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카발리에리의 원리

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목차

1. 개요

카발리에리의 원리는 두 도형의 면적 또는 두 입체의 부피를 비교하는 기하학적 방법이다. 이탈리아 수학자 보나벤투라 카발리에리가 17세기에 발전시켰으며, 아르키메데스 등의 고대 수학자들의 아이디어를 계승했다. 카발리에리의 원리는 2차원 도형에서는 평행한 두 직선 사이에서, 3차원 입체에서는 평행한 두 평면 사이에서, 임의의 직선 또는 평면에 의해 잘린 도형들의 단면적이나 부피가 같으면 전체 도형의 면적 또는 부피도 같다는 것을 의미한다. 이 원리를 통해 사이클로이드, 원뿔, 각뿔, 포물면체, 구 등 다양한 도형의 면적과 부피를 계산할 수 있으며, 냅킨 링 문제에도 적용된다. 또한 측도 이론으로 일반화될 수 있다.

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카발리에리의 원리
개요
유형기하학적 원리
분야넓이와 부피 계산
관련 개념적분
내용
2차원두 평면 도형이 한 직선에 평행한 모든 직선과 만나는 선분의 길이가 같다면, 두 도형의 넓이는 같다.
3차원두 입체 도형이 한 평면에 평행한 모든 평면과 만나는 단면의 넓이가 같다면, 두 입체의 부피는 같다.
역사
창안자보나벤투라 카발리에리
시기17세기
관련 공식카발리에리의 구적법

2. 역사

카발리에리의 원리는 원래 르네상스 시대 유럽에서 무한소 방법이라고 불렸다.[2] 보나벤투라 카발리에리는 이 원리를 자신의 저서 ''Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota'' (''기하학, 연속체의 무한소에 의해 새로운 방식으로 발전함'', 1635)와 ''Exercitationes geometricae sex'' (''여섯 개의 기하학적 연습'', 1647)에서 제시하여 발전시켰다.[3] 하지만, 카발리에리는 자신의 간행물에서 이 원리와 관련된 역설 및 종교적 논쟁을 피하고자 연속체가 무한소로 구성되어 있다는 점을 부인했으며, 이전에 알려지지 않았던 결과를 찾는 데 이 원리를 사용하지 않았다.[4]

이후 카발리에리의 연구는 미분 적분학 발전의 중요한 계기가 되었다.

2. 1. 초기 역사

기원전 3세기, 아르키메데스는 기계적 정리 방법에서 카발리에리의 원리와 유사한 방법을 사용하여 원뿔과 원통의 부피를 통해 구의 부피를 구했다.[5] 기원후 5세기, 중국 남북조시대의 수학자 조충지와 그의 아들 조긍지는 카발리에리의 원리와 유사한 방법을 사용하여 구의 부피를 구하는 방법을 확립했다.[2] 이는 서양보다 훨씬 앞선 시기의 발견이었다.

2. 2. 근대

1635년 보나벤투라 카발리에리는 저서 ''Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota''(『불가분자에 의한 연속체의 새로운 기하학』)에서 카발리에리의 원리를 발표했다.[9] 카발리에리는 평면 도형은 무수한 선분으로, 입체는 무수한 면으로 구성된 것으로 보고, 이 선분과 면을 '불가분자'(indivisible)라고 불렀다. 그는 이 원리를 이용하여 다양한 도형의 면적과 부피를 구했다.[9] 이는 아르키메데스의 방법을 발전시키고 요하네스 케플러의 생각을 받아들인 것으로, 카발리에리는 케플러와 함께 근대 구적법의 선구자로 여겨진다.[10]

이탈리아 수학자 보나벤투라 카발리에리(1598–1647), 그의 저서 1682년 출판물 ''Trattato della sfera''에서


카발리에리의 '불가분량' 개념은 에반젤리스타 토리첼리와 존 월리스에 의해 '미분량' 개념으로 발전되었다. 불가분량이 여차원(codimension) 1의 요소(2차원 도형의 경우 선)로 이루어진 반면, 미분량은 도형을 구성하는 것과 동일한 차원을 가진 요소였다. 월리스는 등차수열의 합 공식을 적용하여 삼각형을 폭이 1/∞인 무한히 작은 평행사변형들로 분할하여 그 면적을 계산했다. 이러한 미분량 개념은 미적분학 발전의 중요한 계기가 되었다.

3. 원리

카발리에리의 원리는 다음과 같다.


  • 평행한 두 직선 사이에 있는 두 평면 도형 ''A'', ''B''에 대해, 두 직선과 평행한 임의의 직선으로 잘랐을 때 생기는 ''A''와 ''B''의 교차 부분의 길이가 항상 같다면, ''A''와 ''B''의 면적은 같다.
  • 평행한 두 평면 사이에 있는 두 입체 ''A'', ''B''에 대해, 두 평면과 평행한 임의의 평면으로 잘랐을 때 생기는 ''A''와 ''B''의 교차 부분의 면적이 항상 같다면, ''A''와 ''B''의 부피는 같다.


마찬가지로 다음도 성립한다.

  • 평행한 두 직선 사이에 있는 두 평면 도형 ''A'', ''B''에 대해, 두 직선과 평행한 임의의 직선으로 잘랐을 때 생기는 ''A''와 ''B''의 교차 부분의 길이의 비가 항상 ''k''라면, ''A''와 ''B''의 면적의 비도 ''k''이다.
  • 평행한 두 평면 사이에 있는 두 입체 ''A'', ''B''에 대해, 두 평면과 평행한 임의의 평면으로 잘랐을 때 생기는 ''A''와 ''B''의 교차 부분의 면적의 비가 항상 ''k''라면, ''A''와 ''B''의 부피의 비도 ''k''이다.

3. 1. 2차원에서의 원리



N. 리드는 카발리에리의 원리를 사용하여 사이클로이드로 둘러싸인 면적을 구하는 방법을 보여주었다.[6] 반지름 ''r''인 원은 아래 선에서 시계 방향으로, 또는 위 선에서 반시계 방향으로 굴러갈 수 있다. 따라서 원 위의 한 점은 두 개의 사이클로이드를 추적한다. 원이 특정 거리를 굴러갔을 때 시계 방향으로 회전한 각도와 반시계 방향으로 회전한 각도는 같다. 따라서 사이클로이드를 추적하는 두 점은 같은 높이에 있다. 따라서 이 점들을 지나는 선은 수평이다(즉, 원이 굴러가는 두 선과 평행). 결과적으로 원의 각 수평 단면은 두 사이클로이드 호로 둘러싸인 영역의 해당 수평 단면과 길이가 같다. 카발리에리의 원리에 따르면 원은 따라서 그 영역과 같은 면적을 갖는다.

카발리에리의 원리는 다음과 같다.

  • 두 평면 도형 ''A'', ''B''가 평행한 두 직선 사이에 끼여 있다고 하자. 이 두 직선과 평행한 임의의 직선에 대해, ''A''와의 교차 부분의 길이와 ''B''와의 교차 부분의 길이가 같다면, ''A''의 면적과 ''B''의 면적은 같다.
  • 두 평면 도형 ''A'', ''B''가 평행한 두 직선 사이에 끼여 있다고 하자. 이 두 직선과 평행한 임의의 직선에 대해, ''A''와의 교차 부분의 길이가 ''B''와의 교차 부분의 길이의 ''k''배라면, ''A''의 면적은 ''B''의 면적의 ''k''배이다.

3. 2. 3차원에서의 원리

두 입체 ''A'', ''B''가 평행한 두 평면 사이에 끼여 있다고 하자. 이 두 평면에 평행한 임의의 평면에 대해, ''A''와의 교차 부분의 면적과 ''B''와의 교차 부분의 면적이 같다면, ''A''의 부피와 ''B''의 부피는 같다.[1]

이로부터, 다음 사실도 즉시 이끌어낼 수 있다.

두 입체 ''A'', ''B''가 평행한 두 평면 사이에 끼여 있다고 하자. 이 두 평면에 평행한 임의의 평면에 대해, ''A''와의 교차 부분의 면적이 ''B''와의 교차 부분의 면적의 ''k''배라면, ''A''의 부피는 ''B''의 부피의 ''k''배이다.[1]

원뿔의 부피가 동일한 지름과 높이를 가진 원기둥 부피의 3분의 1임을 보여주는 말 없는 증명

4. 응용

카발리에리의 원리는 다양한 입체의 부피를 구하는 데 유용하게 사용된다.


  • 사이클로이드: 카발리에리의 원리를 이용하면 사이클로이드로 둘러싸인 영역의 넓이를 구할 수 있다. 원이 직선 위를 구를 때 원 위의 한 점이 그리는 곡선이 사이클로이드인데, 원을 시계 방향과 반시계 방향으로 굴려 만들어지는 두 사이클로이드 곡선으로 둘러싸인 영역을 수평으로 자른 단면의 길이는 원을 수평으로 자른 단면의 길이와 같다. 따라서 사이클로이드 아치로 둘러싸인 영역의 넓이는 원 넓이의 3배가 된다.
  • 원뿔과 각뿔: 카발리에리의 원리를 이용하면 밑면의 모양에 관계없이 모든 뿔의 부피가 (1/3) × 밑면 × 높이라는 것을 증명할 수 있다.[8]

  • 포물면체: 반지름이 r이고 높이가 h인 원기둥 내부에 꼭짓점이 원기둥 밑면의 중심에 있고 밑면이 원기둥의 윗면인 포물면체를 생각할 수 있다. 이때, 뒤집힌 포물면체의 원반 모양 단면적은 내접한 포물면체 바깥 부분의 원통형 링 모양 단면적과 같다. 따라서 포물면체의 부피는 이를 둘러싼 원기둥 부피의 절반인 \frac{\pi}{2} r^2 h가 된다.

뒤집힌 포물체의 원반 모양 단면적은 내접한 포물체 바깥 부분의 원통형 링 모양 단면적과 같다.

  • 구: 카발리에리의 원리를 이용하면 구의 부피 공식을 유도할 수 있다. 구와 같은 반지름, 높이를 가지는 원기둥에서 원뿔을 뺀 도형을 생각하면, 두 도형을 같은 높이에서 잘랐을 때 나타나는 단면의 넓이는 항상 같다. 따라서 반구의 부피는 원기둥의 부피에서 원뿔의 부피를 뺀 값과 같고, 이를 통해 구의 부피가 \frac{4}{3}\pi r^3임을 알 수 있다.

구에서의 원 모양 단면과 원기둥에서 원뿔을 뺀 도형의 도넛 모양 단면은 같은 크기이다.

  • 냅킨 링 문제: 카발리에리의 원리는 냅킨 링 문제에서 구의 중심을 관통하는 구멍을 뚫었을 때 남은 부분의 부피가 구의 크기와 무관하다는 것을 보여준다. 남은 링의 단면은 평면 링 형태이며, 그 넓이는 두 원의 넓이 차이인데, 피타고라스 정리를 통해 계산하면 반지름이 상쇄되어 최종 결과는 구의 반지름에 의존하지 않는다.

4. 1. 사이클로이드

N. Reed는 카발리에리의 원리를 이용하여 사이클로이드로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 방법을 제시하였다.[11][6] 반지름 r인 원이 직선 위를 구를 때, 원 위의 한 점이 그리는 곡선이 사이클로이드이다. 원이 시계 방향 또는 반시계 방향으로 구르면서 두 개의 사이클로이드 곡선을 만들 수 있는데, 이때 원이 굴러간 거리에 따라 시계 방향으로 회전한 각도와 반시계 방향으로 회전한 각도는 동일하다. 따라서 두 사이클로이드 곡선 위의 점들은 같은 높이에 위치하게 되고, 이 두 점을 연결하는 선은 수평이 된다.

결과적으로 임의의 높이에서 원을 수평으로 잘랐을 때의 길이는 해당 높이에서 두 사이클로이드 곡선으로 둘러싸인 영역을 수평으로 자른 길이와 같다. 카발리에리의 원리에 의해, 원과 두 사이클로이드 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이는 같다.

하나의 사이클로이드 아치를 둘러싸는 직사각형을 생각해보자. 사이클로이드의 정의에 의해 직사각형의 너비는 2\pi r이고, 높이는 2r이므로 그 넓이는 원 넓이의 4배이다. 이 직사각형을 사이클로이드 아치와 만나는 중간점에서 양분하고, 한 조각을 180° 회전하여 다른 부분에 겹치면, 원 넓이의 두 배인 직사각형이 만들어진다. 이 직사각형은 위에서 넓이가 같다고 증명된, 원과 두 사이클로이드 곡선 사이의 영역(렌즈 영역)과 원래 직사각형의 사이클로이드 아치 위에 있는 두 영역으로 구성된다. 따라서 사이클로이드 아치 위의 직사각형 영역은 원의 넓이와 같고, 사이클로이드 아치로 둘러싸인 영역은 원 넓이의 3배가 된다.

4. 2. 원뿔과 각뿔

카발리에리의 원리를 이용하면 밑면의 모양에 관계없이 모든 뿔의 부피가 (1/3) × 밑면 × 높이라는 것을 증명할 수 있다. 이는 힐베르트의 세 번째 문제와 관련이 있으며, 특수한 경우를 제외하고는 다면체를 자르고 재배열하여 표준 모양으로 만들 수 없기 때문에, 무한(미소)한 방법을 통해 비교해야 한다.[8] 고대 그리스인들은 이러한 부피를 계산하기 위해 아르키메데스의 기계적 논증이나 소진법과 같은 다양한 방법을 사용했다.

4. 3. 포물면체



반지름이 r이고 높이가 h인 원기둥을 생각해보자. 이 원기둥은 꼭짓점이 원기둥 밑면의 중심에 있고 밑면이 원기둥의 윗면인 포물면체 y=h(\frac{x}{r})^2를 둘러싸고 있다. 또한, 크기는 동일하지만 꼭짓점과 밑면이 뒤집힌 포물면체 y=h-h(\frac{x}{r})^2를 생각해보자.

높이 0\leq y\leq h에 대해 뒤집힌 포물면체의 원반 모양의 단면적은 \pi (r\sqrt{1-\frac{y}{h}})^2이고, 이는 원기둥에서 내접한 포물면체 외부의 부분의 고리 모양 단면적 \pi r^2 - \pi (r\sqrt{1-\frac{y}{h}})^2와 같다. 따라서 뒤집힌 포물면체의 부피는 내접한 포물면체 외부의 원기둥 부분의 부피와 동일하다. 즉, 포물면체의 부피는 \frac{\pi}{2} r^2 h로, 이는 이를 둘러싼 원기둥 부피의 절반임을 알 수 있다.

4. 4. 구



카발리에리의 원리를 응용하여 구의 부피를 계산할 수 있다.

구에서의 원 모양 단면과 원기둥에서 원뿔을 뺀 도형의 도넛 모양 단면의 크기가 \pi\left(r^2 - y^2\right)로 서로 같으므로, 카발리에리의 원리에 따라 반구의 부피는 원기둥의 부피에서 원뿔의 부피를 뺀 것과 같음을 알 수 있다.

원기둥의 부피는 \pi r^3이고, 원뿔의 부피는 \frac{1}{3}\pi r^3이므로 원기둥의 부피에서 원뿔의 부피를 뺀 값은 \frac{2}{3}\pi r^3이고 이것은 반구의 부피와 같다. 구의 부피는 반구의 부피의 2배이다.

원뿔의 부피가 \frac{1}{3}\left(\text{밑면} \times \text{높이}\right)라는 것을 안다면, 카발리에리의 원리를 사용하여 구의 부피가 \frac{4}{3}\pi r^3이라는 사실을 유도할 수 있으며, 여기서 r은 반지름이다.

반지름이 r인 구와 반지름이 r이고 높이가 r인 원기둥을 고려해 보자. 원기둥 안에는 원뿔의 꼭짓점이 원기둥 밑면의 중심에 있고 밑면이 원기둥의 다른 밑면에 있는 원뿔이 있다. 피타고라스 정리에 의해, "적도"에서 y 단위 위에 있는 평면은 반지름이 \sqrt{r^2-y^2}이고 면적이 \pi\left(r^2 - y^2\right)인 원에서 구와 교차한다. 평면이 원뿔 ''바깥''에 있는 원기둥 부분과의 교차 면적도 \pi\left(r^2 - y^2\right)이다. 수평 평면이 임의의 높이 y에서 구와 교차하여 정의된 원의 면적은 해당 평면과 원뿔 "바깥"에 있는 원기둥 부분과의 교차 면적과 같다. 따라서 카발리에리의 원리를 적용하여 반구의 부피는 원뿔 "바깥"에 있는 원기둥 부분의 부피와 같다고 말할 수 있다. 앞서 언급한 원뿔의 부피는 원기둥 부피의 \frac{1}{3}이므로 원뿔 ''바깥''의 부피는 원기둥 부피의 \frac{2}{3}이다. 따라서 구의 윗부분의 부피는 원기둥 부피의 \frac{2}{3}이다. 원기둥의 부피는 다음과 같다.

:\text{밑면} \times \text{높이}=\pi r^2 \cdot r = \pi r^3

따라서 상반구의 부피는 \frac{2}{3}\pi r^3이고 전체 구의 부피는 \frac{4}{3} \pi r^3이다.

뿔체의 부피가 기둥체 부피의 1/3임을 알고 있다면, 카발리에리의 원리로 구의 부피를 구할 수 있다. 그림과 같이, 반지름 ''r''의 반구 ''A'' 및 반지름 ''r''의 원이 밑면이고 높이가 ''r''인 원기둥에서 원뿔을 파낸 입체 ''B''를 생각한다. 이 때, 높이 ''c''에서의 ''A''의 단면과 ''B''의 단면의 면적은 같다. 실제로, ''A''의 단면은 피타고라스 정리에 의해, 반지름이 r^2 - c^2의 제곱근인 원이므로, 그 면적은 \pi\left(r^2 - c^2\right)이며, ''B''의 단면은 반지름 ''r''의 원에서 반지름 ''c''의 원을 제외한 것이므로, 역시 면적은 \pi\left(r^2 - c^2\right)이다. 따라서, 카발리에리의 원리에 의해 ''A''의 부피와 ''B''의 부피는 같다. ''B''의 부피는 \pi r^3 - \pi r^3/3 이므로, 반지름 ''r''의 구의 부피는 그 2배인 4\pi r^3/3으로 구해진다.

4. 5. 냅킨 링 문제

카발리에리의 원리는 냅킨 링 문제에서 구의 중심을 관통하는 구멍을 뚫었을 때 남은 부분의 부피가 구의 크기와 무관하다는 것을 보여준다.

냅킨 링 문제에서 구의 중심을 관통하는 구멍을 뚫어 남은 밴드의 높이가 h일 때, 남은 부분의 부피는 구의 반지름과 상관없이 일정하다. 남은 링의 단면은 평면 링 형태이며, 그 넓이는 두 원의 넓이 차이이다. 피타고라스 정리에 의해, 두 원 중 하나의 넓이는 \pi \times (r^2-y^2)이다. 여기서 r은 구의 반지름, y는 적도 평면에서 절단 평면까지의 거리이다. 다른 원의 넓이는 \pi \times \left(r^2 - \left(\frac{h}{2}\right)^2\right)이다. 두 넓이를 빼면 r^2이 상쇄되어 최종 결과는 구의 반지름 r에 의존하지 않는다.

5. 일반화

카발리에리의 원리는 측도 이론으로 일반화될 수 있다.[1] \mu가 \Omega \subset \mathbb R^N에서 정의된 측도라고 할 때, 카발리에리의 원리는 적분 가능한 f \colon \Omega \to \mathbb R^+에 대해 다음과 같이 표현될 수 있다.[1]

:\int_\Omega f\,\mathrm d\mu = \int_0^\infty \mu\bigl(\{\,x \in \Omega : f(x) > t\,\}\bigr)\,\mathrm dt \;.

\mathbb R값을 갖는 \Omega 위의 함수 f는 두 양의 함수 f = f^+ - f^-의 차이로 다시 쓸 수 있으며,[1] 여기서 f^+와 f^-는 각각 f 의 양의 부분과 음의 부분을 나타낸다.[1]

참조

[1] 논문 Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence
[2] 서적 Calculus: Early Transcendentals https://books.google[...] Jones & Bartlett Learning
[3] 서적 A History of Mathematics: An Introduction https://books.google[...] Addison-Wesley
[4] 서적 Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World Oneworld
[5] 웹사이트 Archimedes' Lost Method https://www.britanni[...]
[6] 논문 70.40 Elementary proof of the area under a cycloid 1986-12-01
[7] 간행물 Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence
[8] 웹사이트 http://www.qi.mp.es.[...]
[9] MacTutor Bonaventura Francesco Cavalieri
[10] 웹사이트 積分法前史 「カヴァリエリの原理」をめぐる知られざる宗教論争 http://www.nikkei-sc[...] 2020-05-29
[11] 문서 1을 이하 사이클로이드 아치의 넓이로 표현하자


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