수식

3. 표기와 기호

수학 표기는 숫자와 같은 수학적 객체나 극한과 같은 개념을 나타내는 기호이다. 국제단위계에서 숫자는 아라비아 숫자를 사용하며^[59], 수학계에서는 미지수는 문자로, 지수는 첨자로, 극한이나 급수는 그에 해당하는 기호로 나타내는 등 표기가 나타내는 관습적인 의미가 확립되어 있으며, 사칙 연산을 비롯한 연산 기호 역시 따로 특별히 정의하지 않는 한 일반적인 용법이 확립되어 있다.^[60] 이와 같은 용법에 따라 수식은 문장으로 풀어 읽을 수 있다. 예를 들어 “2분의 1 더하기 3분의 2는 1과 6분의 1과 같다”로 읽는다.

4. 구조와 종류

수식은 등식, 부등식, 방정식, 항등식, 논리식 등으로 구성된다.^[61] 다음의 식 ⓐ를 통해 수식의 일반적인 구조를 살펴보자.

:$8\; =\; 4x^2\; +\; 16x\; +\; 24$ --- ⓐ

식 ⓐ는 등호를 기준으로 좌변과 우변으로 나뉘며, 두 식의 값이 같다는 것을 의미하는 등식이다. 좌변의 $8$은 단항식이고, 우변의 $4x^2$, $16x$, $24$는 세 개의 항으로 이루어진 삼항식이다. 단항식 또는 여러 항으로 이루어진 식을 다항식이라고 한다. 식 ⓐ는 미지수를 포함하고 있으므로 방정식이기도 하다. 실수 $x$에 대해 등식의 성질을 이용하여 방정식을 풀면, $x\; =\; -2$라는 해를 얻을 수 있다.

방정식 ⓐ는 치환을 통해서도 풀 수 있다. $0\; =\; 4x^2\; +\; 16x\; +16$는 $0\; =\; (2x)^2\; +\; 8(2x)\; +16$이므로 $2x=\; k$로 치환하여 정리하면 다음과 같다.

:$k^2\; +\; 8k\; +16=0$

:$(k+4)(k+4)=0$

:$\backslash therefore\; (k+4)=0$

:$k=-4$

:$2x=\; k$

:$x=\; \{k\; \backslash over\; 2\}$

:$x=\; \{(-4)\; \backslash over\; 2\}$

:$x=\; \{-2\}$

미분이나 적분과 같이 수학적 개념을 포함하는 수식도 있다. 다음은 미분의 정의를 나타내는 수식이다.^[62]

:$\backslash frac\{d\}\{d\; x\}\; f(x)\; =\; \backslash lim\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{f(x\; +\; \backslash Delta\; x)-f(x)\}\{\backslash Delta\; x\}$

위 식에서 $\backslash frac\{d\}\{d\; x\}$는 미분을, $f(x)$는 함수를, $x$는 함수의 정의역에 속하는 임의의 원소를, $\backslash Delta\; \backslash ;\; x$는 $x$의 변화량을 의미한다. $\backslash lim\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0\}$는 변화량 $\backslash Delta\; \backslash ;\; x$가 $0$으로 수렴한다는 의미이다. 즉, 위 식은 평균변화율의 극한을 취하여 함수 $f(x)$의 특정 지점 $x$에서 순간변화율을 구하는 미분을 정의한다.

이 외에도 수식에는 부등식, 논리식과 같은 종류가 있다.

4. 1. 대수식과 초월식

• 대수식
• * 유리식 - 근호를 포함하지 않는 대수식^[50]
• ** 정식(유리정식) - 문자의 분모를 포함하지 않는 식^[50]

• ** 분수식 - 문자의 분모를 포함하는 식^[50]($\backslash frac\{1\}\{2x-1\}$ 등)
• * 무리식 - 근호를 포함하는 대수식^[50]($\backslash sqrt\{x+1\}$ 등)
• 초월식

4. 2. 관계식

• 등식
• 항등식 - 문자에 어떤 수치를 대입해도 성립하는 식^[51]
• 방정식 - 문자에 특정 수치를 대입했을 때만 성립하는 식^[51]
• 부등식
• 절대 부등식
• 조건부 부등식

4. 3. 기타 분류

• 완전 제곱식: 정수의 제곱으로 변환할 수 있는 식이다.^[51]
• 대칭식: 앞뒤 문자를 바꿔도 같은 식이 되는 식이다.($a+b$나 $ab$ 등)^[51]
• 교대식: 앞뒤 문자를 바꾸면 부호가 변하는 식이다.($a-b$나 $a^2-b^2$ 등)^[51]

5. 변수

수식에서 변수는 값이 변할 수 있는 숫자를 나타내는 문자이다. 변수는 독립 변수(자유 변수, 부정원)와 종속 변수(결합 변수)로 나뉜다. 독립 변수는 수식 자체에서는 값을 가지지 않지만, 외부에서 값이 주어지면 수식을 평가할 수 있게 한다. 종속 변수는 독립 변수의 값에 따라 그 값이 결정된다.^[22]

예를 들어, $\backslash sum\_\{n=1\}^\{3\}\; (2nx)$라는 수식에서 `n`은 종속 변수이고, `x`는 독립 변수이다. 이 수식은 $12x$와 같다.

회귀 분석에서는 독립 변수를 설명 변수, 종속 변수를 응답 변수 또는 목적 변수라고 부른다.^[49]

6. 연산의 우선 순위

수식에서 여러 가지 연산 기호가 함께 쓰이는 경우 혼란을 막기 위하여 연산의 우선순위를 둔다. 일반적으로 쓰여진 수식에서는 다음과 같은 우선순위를 따른다. 목록의 앞쪽에 있는 연산의 우선순위가 높다.^[37]

# 괄호 안쪽의 수식

# 지수 및 근호

# 곱셈과 나눗셈

# 덧셈과 뺄셈

아래는 연산의 우선 순위에 대한 예이다.

괄호 안의 수식은 어떤 경우에서든지 우선순위가 가장 높다.

: $3\; \backslash div\; (2-1)\; =\; 3\; \backslash div\; 1\; =\; 3$

아래와 같은 수식의 경우 다음과 같이 계산된다. 곱하기와 나누기가 우선이고 그 다음이 더하기 또는 빼기를 하는 것이다.

: $2+3\; \backslash times\; 4\; =\; 2\; +\; 12\; =\; 14$

부호보다 지수가 먼저 계산된다.

: $-3^2\; =\; -(3\backslash times3)\; =\; -9\; \backslash ne\; (-3)^2\; =\; (-3)\backslash times(-3)\; =\; 9$

근호로 둘러싸인 수식은 먼저 계산한다.

: $\backslash sqrt\{3+1\}\; \backslash times\; 2\; =\; \backslash sqrt\{4\}\; \backslash times\; 2\; =\; 2\; \backslash times\; 2\; =\; 4$

분수형태에 갇혀있는 수식은 먼저 계산한다.

: $\backslash frac\{4+2\}\{1+2\}\; +\; 4\; =\; \backslash frac\{6\}\{3\}\; +4\; =\; 2\; +\; 4\; =\; 6$

우선순위가 같은 연산은 앞에서부터 차례로 계산한다.

: $2\; \backslash div\; 3\; \backslash times\; 5\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash times\; 5\; =\; \backslash frac\{10\}\{3\}$

지수위의 지수가 있는 경우, 위쪽에 있는 지수의 우선순위가 높다.

: $2^\{3^2\}\; =\; 2^9\; =\; 512\; \backslash ne\; (2^3)^2\; =\; 64$

7. 형식 언어와 람다 계산

형식 언어는 올바른 수식(well-formed expression^영어)의 개념을 형식화할 수 있게 해준다.

1930년대에 알론조 처치와 스티븐 클레이니는 함수와 그 평가를 정식화하기 위해 "λ식"이라는 새로운 종류의 수식을 도입했다.^[42] λ식은 수리 논리학 및 프로그래밍 언어 이론에서 사용되는 형식 체계인 λ 계산의 기초를 이루고 있다.

임의의 두 람다식에 대한 '''동치성''' 판정은 결정 불가능한 문제이다. 이는 정수에서 시작하여 사칙 연산이나 지수, 로그를 사용하여 구성하는 실수를 표현하는 수식에 대해서도 마찬가지이다 (리처드슨의 정리).

8. 정형식과 의미론

수식은 구문적으로 구성되어 정형식이어야 한다. 즉, 사용이 허용된 연산은 올바른 위치에 올바른 수의 인수를 가져야 하고, 이 인수들을 구성하는 문자열은 유효하며 연산 순서가 명확해야 한다.^[36] 예를 들어, 일반적인 산술에서 식 '1 + 2 × 3'은 올바르게 정렬되어 있지만, '× 4)x + , / y'는 유효한 식이 아니다.

수식이 나타내는 의미를 연구하는 것이 의미론이다. 형식 의미론은 구문론적으로 올바른 문자열로 형식적으로 주어진 수식에 형식적으로 의미를 부여한다.

대수학에서 수식은 값을 지정하는 데 사용될 수 있다(값은 그 식에 나타나는 변수에 할당된 값에 의존할 수 있다). 이 값을 결정하는 문제는 수식을 구성하는 각 기호에 할당된 의미론에 따라 다르며, 의미론의 선택은 해당 수식이 속한 문맥에 따라 결정된다. 예를 들어, 구문론적으로는 같은 식 '1 + 2 × 3'이라도 연산자 우선순위가 문맥에 따라 다르면 다른 값(7 또는 9)을 가질 수 있다.

9. 계산

계산은 잘 정의된 모든 유형의 산술 또는 비산술적 계산이다.^[27] 튜링 머신은 잘 정의된 명제 또는 계산을 표현하는 데 사용될 수 있다.^[31] 계산의 일반적인 예로는 기본 산술과 컴퓨터 알고리즘의 실행이 있다. 예를 들어, 7에 6을 곱하는 것은 간단한 알고리즘 계산이다. 수학적 모델을 사용하여 숫자의 제곱근 또는 세제곱근을 추출하는 것은 더 복잡한 알고리즘 계산이다.

다시 쓰기에서, 축약 전략은 주어진 축약 관계와 호환되는 각 객체 또는 항에 대한 다시 쓰기를 지정하는 관계이다. 다시 쓰기 전략은 모든 축약 가능한 하위 항 (redexes) 중에서 항 내에서 어떤 것을 축약('축약')해야 하는지를 지정한다. 가장 일반적인 시스템 중 하나는 람다 대수를 포함한다.

9. 1. 다항식 계산

9. 2. 컴퓨터 과학에서의 표현식

참조

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