사이먼 도널드슨

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1. 개요
2. 생애
3. 주요 업적
4. 수상 경력
5. 참고 논문
참조

1. 개요

사이먼 도널드슨은 영국의 수학자이다. 그는 1982년 4차원 매끄러운 다양체의 위상수학에 대한 획기적인 연구로 수학계에 큰 영향을 미쳤으며, 1986년 필즈상을 수상했다. 그의 연구는 게이지 이론, 4차원 다양체, 복소 미분 기하학, 심플렉틱 기하학 등 다양한 분야에 걸쳐 있으며, 도널드슨 정리, h-코보디즘 정리, 도널드슨 불변량 등 중요한 업적을 남겼다. 최근에는 극값 켈러 계량의 존재에 대한 연구로 첸 시우슝, 쑨 쑹과 함께 오스왈드 베블런 기하학상을 수상했다.

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사이먼 도널드슨 - [인물]에 관한 문서
기본 정보
출생 이름	사이먼 커원 도널드슨
출생일	1957년 8월 20일
출생지	영국 케임브리지
국적	영국
학문 분야	위상수학
소속
소속 기관	임페리얼 칼리지 런던 뉴욕 주립 대학교 스토니브룩 캠퍼스 프린스턴 고등연구소 스탠퍼드 대학교 옥스퍼드 대학교 올 소울스 칼리지
모교	펜브룩 칼리지
박사 지도 교수	마이클 아티야 나이절 히친
박사 학위 취득 대학	옥스퍼드 대학교
박사 학위 학생	오스카 가르시아 프라다 도미닉 조이스 디터 코치크 그레이엄 넬슨 폴 자이델 이반 스미스 가보르 세켈리히디 리처드 토마스 마이클 타데우스
학위 논문 제목	켈러 다양체에서의 양-밀스 방정식 (The Yang–Mills Equations on Kähler Manifolds)
학위 수여 년도	1983년
학위 논문 URL	The Yang–Mills Equations on Kähler Manifolds
업적
주요 업적	매끄러운(미분 가능한) 4차원 다양체의 위상수학 도널드슨 이론 도널드슨 정리 도널드슨-토마스 이론 도널드슨-울렌벡-야우 정리 K-안정성 파노 다양체의 K-안정성 야우-톈-도널드슨 추측
기여 분야	도널드슨 불변량
수상
수상 내역	주니어 화이트헤드 상 (1985년) 필즈상 (1986년) 로열 메달 (1992년) 크라포르드상 (1994년) 폴리아상 (1999년) 킹 파이잘 국제상 (2006년) 네머스 수학상 (2008년) 쇼상 수학 분야 (2009년) 브레이크스루 수학상 (2014년) 오스왈드 베블런 상 (2019년) 울프 수학상 (2020년)
기타	왕립학회 회원

2. 생애

사이먼 도널드슨은 케임브리지에서 태어났다.^[2] 그의 아버지는 케임브리지 대학교 생리학과 전기 기술자였고, 어머니는 같은 대학교에서 이학 학위를 받았다.^[2]

도널드슨은 마이클 프리드먼의 결과와 함께 이국적 구조를 가진 4차원 공간의 존재를 증명하였다. 이는 4차원 매끄러운 다양체로서 위상수학적으로는 일반적인 4차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^4$ 와 같으나 미분기하학적으로는 같지 않은 구조가 있다는 것을 의미한다. 즉, 4차원 유클리드 공간에는 두 개 이상의 매끄러운 다양체 구조가 존재한다는 것이다. 이러한 현상은 오로지 차원이 4일 때만 나타나기 때문에 놀라운 결과였다.

도널드슨은 1985년에 런던 수학회에서 수여하는 주니어 화이트헤드상을 수상하였고, 이듬해 왕립학회 회원으로 선출되었으며, 1986년에는 필즈상을 수상하였다.^[3] 1994년에는 크라포르드상을 수상하였다.

2. 1. 케임브리지 대학교와 펨브로크 칼리지

사이먼 도널드슨은 케임브리지 대학교에서 태어났으며, 1979년 펨브로크 칼리지에서 수학 학사 학위를 받았다.^[2] 그의 아버지는 케임브리지 대학교 생리학과 전기 기술자였고, 어머니는 같은 대학교에서 이학 학위를 받았다.^[2]

2. 2. 옥스퍼드 대학교와 우스터 칼리지

1980년에 옥스퍼드 대학교 우스터 칼리지(Worcester College)에서 박사 과정을 시작했다. 처음에는 나이절 히친이 지도교수였으나 이후 마이클 아티야의 지도 아래에서 공부하였다. 1982년, 2학년 대학원생 신분으로 수학계를 놀라게 한 결과를 증명하였고, 1983년에 이 결과를 〈자기 쌍대 접속과 4차원 매끄러운 다양체의 위상수학〉(Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds)이라는 제목으로 출판하였다.^[3]

1983년, 이 결과를 박사 논문으로 옥스퍼드 대학교를 졸업하고 옥스퍼드 올 솔스 칼리지(All Souls College)에서 연구원 생활을 시작하였다. 1983-84학년도에는 미국 프린스턴의 프린스턴 고등 연구소에서 연구하였으며, 그 후 옥스퍼드 대학교로 돌아와 1985년에 월리스 수학 교수직을 맡게 되었다.

2. 3. 옥스퍼드 대학교, 프린스턴 고등 연구소, 임페리얼 칼리지 런던, 스토니브룩 대학교

1983년 옥스퍼드 대학교에서 DPhil 학위를 받은 후, 올 소울스 칼리지의 주니어 연구 펠로우로 임명되었다.^[2] 1983~84학년도를 프린스턴 고등 연구소에서 보냈고,^[2] 1985년 월리스 수학 교수로 옥스퍼드 대학교로 돌아왔다.^[5] 스탠퍼드 대학교를 1년 방문한 후,^[4] 1998년 순수 수학 교수로 임페리얼 칼리지 런던으로 옮겨갔다.^[5] 2014년에는 미국 뉴욕의 스토니브룩 대학교에 있는 시몬스 기하학 및 물리학 센터에 합류했다.^[1]

3. 주요 업적

사이먼 도널드슨은 수학적 분석(특히 타원형 편미분 방정식 분석)을 기하학 문제에 적용하는 연구를 통해 다양한 업적을 남겼다. 그의 연구는 주로 게이지 이론, 4차원 다양체, 복소 미분 기하학, 심플렉틱 기하학과 관련되어 있다.

도널드슨의 주요 업적은 다음과 같이 요약될 수 있다.

대각화 가능 정리: 매끄럽고 닫힌, 단일 연결 4차원 다양체의 교차 형식이 양의 정부호 또는 음의 정부호이면 정수 위에서 대각화 가능하다는 정리이다.
h-코보디즘 정리: 단순 연결 4차원 다양체 사이의 매끄러운 h-코보디즘은 자명하지 않을 수 있다는 것을 증명했다.
안정 정칙 벡터 다발과 에르미트-아인슈타인 메트릭: 비특이 사영 대수 다양체 위의 안정적인 정칙 벡터 다발은 에르미트-아인슈타인 메트릭을 허용한다는 것을 증명했다.
도널드슨 불변량 (인스턴톤 불변량): 도널드슨 불변량을 이용하여 비특이 사영 대수 곡면이 두 개의 유향 4차원 다양체의 연결 합과 미분 동형일 수 있는지에 대한 조건을 제시했다.
콤팩트 심플렉틱 다양체와 레프셰츠 펜슬: 모든 콤팩트 심플렉틱 다양체가 심플렉틱 레프셰츠 펜슬을 허용한다는 것을 증명했다.
극값 켈러 계량 (K-안정성): 극값 켈러 계량과 관련된 복소 미분 기하학 문제, 특히 켈러-아인슈타인 메트릭의 존재 조건을 연구하고, K-안정성과의 관계를 밝혔다.

이러한 업적들은 현대 수학, 특히 기하학과 위상수학의 발전에 큰 영향을 미쳤다.

3. 1. 도널드슨 정리 (대각화 가능 정리)

도널드슨의 대각화 가능 정리는 다음과 같다.^[17]

: 매끄럽고 닫힌, 단일 연결 4차원 다양체의 교차 형식이 양의 정부호 또는 음의 정부호이면 정수 위에서 대각화 가능하다. 이 결과는 때때로 도널드슨 정리라고 불린다.

3. 2. h-코보디즘 정리

도널드슨은 단순 연결 4차원 다양체 사이의 매끄러운 h-코보디즘은 자명하지 않을 수 있음을 증명하였다. 이는 더 높은 차원의 상황과 대조적이다.

3. 3. 도널드슨 불변량 (인스턴톤 불변량)

도널드슨의 초기 연구 업적 중 하나는 도널드슨 불변량(인스턴톤 불변량)을 응용한 것이다. 도널드슨은 비특이 사영 대수 곡면이 두 개의 유향 4차원 다양체의 연결 합과 미분 동형일 수 있는데, 그 중 하나가 음의 정부호 교차 형식을 가질 경우에만 가능함을 증명하였다.^[17]

3. 4. 안정 정칙 벡터 다발과 에르미트-아인슈타인 메트릭

도널드슨은 수학적 분석, 특히 타원형 편미분 방정식 분석을 기하학 문제에 적용하는 연구를 진행했다. 이러한 문제들은 주로 게이지 이론, 4차원 다양체, 복소 미분 기하학, 심플렉틱 기하학과 관련이 있다.

도널드슨은 비특이 사영 대수 다양체 위의 안정적인 정칙 벡터 다발은 에르미트-아인슈타인 메트릭을 허용한다는 것을 귀납적 증명과 행렬식 다발 및 퀼렌 메트릭 이론을 사용하여 증명하였다.^[17]

3. 5. 사영 대수 곡면과 미분 동형

도널드슨은 비특이 사영 대수 곡면이 두 개의 유향 4차원 다양체의 연결 합과 미분 동형이 될 수 있으며, 그 중 하나가 음의 정부호 교차 형식을 가질 경우에만 가능하다는 것을 증명하였다.^[17] 이는 도널드슨 불변량(인스턴톤 불변량)의 초기 응용이었다.

3. 6. 콤팩트 심플렉틱 다양체와 레프셰츠 펜슬

도널드슨은 모든 콤팩트 심플렉틱 다양체가 심플렉틱 레프셰츠 펜슬을 허용한다는 것을 증명하였다.^[17]

3. 7. 극값 켈러 계량 (K-안정성)

도널드슨은 최근 매끄러운 사영 대수 다양체에 대한 대수 기하학적 "안정성" 조건과 "극값" 켈러 다양체 (일반적으로 상수 스칼라 곡률을 갖는 경우, 예를 들어 cscK 메트릭 참조)의 존재에 대한 추측적 관계에 관한 복소 미분 기하학 문제에 집중적으로 연구하였다.^[17] 도널드슨은 이 문제의 토릭 사례에서 결과를 얻었으며,^[17] 2012년에는 첸 및 쑨과 공동으로 문제의 켈러-아인슈타인 메트릭 사례를 해결했다.^[17] 이 놀라운 성과는 많은 어렵고 기술적인 논문을 포함했는데, 이 중 첫 번째는 Gromov–Hausdorff 극한에 관한 것이었다.^[17] 켈러-아인슈타인 메트릭의 존재 증명 요약은 Chen^영어, Donaldson^영어, Sun^영어의 논문에 나타나며,^[17] 증명의 전체 세부 사항은 이들의 3편의 논문에 걸쳐 제시되었다.^[17]

2019년, 도널드슨은 첸 시우슝, 쑨 쑹과 함께 오스왈드 베블런 기하학상을 수상했는데, 이는 수학 기하학 분야의 오랜 추측, 즉 "파노 다양체가 Kähler-Einstein 계량을 가질 필요충분조건이 K-안정하다"는 것을 증명한 공로였다.^[18] 이 문제는 싱퉁 야우가 칼라비 추측을 증명한 후 1980년대에 제안된 이래 기하학 분야에서 가장 활발하게 연구된 주제 중 하나였으며, 이후 톈 강과 도널드슨에 의해 일반화되었다.^[18] 첸, 도널드슨, 쑨의 해법은 2015년 미국수학회지에 "파노 다양체의 Kähler-Einstein 계량, I, II, III"라는 제목의 3부작 논문으로 게재되었다.^[18]

4. 수상 경력

연도	상 이름	비고
1985년	런던 수학회 주니어 화이트헤드상	^[6]
1986년	ICM 필즈상	^[7]
1992년	런던 왕립 학회 로열 메달
1994년	스웨덴 왕립 과학 아카데미 크라포드상
1999년	폴리야상
2006년	킹 파이살 국제상 과학 부문
2008년	프레데릭 에서 넴머스 수학상
2009년	쇼상	클리포드 토브스와 공동 수상^[10]
2014년	수학 획기적인 상	^[11]
2019년	오스왈드 베블렌 기하학상	첸 시우슝, 송 쑨과 공동 수상^[18]
2020년	울프상 수학 부문	야코프 엘리아슈베르그와 공동 수상^[12]

5. 참고 논문

논문 제목	저널	연도	비고
An application of gauge theory to four-dimensional topology\|4차원 위상수학에 대한 게이지 이론의 응용^영어	J. Differential Geom.	1983	^[16]
Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds\|자가 쌍대 연결과 매끄러운 4-다양체의 위상^영어	Bull. Amer. Math. Soc.	1983	^[17]
The geometry of four-manifolds\|4-다양체의 기하학^영어	Oxford University Press	1990	Kronheimer, P. B.\|크론하이머, P. B.^영어 공저^[19]
인스턴톤과 기하학적 불변 이론	Comm. Math. Phys.	1984
Yang-Mills 모듈 공간의 방향과 4-다양체 위상	J. Differential Geom.	1987
비합리성과 h-코보디즘 추측	J. Differential Geom.	1987
무한 행렬식, 안정 번들 및 곡률	Duke Math. J.	1987
매끄러운 4-다양체에 대한 다항식 불변량	Topology	1990
심플렉틱 다양체에 대한 레프셰츠 펜슬	J. Differential Geom.	1999
스칼라 곡률과 사영 임베딩. I	J. Differential Geom.	2001
켈러 다양체의 그로모프-하우스도르프 극한 및 대수 기하학	Acta Math.	2014	선, 송 공저
켈러-아인슈타인 계량과 안정성	Int. Math. Res. Notices	2014	첸, 시우슝; 선, 송 공저
파노 다양체 위의 켈러-아인슈타인 계량 I: 콘 특이점을 갖는 계량의 근사	J. Amer. Math. Soc.	2015	첸, 시우슝; 선, 송 공저
파노 다양체 위의 켈러-아인슈타인 계량 II: 콘 각도가 2π보다 작은 극한	J. Amer. Math. Soc.	2015	첸, 시우슝; 선, 송 공저
파노 다양체 위의 켈러-아인슈타인 계량 III: 콘 각도가 2π에 접근함에 따른 극한 및 주요 증명의 완성	J. Amer. Math. Soc.	2015	첸, 시우슝; 선, 송 공저
Yang-Mills\|양-밀스^영어 이론에서 플로어 호몰로지 군	Cambridge University Press	2002
리만 곡면	Oxford University Press	2011	^[20]

참조

_[1] 웹사이트 Simon Donaldson, Simons Center for Geometry and Physics http://scgp.stonybro[...]
_[2] 웹사이트 Simon Donaldson Autobiography, The Shaw Prize, 2009 http://www.shawprize[...]
_[3] 논문 On the work of Simon Donaldson
_[4] 웹사이트 Biography at DeBretts http://www.debretts.[...]
_[5] 웹사이트 Donaldson, Sir Simon (Kirwan) https://www.ukwhoswh[...] Oxford University Press 2019-06-02
_[6] 웹사이트 ICM Plenary and Invited Speakers https://www.mathunio[...] 2022-09-03
_[7] 서적 Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Berkeley 1986)
_[8] 서적 Doc. Math. (Bielefeld) Extra Vol. ICM Berlin, 1998, vol. II
_[9] 웹사이트 ICM Plenary and Invited Speakers, International Mathematical Union (IMU) https://www.mathunio[...]
_[10] 웹사이트 The Shaw Prize http://www.shawprize[...] 2009-06-16
_[11] 웹사이트 Five Winners Receive Inaugural Breakthrough Prize in Mathematics https://breakthrough[...] 2022-05-21
_[12] 웹사이트 Wolf Prize 2020 https://wolffund.org[...] 2023-01-08
_[13] 뉴스 New foreign members elected to the academy http://www.kva.se/en[...] Royal Swedish Academy of Sciences 2010-05-26
_[14] 간행물 London Gazette 2011-12-31
_[15] 웹사이트 List of Fellows of the American Mathematical Society http://www.ams.org/p[...] 2012-11-10
_[16] 웹사이트 Doctores "Honoris Causa" Facultad de Ciencias Matemáticas https://matematicas.[...] 2023-10-27
_[17] 논문 On the existence of Hermitian-Yang-Mills connections in stable vector bundles
_[18] 웹사이트 2019 Oswald Veblen Prize in Geometry to Xiuxiong Chen, Simon Donaldson, and Song Sun http://www.ams.org/n[...] 2019-04-09
_[19] 논문 Review: ''The geometry of four-manifolds'', by S. K. Donaldson and P. B. Kronheimer http://www.ams.org/j[...]
_[20] 논문 Review: ''Riemann surfaces'', by S. K. Donaldson http://www.ams.org/j[...]
_[21] 웹사이트 Announcement of The Shaw Laureates 2009 http://www.shawprize[...] The Shaw Prize 2009-11-01

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