비슈바나트 상수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 행렬 표현
3. 성장률
- 3.1. 비슈바나트 상수
- 3.2. 엠브리-트레페튼 상수
4. 역사적 배경
5. 일반화
- 5.1. 엠브리-트레페튼 상수
6. 한국의 관점
- 6.1. 학술적 의의
- 6.2. 사회적 영향
참조

1. 개요

비슈바나트 상수는 무작위 피보나치 수열의 성장률과 관련된 수학 상수이다. 무작위 피보나치 수열은 각 항이 이전 두 항의 합 또는 차이로 결정되는 수열로, 비슈바나트 상수는 이 수열의 n제곱근이 수렴하는 값이다. 1999년 디바카 비슈바나트에 의해 명시적인 식이 발견되었으며, 엠브리-트레페튼 상수와 같은 관련 개념도 존재한다.

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2. 정의

무작위 피보나치 수열은 자연수 $n$ 에 대해 $f_n$ 으로 주어지는 정수 무작위 수열이며, $f_1=f_2=1$ 이고, 후속 항은 다음 무작위 재귀 관계에 따라 무작위로 선택된다.

: $f_n = \begin{cases}f_{n-1}+f_{n-2}, & \text{ 확률 } \tfrac12; \\f_{n-1}-f_{n-2}, & \text{ 확률 } \tfrac12.\end{cases}$

무작위 피보나치 수열의 예는 1, 1로 시작하며 각 후속 항의 값은 공정한 동전 던지기에 의해 결정된다. 수열의 두 개의 연속된 요소가 주어지면 다음 요소는 이들의 합 또는 차이이며, 이전의 모든 선택과 독립적으로 확률은 1/2이다. 무작위 피보나치 수열에서 각 단계마다 더하기 기호가 선택되면 해당 예는 피보나치 수열 (''F''_''n'')이다.

: $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots.$

만약 부호가 마이너스-플러스-플러스-마이너스-플러스-플러스-... 패턴으로 번갈아 나타나면 결과는 다음과 같은 수열이 된다.

: $1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,\ldots.$

그러나 이러한 패턴은 무작위 실험에서 사라지는 확률로 발생한다. 전형적인 실행에서 항은 예측 가능한 패턴을 따르지 않는다.

: $1, 1, 2, 3, 1, -2, -3, -5, -2, -3, \ldots\text{ 부호의 경우 } +, +, +, -, -, +, -, -, \ldots.$

결정적 사례와 유사하게, 무작위 피보나치 수열은 행렬을 통해 유용하게 설명할 수 있다.

: ${f_{n-1} \choose f_{n}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \pm 1 & 1 \end{pmatrix} {f_{n-2} \choose f_{n-1}},$

여기서 부호는 서로 다른 ''n''에 대해 + 또는 −에 대해 동일한 확률로 독립적으로 선택된다. 따라서

: ${f_{n-1} \choose f_{n}} = M_{n}M_{n-1}\ldots M_3{f_{1} \choose f_{2}},$

여기서 (''M''_''k'')는 값 ''A'' 또는 ''B''를 확률 1/2로 갖는 독립 동일 분포 무작위 행렬의 수열이다.

: $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quadB=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.$

2. 1. 기본 정의

무작위 피보나치 수열은 자연수

n

에 대해

f_n

으로 주어지는 정수 무작위 수열이며,

f_1=f_2=1

이고, 후속 항은 다음 무작위 재귀 관계에 따라 무작위로 선택된다.

:

f_n = \begin{cases}f_{n-1}+f_{n-2}, & \text{ 확률 } \tfrac12; \\f_{n-1}-f_{n-2}, & \text{ 확률 } \tfrac12.\end{cases}

무작위 피보나치 수열의 예는 1, 1로 시작하며 각 후속 항의 값은 공정한 동전 던지기에 의해 결정된다. 수열의 두 개의 연속된 요소가 주어지면 다음 요소는 이들의 합 또는 차이이며, 이전의 모든 선택과 독립적으로 확률은 1/2이다. 무작위 피보나치 수열에서 각 단계마다 더하기 기호가 선택되면 해당 예는 피보나치 수열 (''F''_''n'')이다.

:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots.

만약 부호가 마이너스-플러스-플러스-마이너스-플러스-플러스-... 패턴으로 번갈아 나타나면 결과는 다음과 같은 수열이 된다.

:

1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,\ldots.

그러나 이러한 패턴은 무작위 실험에서 사라지는 확률로 발생한다. 전형적인 실행에서 항은 예측 가능한 패턴을 따르지 않는다.

:

1, 1, 2, 3, 1, -2, -3, -5, -2, -3, \ldots\text{ 부호의 경우 } +, +, +, -, -, +, -, -, \ldots.

결정적 사례와 유사하게, 무작위 피보나치 수열은 행렬을 통해 유용하게 설명할 수 있다.

:

{f_{n-1} \choose f_{n}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \pm 1 & 1 \end{pmatrix} {f_{n-2} \choose f_{n-1}},

여기서 부호는 서로 다른 ''n''에 대해 + 또는 −에 대해 동일한 확률로 독립적으로 선택된다. 따라서

:

{f_{n-1} \choose f_{n}} =  M_{n}M_{n-1}\ldots M_3{f_{1} \choose f_{2}},

여기서 (''M''_''k'')는 값 ''A'' 또는 ''B''를 확률 1/2로 갖는 독립 동일 분포 무작위 행렬의 수열이다.

:

A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quadB=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.

2. 2. 행렬 표현

무작위 피보나치 수열은 행렬 곱셈으로 표현할 수 있다.

f_{n-1} \choose f_{n}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \pm 1 & 1 \end{pmatrix} {f_{n-2} \choose f_{n-1}}

와 같이 표현되며, 여기서 부호는 서로 다른 ''n''에 대해 + 또는 −에 대해 동일한 확률로 독립적으로 선택된다.

따라서

{f_{n-1} \choose f_{n}} =  M_{n}M_{n-1}\ldots M_3{f_{1} \choose f_{2}}

로 나타낼 수 있다. 여기서 (''M''_''k'')는 값 ''A'' 또는 ''B''를 확률 1/2로 갖는 독립 동일 분포 무작위 행렬의 수열이다.

:

A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quadB=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.

3. 성장률

요하네스 케플러는 ''n''이 증가함에 따라 피보나치 수열(''F''_''n'')의 연속된 항들의 비율이 황금비 $\varphi=(1+\sqrt{5})/2,$ 에 수렴하며, 이는 대략 1.61803임을 발견했다. 1765년, 레온하르트 오일러는 오늘날 비네 공식으로 알려진 명시적인 공식을 발표했다.

: $F_n = \over {\sqrt 5}}.$

이 공식은 피보나치 수들이 황금비 ''φ''와 같은 지수적 속도로 성장한다는 것을 보여준다.

1960년, 힐렐 퍼스텐버그와 해리 케스텐은 일반적인 종류의 랜덤 행렬 곱에서 노름이 ''λ''^''n''으로 성장한다는 것을 보였다. 여기서 ''n''은 인수의 개수이다. 그들의 결과는 랜덤 피보나치 수열을 포함하는 광범위한 종류의 랜덤 수열 생성 과정에 적용된다. 결과적으로, |''f''_''n''|의 ''n''제곱근은 상수 값으로 거의 확실하게 또는 확률 1로 수렴한다.

: $\sqrt[n]$

\to 1.1319882487943\dots \text{ as } n \to \infty.

1999년 디바카 비슈바나트에 의해 이 상수에 대한 명시적인 식이 발견되었다. 이는 랜덤 행렬 곱의 랴푸노프 지수에 대한 퍼스텐버그의 공식과 슈테른-브로코 나무에 대한 특정 프랙탈 측도에 대한 적분을 사용한다. 또한, 비슈바나트는 반올림 오차의 분석을 통해 검증된 부동 소수점 산술을 사용하여 위의 수치 값을 계산했다.

3. 1. 비슈바나트 상수

요하네스 케플러는 ''n''이 증가함에 따라 피보나치 수열(''F''_''n'')의 연속된 항들의 비율이 황금비

\varphi=(1+\sqrt{5})/2,

에 수렴하며, 이는 대략 1.61803임을 발견했다. 1765년, 레온하르트 오일러는 오늘날 비네 공식으로 알려진 명시적인 공식을 발표했다.

:

F_n =  \over {\sqrt 5}}.

이 공식은 피보나치 수들이 황금비 ''φ''와 같은 지수적 속도로 성장한다는 것을 보여준다.

1960년, 힐렐 퍼스텐버그와 해리 케스텐은 일반적인 종류의 랜덤 행렬 곱에서 노름이 ''λ''^''n''으로 성장한다는 것을 보였다. 여기서 ''n''은 인수의 개수이다. 그들의 결과는 랜덤 피보나치 수열을 포함하는 광범위한 종류의 랜덤 수열 생성 과정에 적용된다. 결과적으로, |''f''_''n''|의 ''n''제곱근은 상수 값으로 거의 확실하게 또는 확률 1로 수렴한다.

:

\sqrt[n]

\to 1.1319882487943\dots \text{ as } n \to \infty.

1999년 디바카 비슈바나트에 의해 이 상수에 대한 명시적인 식이 발견되었다. 이는 랜덤 행렬 곱의 랴푸노프 지수에 대한 퍼스텐버그의 공식과 슈테른-브로코 나무에 대한 특정 프랙탈 측도에 대한 적분을 사용한다. 또한, 비슈바나트는 반올림 오차의 분석을 통해 검증된 부동 소수점 산술을 사용하여 위의 수치 값을 계산했다.

3. 2. 엠브리-트레페튼 상수

마크 엠브리와 닉 트레페튼은 1999년에 다음 수열

:

f_n=\pm f_{n-1}\pm \beta f_{n-2}

에서 β가 임계값 β* ≈ 0.70258보다 작으면 거의 확실하게 감소하고, 그렇지 않으면 거의 확실하게 증가한다는 것을 보였다. 이 임계값은 엠브리-트레페튼 상수라고 알려져 있다.^[4] 그들은 또한 연속하는 항 사이의 점근적 비율 σ(β)가 모든 β 값에 대해 거의 확실하게 수렴한다는 것을 보였다. σ(β)의 그래프는 프랙탈 구조를 갖는 것으로 보이며, β_min ≈ 0.36747 근처에서 전역 최소값을 가지며, 그 값은 대략 σ(β_min) ≈ 0.89517이다.^[4]

4. 역사적 배경

4. 1. 고전적 피보나치 수열과의 관계

4. 2. 퍼스텐버그와 케스텐의 연구

4. 3. 비슈바나트의 연구

5. 일반화

마크 엠브리와 닉 트레페튼은 1999년에 다음 수열

: $f_n=\pm f_{n-1}\pm \beta f_{n-2}$

이 '''β'''가 임계값 ''β''* ≈ 0.70258보다 작으면 거의 확실하게 감소하고, 그렇지 않으면 거의 확실하게 증가한다는 것을 보였다.^[4] 이 임계값은 엠브리-트레페튼 상수라고 알려져 있다.

그들은 또한 연속하는 항 사이의 점근적 비율 ''σ''(''β'')가 모든 '''β''' 값에 대해 거의 확실하게 수렴한다는 것을 보였다.^[4] ''σ''(''β'')의 그래프는 프랙탈 구조를 갖는 것으로 보이며, ''β''_min ≈ 0.36747 근처에서 전역 최소값을 가지며, 그 값은 대략 ''σ''(''β''_min) ≈ 0.89517이다.^[4]

5. 1. 엠브리-트레페튼 상수

마크 엠브리와 닉 트레페튼은 1999년에 다음 수열

:

f_n=\pm f_{n-1}\pm \beta f_{n-2}

이 '''β'''가 임계값 ''β''* ≈ 0.70258보다 작으면 거의 확실하게 감소하고, 그렇지 않으면 거의 확실하게 증가한다는 것을 보였다.^[4] 이 임계값은 엠브리-트레페튼 상수라고 알려져 있다.

그들은 또한 연속하는 항 사이의 점근적 비율 ''σ''(''β'')가 모든 '''β''' 값에 대해 거의 확실하게 수렴한다는 것을 보였다.^[4] ''σ''(''β'')의 그래프는 프랙탈 구조를 갖는 것으로 보이며, ''β''_min ≈ 0.36747 근처에서 전역 최소값을 가지며, 그 값은 대략 ''σ''(''β''_min) ≈ 0.89517이다.^[4]

6. 한국의 관점

6. 1. 학술적 의의

6. 2. 사회적 영향

참조

_[1] 논문 Random Fibonacci sequences and the number 1.13198824...
_[2] 논문 Interval Computation of Viswanath's Constant
_[3] 논문 An elementary proof that random Fibonacci sequences grow exponentially
_[4] 논문 Growth and decay of random Fibonacci sequences http://people.maths.[...]
_[5] 웹사이트 OEIS-A078416 http://oeis.org/sear[...]
_[6] 웹사이트 OEIS-A118288 http://oeis.org/A118[...]

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비슈바나트 상수
일반 정보
임의의 피보나치 수열의 성장률을 보여주는 플롯
수열 정보
이름	임의의 피보나치 수열
정의	f(n+2) = ± f(n+1) ± f(n) (각 ±는 50%의 확률로 독립적으로 선택됨)
성장률	지수 함수적
성장 상수	1.13198824... (비슈바나트 상수)
성장 상수 기호	C
관련 수열
관련 수열	피보나치 수열
상수 정보
이름	비슈바나트 상수
값	1.1319882487943...
정의	임의의 피보나치 수열의 성장률
기호	C
발견자	디비야 비슈바나트
발견 연도	1999년
소수 여부	알려지지 않음