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비각운동량

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목차

1. 개요

비각운동량은 상대 위치 벡터와 상대 속도 벡터의 외적으로 정의되는 물리량이다. 비각운동량은 궤도면과 수직하며, 이상적인 조건에서 일정하게 유지된다. 이러한 비각운동량의 보존은 케플러의 행성 운동 법칙을 유도하는 데 사용되며, 이는 행성 궤도의 타원 궤도, 면적 속도 일정, 조화의 법칙을 설명한다.

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비각운동량
정의
정의천체 역학에서 비각운동량(Specific angular momentum) 또는 각운동량 벡터는 각운동량을 질량으로 나눈 값이다. 행성 궤도와 같은 문제에서 유용한 양이다.
기호h
공식
공식h = r × v
변수 설명r은 위치 벡터
v는 속도 벡터
특성
보존중심력 하에서 보존됨
궤도면궤도면과 수직
궤도 요소와의 관계
공식h = √(GMa(1 − e^2))
변수 설명GM은 중력 상수와 중심체 질량의 곱
a는 궤도 긴반축
e는 궤도 이심률
기타
다른 이름각운동량 벡터

2. 정의

상대 비각운동량은 상대 위치 벡터 \vec{r}과 상대 속도 벡터 \vec{v}의 외적으로 정의된다.

:\vec{h} = \vec{r} \times \vec{v} = \frac{\vec{L}}{m}

\vec{h} 벡터는 항상 순간 회전 궤도면과 수직하며, 순간 회전 궤도면은 순간 섭동 궤도와 일치한다. 따라서 \vec{h} 벡터는 수년간의 섭동이 포함된 평균 평면과는 수직하지 않는다.

벡터 \vec{h}의 크기는 h로 표시된다.

:h = \left \| \vec{h} \right \|

비선형 상대 각운동량은 상대 위치 벡터 \mathbf{r}과 상대 궤도 속도 벡터 \mathbf{v} 의 외적으로 정의된다.

\mathbf{h} = \mathbf{r} \times \mathbf{v} = \frac{\mathbf{L}}{m}

여기서 \mathbf{L}은 각운동량 벡터이며, \mathbf{r} \times m \mathbf{v}로 정의된다.

\mathbf{h} 벡터는 항상 순간적인 접촉 궤도 궤도면 (천문학)에 수직이며, 이는 순간적인 섭동 (천문학) 궤도와 일치한다. 시간 경과에 따른 평균 궤도면에 반드시 수직일 필요는 없다.

3. 이상적인 조건에서 상대 비각운동량이 일정하다는 증명

m_1 주위의 궤도에서 m_2 의 거리 벡터 \vec{r} , 속도 벡터 \vec{v} , 진근점 이각 \theta , 비행 경로 각도 \phi . 타원의 가장 중요한 측정값들도 표시되었다(그 중 진근점 이각 \theta은 \nu로 표시되었다).


특정 조건 하에서 비각운동량이 일정하다는 것을 증명할 수 있다. 이 증명을 위한 조건은 다음과 같다.

  • 한 물체의 질량이 다른 물체의 질량보다 훨씬 크다. ( m_1 \gg m_2 )
  • 좌표계는 관성 좌표계이다.
  • 각 물체는 구면 대칭 점 입자로 취급할 수 있다.
  • 두 물체를 연결하는 중력 외에 다른 힘은 시스템에 작용하지 않는다.


==== 전제 조건 ====

다음 증명은 뉴턴의 만유인력 법칙에도 적용된 단순화 하에서만 유효하다.

점질량 m_1 과 m_2 가 서로 거리 r 만큼 떨어져있으며, 중력에 의해 서로 \vec{F} = G\frac{m_1 m_2}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} 의 힘이 작용한다. 이 힘은 거리에 관계없이 즉시 작용하며 계에 존재하는 유일한 힘이다. 좌표계는 관성의 법칙을 만족한다.[2]

추가적인 단순화를 위해 m_1 \gg m_2 를 가정한다. 따라서 좌표계의 원점에서 m_1 은 중심체이며, m_2 주위를 도는 위성이다. 이때 환산질량은 m_2 와 같다. 그리고 2체 문제의 방정식은 다음과 같이 써진다.[2]

: \ddot{\vec{r}} = -\frac{\mu}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}

\mu = Gm_1 은 표준 중력 변수이며, 거리 벡터 \vec{r} (절대값: r )은 위에서 가정한 조건에 의해 원점(중심체)에서 위성을 가리키게 된다.[2]

때때로 \mu 를 환산 질량으로 표기하는 경우도 있기 때문에, 본 글의 표준 중력 변수 \mu 를 환산 질량과 혼동하지 않는 것이 중요하다.[2]

==== 증명 ====

2체 문제의 방정식을 거리 벡터 \vec{r} 와 외적하면 상대 비각운동량을 얻는다.[3]

: \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} = - \vec{r} \times \frac{\mu}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} = - \frac{\mu}{r^3} \left( \vec{r} \times \vec{r} \right)

벡터 자체와의 외적(우변)은 0이다. 왼쪽은 곱의 미분법에 따라 다음과 같이 단순화된다.[3]

:

\vec{r} \times \ddot{\vec{r}} =

\dot{\vec{r}} \times \dot{\vec{r}} + \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} =

\frac{\mathrm{d} \left(\vec{r}\times\dot{\vec{r}}\right) }{\mathrm{d}t} = 0



이는 \vec{r}\times\dot{\vec{r}} 가 일정함을 의미한다(따라서 이는 보존량이다). 그리고 이는 정확히 위성의 비각운동량이다.[3]

: \vec{h} = \vec{r}\times\dot{\vec{r}} \text{ is const.}

이 벡터는 궤도 평면과 수직이며, 각운동량은 바뀌지 않으므로 궤도 평면도 바뀌지 않는다.[3]

비행 경로 각도 \phi 의 정의와 그리고 속도 벡터의 횡단 및 반경 성분(오른쪽 그림 참조)을 통해 2체 문제에 대한 추가적인 통찰을 얻을 수 있다. 다음 세 공식으로도 상대 비각운동량 벡터의 절대값을 계산할 수 있다.[3]

  • h = rv\cos\phi
  • h = r^2\dot{\theta}
  • h = \sqrt{\mu p}


이때 p는 곡선의 원뿔 곡선 이라고 부른다.

다음은 이체 문제에서 시작하는 비각운동량의 증명이다. 이 증명은 만유인력의 법칙에서 유도된다.

\ddot{\mathbf{r}} + \frac{G m_1}{r^2}\frac{\mathbf{r}}{r} = 0

여기서:

  • \mathbf{r}은 스칼라 크기 r을 갖는 m_1에서 m_2까지의 위치 벡터이다.
  • \ddot{\mathbf{r}}은 \mathbf{r}의 두 번째 시간 미분이다. (가속도)
  • G는 중력 상수이다.


위치 벡터와 운동 방정식의 외적은 다음과 같다.

\mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}} + \mathbf{r} \times \frac{G m_1}{r^2}\frac{\mathbf{r}}{r} = 0

\mathbf{r} \times \mathbf{r} = 0이므로 두 번째 항은 사라진다.

\mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}} = 0

또한 다음을 유도할 수 있다.



\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}\right) =

\dot{\mathbf{r}} \times \dot{\mathbf{r}} + \mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}} =

\mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}}



이 두 방정식을 결합하면 다음과 같다.

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}\right) = 0

시간 미분이 0이므로 \mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}}는 상수이다. 위치 변화율 대신 속도 벡터 \mathbf{v}를 사용하고, 비각운동량을 \mathbf{h}로 나타낸다.

\mathbf{h} = \mathbf{r}\times\mathbf{v}는 상수이다.

이것은 문제의 물체의 질량을 포함하지 않기 때문에 일반적인 운동량 구성인 \mathbf{r} \times \mathbf{p}와는 다릅니다.

3. 1. 전제 조건

다음 증명은 뉴턴의 만유인력 법칙에도 적용된 단순화 하에서만 유효하다.

점질량 m_1 과 m_2 가 서로 거리 r 만큼 떨어져있으며, 중력에 의해 서로 \vec{F} = G\frac{m_1 m_2}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} 의 힘이 작용한다. 이 힘은 거리에 관계없이 즉시 작용하며 계에 존재하는 유일한 힘이다. 좌표계는 관성의 법칙을 만족한다.[2]

추가적인 단순화를 위해 m_1 \gg m_2 를 가정한다. 따라서 좌표계의 원점에서 m_1 은 중심체이며, m_2 주위를 도는 위성이다. 이때 환산질량은 m_2 와 같다. 그리고 2체 문제의 방정식은 다음과 같이 써진다.[2]

: \ddot{\vec{r}} = -\frac{\mu}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}

\mu = Gm_1 은 표준 중력 변수이며, 거리 벡터 \vec{r} (절대값: r )은 위에서 가정한 조건에 의해 원점(중심체)에서 위성을 가리키게 된다.[2]

때때로 \mu 를 환산 질량으로 표기하는 경우도 있기 때문에, 본 글의 표준 중력 변수 \mu 를 환산 질량과 혼동하지 않는 것이 중요하다.[2]

3. 2. 증명

2체 문제의 방정식을 거리 벡터 \vec{r} 와 외적하면 상대 비각운동량을 얻는다.[3]

: \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} = - \vec{r} \times \frac{\mu}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} = - \frac{\mu}{r^3} \left( \vec{r} \times \vec{r} \right)

벡터 자체와의 외적(우변)은 0이다. 왼쪽은 곱의 미분법에 따라 다음과 같이 단순화된다.[3]

:

\vec{r} \times \ddot{\vec{r}} =

\dot{\vec{r}} \times \dot{\vec{r}} + \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} =

\frac{\mathrm{d} \left(\vec{r}\times\dot{\vec{r}}\right) }{\mathrm{d}t} = 0



이는 \vec{r}\times\dot{\vec{r}} 가 일정함을 의미한다(따라서 이는 보존량이다). 그리고 이는 정확히 위성의 비각운동량이다.[3]

: \vec{h} = \vec{r}\times\dot{\vec{r}} \text{ is const.}

이 벡터는 궤도 평면과 수직이며, 각운동량은 바뀌지 않으므로 궤도 평면도 바뀌지 않는다.[3]

비행 경로 각도 \phi 의 정의와 그리고 속도 벡터의 횡단 및 반경 성분(오른쪽 그림 참조)을 통해 2체 문제에 대한 추가적인 통찰을 얻을 수 있다. 다음 세 공식으로도 상대 비각운동량 벡터의 절대값을 계산할 수 있다.[3]

  • h = rv\cos\phi
  • h = r^2\dot{\theta}
  • h = \sqrt{\mu p}


이때 p는 곡선의 원뿔 곡선 이라고 부른다.

다음은 이체 문제에서 시작하는 비각운동량의 증명이다. 이 증명은 만유인력의 법칙에서 유도된다.

\ddot{\mathbf{r}} + \frac{G m_1}{r^2}\frac{\mathbf{r}}{r} = 0

여기서:

  • \mathbf{r}은 스칼라 크기 r을 갖는 m_1에서 m_2까지의 위치 벡터이다.
  • \ddot{\mathbf{r}}은 \mathbf{r}의 두 번째 시간 미분이다. (가속도)
  • G는 중력 상수이다.


위치 벡터와 운동 방정식의 외적은 다음과 같다.

\mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}} + \mathbf{r} \times \frac{G m_1}{r^2}\frac{\mathbf{r}}{r} = 0

\mathbf{r} \times \mathbf{r} = 0이므로 두 번째 항은 사라진다.

\mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}} = 0

또한 다음을 유도할 수 있다.



\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}\right) =

\dot{\mathbf{r}} \times \dot{\mathbf{r}} + \mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}} =

\mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}}



이 두 방정식을 결합하면 다음과 같다.

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}\right) = 0

시간 미분이 0이므로 \mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}}는 상수이다. 위치 변화율 대신 속도 벡터 \mathbf{v}를 사용하고, 비각운동량을 \mathbf{h}로 나타낸다.

\mathbf{h} = \mathbf{r}\times\mathbf{v}는 상수이다.

이것은 문제의 물체의 질량을 포함하지 않기 때문에 일반적인 운동량 구성인 \mathbf{r} \times \mathbf{p}와는 다릅니다.

4. 케플러의 행성 운동 법칙

케플러의 행성 운동 법칙은 위의 관계를 사용하여 거의 직접적으로 증명할 수 있다.

==== 제1법칙: 타원 궤도의 법칙 ====

이체 문제의 방정식에서 증명이 시작된다. 방정식에 상대 비각운동량을 외적하면 다음과 같다.[4]

: \ddot{\vec{r}} \times \vec{h} = - \frac{\mu}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} \times \vec{h}

좌변은 각운동량이 일정하기 때문에 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\dot{\vec{r}}\times\vec{h}\right)와 같다.

우변은 다음과 같이 정리할 수 있다.

:


  • \frac{\mu}{r^3}\left(\vec{r} \times \vec{h}\right) =
  • \frac{\mu}{r^3} \left(\left(\vec{r}\cdot\vec{v}\right)\vec{r} - r^2\vec{v}\right) =
  • \left(\frac{\mu}{r^2}\dot{r}\vec{r} - \frac{\mu}{r}\vec{v}\right) =

\mu \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\vec{r}}{r}\right)



두 식을 같게 놓고 시간이 지남에 따라 적분하면 다음을 얻는다.(적분 상수 \vec{C} 고려)[4]

: \dot{\vec{r}}\times\vec{h} = \mu\frac{\vec{r}}{r} + \vec{C}

이 방정식에 \vec{r} 을 내적하고 재배열하면 다음 식을 얻을 수 있다.[4]

:\begin{align}

\vec{r} \cdot \left(\dot{\vec{r}}\times\vec{h}\right) &= \vec{r} \cdot \left(\mu\frac{\vec{r}}{r} + \vec{C}\right) \\

\Rightarrow{} \left(\vec{r}\times\dot{\vec{r}}\right) \cdot \vec{h} &= \mu r + rC\cos\theta \\

\Rightarrow{} h^2 &= \mu r + rC\cos\theta

\end{align}

마지막 식을 정리하면 궤도 방정식을 얻는다.[4][1]

: r = \frac{\frac{h^2}{\mu}}{1 + \frac{C}{\mu}\cos\theta}

이것은 반통경 p = \frac{h^2}{\mu} 와 이심률 e = \frac{C}{\mu} 일 때 극좌표계에서 원뿔 단면의 방정식이다. 이는 곧 요하네스 케플러의 제1법칙과 같다.[4]

요하네스 케플러는 ''행성의 궤도는 태양을 한 초점으로 하는 타원이다.''라고 했다.[5]

==== 제2법칙: 면적 속도 일정의 법칙 ====

두 번째 법칙은 상대 비각운동량의 절댓값을 계산하는 세 방정식 중 두 번째 방정식을 사용하면 즉시 도출된다.[6][1]

두 번째 방정식에 의해 도출된 식 \mathrm{d}t = \frac{r^2}{h} \ \mathrm{d}\theta 과 무한소의 각도에서 궤도 내부 영역을 나타내는 식인 \mathrm{d}A = \frac{r^2}{2} \ \mathrm{d}\theta 을 다음과 같이 통합할 수 있다.

: \mathrm{d}t = \frac{2}{h}\ \mathrm{d}A

위 식은 케플러가 "행성을 태양에 연결하는 선은 동일한 시간에 동일한 면적을 쓸어낸다."라고 표현했다.[5]

==== 제3법칙: 조화의 법칙 ====

케플러 제3법칙은 두 번째 법칙에서 바로 유도된다. 위 식을 1회전에 걸쳐 적분하면 공전 주기를 얻을 수 있다.[6]

: T = \frac{2\pi ab}{h}

\pi ab 는 타원의 면적이다. 단반경에 b=\sqrt{ap} 를 대입하고, 상대 비각운동량에 h = \sqrt{\mu p} 를 대입하면 다음 식을 얻을 수 있다.[6]

: T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}

따라서 위성의 장반경과 공전 주기 사이 관계는 표준 중력 상수만 관여한다. 이는 케플러 제3법칙과 동일하다.[6]

4. 1. 제1법칙: 타원 궤도의 법칙

이체 문제의 방정식에서 증명이 시작된다. 방정식에 상대 비각운동량을 외적하면 다음과 같다.[4]

: \ddot{\vec{r}} \times \vec{h} = - \frac{\mu}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} \times \vec{h}

좌변은 각운동량이 일정하기 때문에 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\dot{\vec{r}}\times\vec{h}\right)와 같다.

우변은 다음과 같이 정리할 수 있다.

:

  • \frac{\mu}{r^3}\left(\vec{r} \times \vec{h}\right) =
  • \frac{\mu}{r^3} \left(\left(\vec{r}\cdot\vec{v}\right)\vec{r} - r^2\vec{v}\right) =
  • \left(\frac{\mu}{r^2}\dot{r}\vec{r} - \frac{\mu}{r}\vec{v}\right) =

\mu \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\vec{r}}{r}\right)



두 식을 같게 놓고 시간이 지남에 따라 적분하면 다음을 얻는다.(적분 상수 \vec{C} 고려)[4]

: \dot{\vec{r}}\times\vec{h} = \mu\frac{\vec{r}}{r} + \vec{C}

이 방정식에 \vec{r} 을 내적하고 재배열하면 다음 식을 얻을 수 있다.[4]

:\begin{align}

\vec{r} \cdot \left(\dot{\vec{r}}\times\vec{h}\right) &= \vec{r} \cdot \left(\mu\frac{\vec{r}}{r} + \vec{C}\right) \\

\Rightarrow{} \left(\vec{r}\times\dot{\vec{r}}\right) \cdot \vec{h} &= \mu r + rC\cos\theta \\

\Rightarrow{} h^2 &= \mu r + rC\cos\theta

\end{align}

마지막 식을 정리하면 궤도 방정식을 얻는다.[4][1]

: r = \frac{\frac{h^2}{\mu}}{1 + \frac{C}{\mu}\cos\theta}

이것은 반통경 p = \frac{h^2}{\mu} 와 이심률 e = \frac{C}{\mu} 일 때 극좌표계에서 원뿔 단면의 방정식이다. 이는 곧 요하네스 케플러의 제1법칙과 같다.[4]

요하네스 케플러는 ''행성의 궤도는 태양을 한 초점으로 하는 타원이다.''라고 했다.[5]

4. 2. 제2법칙: 면적 속도 일정의 법칙

두 번째 법칙은 상대 비각운동량의 절댓값을 계산하는 세 방정식 중 두 번째 방정식을 사용하면 즉시 도출된다.[6][1]

두 번째 방정식에 의해 도출된 식 \mathrm{d}t = \frac{r^2}{h} \ \mathrm{d}\theta 과 무한소의 각도에서 궤도 내부 영역을 나타내는 식인 \mathrm{d}A = \frac{r^2}{2} \ \mathrm{d}\theta 을 다음과 같이 통합할 수 있다.

: \mathrm{d}t = \frac{2}{h}\ \mathrm{d}A

위 식은 케플러가 "행성을 태양에 연결하는 선은 동일한 시간에 동일한 면적을 쓸어낸다."라고 표현했다.[5]

4. 3. 제3법칙: 조화의 법칙

케플러 제3법칙은 두 번째 법칙에서 바로 유도된다. 위 식을 1회전에 걸쳐 적분하면 공전 주기를 얻을 수 있다.[6]

: T = \frac{2\pi ab}{h}

\pi ab 는 타원의 면적이다. 단반경에 b=\sqrt{ap} 를 대입하고, 상대 비각운동량에 h = \sqrt{\mu p} 를 대입하면 다음 식을 얻을 수 있다.[6]

: T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}}

따라서 위성의 장반경과 공전 주기 사이 관계는 표준 중력 상수만 관여한다. 이는 케플러 제3법칙과 동일하다.[6]

5. 한국의 우주 개발 및 인공위성 운용에의 적용

6. 참고 문서

참조

[1] 서적 Fundamentals of astrodynamics and applications Kluwer Academic Publishers 2001
[2] 문서
[3] 서적 Fundamentals of Astrodynamics and Applications https://books.google[...] Springer 2001
[4] 서적 Fundamentals of Astrodynamics and Applications https://books.google[...] Springer 2001
[5] 서적 Fundamentals of Astrodynamics and Applications https://books.google[...] Springer 2001
[6] 서적 Fundamentals of Astrodynamics and Applications https://books.google[...] Springer 2001


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