형은 마주보는 두 변의 길이의 합이 서로 같다는 성질(

p+r=q+s

)을 가지며, 이 경우 반둘레

T

는

T = \frac{(p+r)+(q+s)}{2} = p+r = q+s

가 된다.

쌍심 사각형은 원에 외접하는 동시에 내접하는 사각형이다. 따라서 쌍심 사각형은 위의 두 가지 성질을 모두 만족한다. 즉, 원에 내접하므로 브라마굽타의 공식을 적용할 수 있고, 원에 외접하므로

T = p+r = q+s

가 성립한다.

쌍심 사각형의 경우,

T = p+r

이므로

T-p = r

이다. 마찬가지로

T-q = s

,

T-r = p

,

T-s = q

이다. 이 관계를 브라마굽타의 공식에 대입하면, 쌍심 사각형의 넓이

S

는 다음과 같이 간단하게 표현된다.

S = \sqrt{(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)} = \sqrt{r \cdot s \cdot p \cdot q} = \sqrt{pqrs}

5. 일반화

수학에서는 특수한 경우의 수식을 일반화하여 더 넓은 범위에 적용 가능한 공식을 얻는 방식으로 발전하는 경우가 많다. 예를 들어, 특수한 경우인 행렬식으로부터 더 일반적인 행렬 개념이 발전했듯이, 원에 내접하는 사각형에 대한 브라마굽타 공식은 임의의 사각형에 적용 가능한 브레치나이더 공식으로 일반화되었다.

브라마굽타 공식은 원에 내접하는 사각형의 네 변의 길이를 알 때 그 넓이를 구하는 공식이다. 네 변의 길이를 각각 ''a'', ''b'', ''c'', ''d''라 하고, $s=\frac{a+b+c+d}{2}$ (사각형 둘레 길이의 절반)라고 할 때, 넓이 ''S''는 다음과 같다.

: $S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

브레치나이더 공식은 브라마굽타 공식을 일반화한 것으로, 원에 내접하지 않는 임의의 사각형에도 적용할 수 있다. 이는 삼각형의 넓이를 구하는 헤론의 공식이 원내 사각형에 대한 브라마굽타 공식으로 일반화된 것과 유사한 관계이다.

임의의 사각형의 네 변의 길이를 ''a'', ''b'', ''c'', ''d''라 하고, 마주보는 두 각(예: ''A''와 ''C'')의 크기의 합을 2로 나눈 값을 $\theta$ ( $\theta = \frac{A+C}{2}$ )라고 할 때, 사각형의 넓이 ''S''는 다음과 같다.

: $S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\theta}$

여기서 ''s''는 브라마굽타 공식에서와 같이 $s=\frac{a+b+c+d}{2}$ (사각형 둘레 길이의 절반)이다. 이 공식을 '''브레치나이더 공식'''(eng)이라고 부른다. 만약 사각형이 원에 내접한다면, 마주보는 각의 합은 180°가 되므로 $\theta = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$ 이고, $\cos^2\theta = \cos^2(90^\circ) = 0$ 이 되어 브라마굽타 공식과 같아진다.

또한, 브레치나이더 공식은 사각형의 두 대각선의 길이 ''e''와 ''f''를 사용하여 삼각함수를 사용하지 않는 형태로도 나타낼 수 있다.^[2]^[3]

: $\begin{align}S &=\tfrac{1}{4}\sqrt{4e^2f^2-(b^2+d^2-a^2-c^2)^2} \\&=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{4}((ac+bd)^2-e^2f^2)} \\&=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{4}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)} \\\end{align}$

이 형태는 사각형의 변의 길이와 대각선의 길이만으로 넓이를 구할 수 있음을 보여준다.

6. 역사

수학의 발전 과정에서는 특수한 경우의 수식에서 시작하여 이를 일반화하는 방식으로 이론이 확장되는 경우가 많다. 예를 들어, 특수한 경우인 행렬식으로부터 보다 일반적인 행렬 개념이 발전한 것처럼, 브라마굽타 공식은 원에 내접하는 사각형이라는 특수한 경우의 넓이를 구하는 공식이었고, 이를 임의의 사각형으로 확장하여 일반화한 것이 브레치나이더 공식이다.

이 공식은 1842년 독일의 수학자 카를 안톤 브레치나이더에 의해 발견되었다. 같은 해에 동료 독일 수학자인 카를 게오르크 크리스티안 폰 슈타우트 역시 독립적으로 이 공식을 유도해냈다. 따라서 브레치나이더 공식은 브라마굽타 공식을 포함하는 더 일반적인 공식으로 볼 수 있다.

7. 추가 정보

브레치나이더 공식에 대한 더 자세한 정보는 아래의 원본 독일어 자료에서 찾아볼 수 있다.

C. A. 브레치나이더. ''사변형의 삼각 관계 연구.'' 수학 및 물리학 기록, 2권, 1842, S. 225-261 ([https://books.google.com/books?id=7vxZAAAAYAAJ&pg=PA225 온라인 사본] (독일어))
F. 슈트렐케: ''평면 및 구면 사변형의 두 가지 새로운 정리와 프톨레마이오스 정리의 역''. 수학 및 물리학 기록, 2권, 1842, S. 323-326 ([https://books.google.com/books?id=7vxZAAAAYAAJ&pg=PA323 온라인 사본] (독일어))

참조

_[1] 간행물 Two Identities and their Consequences http://matinf.upit.r[...] 2020
_[2] 논문 A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral 1939
_[3] 서적 A Treatise on Plane Trigonometry https://archive.org/[...] Cambridge University Press 1918

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