사면반육면체
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1. 개요
사면반육면체는 7개의 면(정삼각형 4개, 정사각형 3개)과 12개의 모서리, 6개의 꼭짓점을 가진 무방향성 다면체이다. 오일러 지표가 1이며, 로만 곡면과 유사한 실수 사영 평면의 표현으로 간주된다. 정팔면체와 동일한 꼭짓점과 모서리를 공유하며, 쌍대 다면체는 사면반육십이면체이다. 깎은 정육면체의 2-덮개로 덮히며, 엇갈린 삼각형 각기둥으로 구성될 수 있다.
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| 사면반육면체 |
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2. 관련 표면
사면반육면체는 뫼비우스의 띠처럼 한쪽 면만 존재하는 곡면의 특성을 가진다.
2. 1. 로만 곡면과의 관계
사면반육면체는 무방향성 표면이다. 오일러 지표 1을 갖춘 유일한 고른 다면체이므로 로만 곡면(Roman surface)과 비슷한 실수 사영 평면의 표현을 만들어내는 투영 다면체이다.[5]3. 관련 다면체
사면반육면체는 정팔면체와 꼭짓점 및 모서리를 공유한다. 정팔면체의 8개 삼각형 면 중 4개를 공유하며, 다면체의 중심을 통과하는 3개의 정사각형 면을 추가로 갖는다.[2]
 팔면체 |  사면반육면체 |
사면반육면체는 엇갈린 삼각형 각기둥으로 구성될 수도 있다.
3. 1. 쌍대 관계
사면반육면체의 쌍대는 사면반육십이면체이다.[4] 반다면체는 중심을 통과하는 면을 가지므로, 쌍대 도형은 무한대에 해당하는 꼭짓점을 갖는다. 정확히는 무한대에서의 실수 사영 평면에 위치한다.
마그누스 웬니저는 그의 저서 ''쌍대 모형''에서 대칭성을 유지하기 위해 각 방향으로 무한대까지 뻗어 나가는 교차하는 각기둥으로 이들을 표현했다. 실제 모형에서는 제작자가 편리한 지점에서 각기둥을 잘라낸다. 웬니저는 이러한 도형을 ''무한대로의 별모양화''라고 불리는 새로운 종류의 별모양화 도형의 구성원으로 제시했다. 하지만 그는 또한 엄밀히 말하면 이들의 구조가 일반적인 정의를 따르지 않기 때문에 다면체라고 할 수 없다고 제안했다.
위상학적으로, 사면반육면체는 7개의 꼭짓점을 포함하는 것으로 간주된다. 무한대에 있는 것으로 간주되는 세 개의 꼭짓점(무한대에서의 실수 사영 평면)은 추상 다면체인 반팔면체의 세 꼭짓점에 해당한다. 다른 네 개의 꼭짓점은 중앙 정육면체(이 경우 반정육면체, 즉 사면체)의 교차하는 모서리에 존재한다.
3. 2. 깎은 정육면체와의 관계
사면반육면체는 깎은 정육면체로 덮히는 2-덮개 관계를 갖는다.[2] 깎은 정육면체는 사면반육면체와 같은 추상 꼭짓점 도형(3.4.3.4)을 가지며, 꼭짓점, 모서리, 면의 개수가 두 배이다. 깎은 정육면체 | 사면반육면체 |
4. 성질
사면반육면체는 면 7개, 변 12개, 꼭짓점 6개로 이루어진 다면체이다. 면은 정삼각형 4개와 정사각형 3개로 구성되어 있는데, 정삼각형은 정팔면체의 면 중 4개에 해당하고, 정사각형은 정팔면체의 적도면에 해당하며 대각선으로 교차한다. 꼭짓점 모양은 3, 4, 3/2, 4인데, 이는 3, 4, 3, 4가 나비 넥타이 모양으로 교차하는 형태이다. 와이소프 기호는 3 3/2 | 2이다. 사면반육면체의 쌍대다면체는 Tetrahemihexacron영어이며, 정육면체의 면을 무한히 연장한 것과 같은 모양이다.
| 성질 | 값 |
|---|---|
| 면 | 7개 (정삼각형 4개, 정사각형 3개) |
| 변 | 12개 |
| 꼭짓점 | 6개 |
| 꼭짓점 모양 | 3, 4, 3/2, 4 (나비 넥타이 모양) |
| 와이소프 기호 | 2 |
| 쌍대다면체 | Tetrahemihexacron영어 |
5. 별모양 각기둥과의 관계
사면반육면체는 엇갈린 삼각형 각기둥으로 구성될 수도 있다. 모든 각기둥과 그 쌍대 도형은 위상적으로 사영 평면이다.[3]
| 3 | 5 | 7 | n/d |
|---|---|---|---|
{3/2영어} 사면반육면체 (거꾸로) |  {5/2영어} 오각별 각기둥 |  {7/2영어} 칠각별 각기둥 | 2 |
| — |  {5/4영어} 엇갈린 오각 각기둥 (거꾸로) |  {7/4영어} 엇갈린 칠각별 각기둥 | 4 |
참조
[1]
웹사이트
04: tetrahemihexahedron
https://www.mathcons[...]
[2]
서적
Richter
[3]
간행물
Polyhedral Models of the Projective Plane
https://archive.brid[...]
Bridges 2018 Conference Proceedings
[4]
서적
Wenninger
https://books.google[...]
2003
[5]
서적
Richter
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