상반방정식

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 해법
5. 상반다항식 급수 곱
6. 응용
- 6.1. 부호 이론
- 6.2. 기타 응용
7. 한국 교육과정과의 연관성
참조

1. 개요

상반방정식은 다항식의 계수가 대칭을 이루는 방정식을 의미하며, 켤레 상반다항식은 복소수 계수를 가질 때 사용된다. 상반 방정식은 차수가 같고 근의 역수도 근이 되는 성질을 가지며, 홀수 차수의 자기 상반 다항식은 x+1로 나누어지므로 기약 다항식이 아니다. 짝수차 상반방정식은 $x + \frac{1}{x}$ 로 치환하여 풀 수 있으며, 홀수차 상반방정식은 조립제법 등을 이용하여 차수를 낮춰 푼다. 준상반방정식은 $x + \frac{m}{x}$ 을 치환하여 해결한다. 상반방정식은 순회 부호 이론과 같은 분야에 응용된다.

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상반방정식
정의
다른 이름	회문 다항식 자기 상반 다항식
성질
대칭성	계수가 중심을 기준으로 대칭을 이룸
근의 관계	만약 α가 p(x)의 근이면, 1/α도 p(x)의 근임 α가 단위근이면, α의 역수도 단위근임
활용	부호화 이론, 암호학 등
생성 방법
변환	다항식의 계수를 역순으로 배열
수식	p*(x) = x^n p(1/x), 여기서 n은 다항식의 차수
예시
4차 상반 다항식	a + bx + cx^2 + bx^3 + ax^4
방정식	상반 방정식
관련 개념
자기 수반 연산자	자기 수반 연산자
듀얼 다항식	듀얼 다항식

2. 정의

상반방정식은 다항식의 계수가 중앙 항을 기준으로 대칭을 이루는 방정식을 의미한다. 일반적인 형태는 다음과 같다. 켤레 상반다항식은 복소수 계수를 가질 때 사용되는 개념으로, 계수들의 켤레 복소수가 원래 계수와 대칭을 이루는 경우를 말한다.^[11]

다항식 ''p''(''z'')가 실수 계수를 갖는 ''z''₀의 최소 다항식이고, |''z''₀| = 1, ''z''₀ ≠ 1 이라면, ''p''(''z'')는 자기 상반이다. 이는 ''z''₀가 $z^n\overline{p(\bar{z}^{-1})}$ 의 근이고, 최소 다항식은 유일하며, 어떤 상수 ''c''에 대해 $cp(z) = z^n\overline{p(\bar{z}^{-1})}$ 가 성립하기 때문이다. 결과적으로, 원분 다항식 Φ_''n''는 ''n'' > 1에 대해 자기 상반이며, 특수 수체 체에서 ''x''¹¹ ± 1, ''x''¹³ ± 1, ''x''¹⁵ ± 1 및 ''x''²¹ ± 1 형태의 수를 소인수 분해하는 데 사용된다.

콘 정리에 따르면, 자기 반전 다항식은 단위 원판 내부에 그 도함수의 상반 다항식과 동일한 수의 근을 갖는다.^[12]^[13]

임의의 체에 계수를 갖는 다항식 p가 주어질 때, 그 상반다항식은 $p^*(x) := a_n + a_{n-1}x + \cdots + a_0x^n = x^n p(x^{-1})$ 로 정의된다.

다항식 p가 복소수를 계수로 갖는 경우, 켤레 상반다항식은 $p^{\dagger}(z) := \bar{a} + \bar{a}_{n-1}z + \cdots + \bar{a}_0z^n = z^n\,\overline{p(\bar{z}^{-1})}$ 로 정의된다. 다항식 p가 자기 상반이라는 것은, ''p'' = ''p*''가 성립할 때를 말하며, 켤레 상반의 의미에서의 자기 상반다항식의 계수는 반드시 모두 실수여야 한다.

3. 성질

상반 방정식은 원래 다항식과 밀접한 관련이 있다.

차수가 같고, 근의 역수도 근이 되는 성질을 갖는다.^[4]
p(x) = xⁿp^∗(x⁻¹)이다.^[2]
p가 기약 다항식일 경우에만 p^∗도 기약 다항식이다.^[5]
p가 원시다항식이면, p^∗도 원시다항식이다.^[4]

홀수 차수의 자기 상반 다항식은 x+1로 나누어지므로, 1보다 큰 차수에서는 기약 다항식이 아니다. 자기 상반 다항식은 계수가 다항식을 오름차순 또는 내림차순으로 쓸 때 회문을 형성하기 때문에 회문 다항식이라고도 한다.

이항 계수의 성질에 따르면, 다항식 (x + 1)ⁿ은 모든 양의 정수에 대해 회문 다항식이며, 다항식 (x – 1)ⁿ은 n이 짝수일 때는 회문 다항식, 패리티가 홀수일 때는 반회문 다항식이다. 회문 다항식의 다른 예로는 원분 다항식과 오일러 다항식이 있다.

만약 a가 회문 다항식 또는 반회문 다항식의 근이라면, 1/a 또한 근이며 동일한 중복도를 갖는다.^[6]
역도 성립한다: 다항식의 각 근 a에 대해, 값 1/a가 동일한 중복도의 근이라면, 그 다항식은 회문 다항식 또는 반회문 다항식이다.
임의의 다항식 q에 대해, 다항식 q + q^∗는 회문 다항식이고, 다항식 q − q^∗는 반회문 다항식이다. 따라서 임의의 다항식 q는 회문 다항식과 반회문 다항식의 합으로 표현될 수 있다.^[7]
두 회문 다항식 또는 반회문 다항식의 곱은 회문 다항식이다.
회문 다항식과 반회문 다항식의 곱은 반회문 다항식이다.
홀수 차수의 회문 다항식은 x + 1의 배수이며 (–1을 근으로 가짐) x + 1로 나눈 몫 또한 회문 다항식이다.
홀수 표수를 갖는 체 k 위의 반회문 다항식은 x – 1의 배수이며 (1을 근으로 가짐) x – 1로 나눈 몫은 회문 다항식이다.
짝수 차수의 반회문 다항식은 x² – 1의 배수이며 (–1과 1을 근으로 가짐) x² – 1로 나눈 몫은 회문 다항식이다.
만약 p(x)가 짝수 차수 2d의 회문 다항식이라면, p(x) = x^dq(x + 1/x)를 만족하는 차수 d의 다항식 q가 존재한다.^[8]
만약 p(x)가 홀수 표수를 갖는 체 k 위의 짝수 차수 2d의 단항 반회문 다항식이라면, p(x) = x^d(Q(x) − Q(1/x))로 유일하게 쓸 수 있으며, 여기서 Q는 상수항이 없는 차수 d의 단항 다항식이다.^[9]
만약 반회문 다항식 P가 홀수 표수를 갖는 체 k 위에서 짝수 차수 2n를 가진다면, 그 "중간" 계수 (n차의 계수)는 0이다.^[9]

실수 계수를 갖고 모든 복소수 근이 복소 평면에서 단위 원 위에 있는(즉, 모든 근의 크기가 1인) 다항식은 회문 다항식이거나 반회문 다항식이다.^[10]

4. 해법

4. 1. 짝수차 상반방정식

최고차항이 짝수인 상반방정식은 다음과 같이 풀 수 있다.

예)

ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0

양변을 중앙항(

x^2

)으로 나눈다.

:

ax^2 + bx + c + \frac{b}{x} + \frac{a}{x^2} = 0

x+\frac{1}{x}

의 형태로 정리한다.

:

a(x^2 + \frac{1}{x^2}) + b(x + \frac{1}{x}) + c = 0

:

a((x + \frac{1}{x})^2 - 2) + b(x + \frac{1}{x}) + c = 0

이때

X = x + \frac{1}{x}

으로 치환하면

:

aX^2 + bX + (c - 2a) = 0

이 된다. 이

X

에 대한 이차방정식을 근의 공식을 이용하여 풀면

:

X = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4a(c-2a)\ }}{2a}

를 얻는다. 이 식을

X = x + \frac{1}{x}

에 대입하면

x

의 해를 구할 수 있다.

4. 2. 홀수차 상반방정식

홀수차 상반방정식은 최고차항이 홀수인 상반방정식을 말한다.

예) a + b + c + c + bx + a = 0

이 식은 먼저 하나의 해는 -1임을 가정한다.

1이 나올 수 있는 인수는 (x+1)이므로 조립제법이나 다항식의 나눗셈을 통해 남는 인수를 알아낸다.

조립제법을 이용하면 방정식은 차수가 내려가게 되고 이 방정식은 짝수차 상반방정식이므로 짝수차의 해법을 이용하여 푼다.

a+(-a+b)+(a-b+c)+(-a+b)x+a =0

4. 3. 준상반방정식

준상반방정식은, 상반방정식이 아닌 것처럼 보이지만 실제적으로는 상반방정식의 해법을 응용하여 풀 수 있는 방정식이다. 이 방정식의 형태는

:

ax^4 + bx^3 + cx^2 + bmx + am^2 = 0

과 같이 중앙항의 바로 다음 항부터는 같은 수인 m을 곱하여 나타낸 것이다. 이 경우에는 상반방정식에서는

x + \frac{1}{x}

을 치환하던 것을 바꾸어

x + \frac{m}{x}

을 치환해서 풀면 된다.

5. 상반다항식 급수 곱

급수 곱을 통해 상반방정식을 표현할 수 있다. 홀수차 상반방정식은 $\left(\sum_{n=0}^{n} {x^n} \right) \cdot \left(\sum_{n=0}^{n-1} {x^n}\right)$ 으로, 짝수차 상반방정식은 $\left(\sum_{n=0}^{n} {x^n} \right) \cdot \left(\sum_{n=0}^{n} {x^n}\right)$ 으로 표현된다.

예를 들어, $\left(\sum_{n=0}^{3} {x^n} \right) \cdot \left(\sum_{n=0}^{3-1} {x^n}\right)$ 와 같이 2개의 수렴하는 수열의 곱 $(x^3,x^2,x^1,x^0)\cdot(x^2,x^1,x^0)$ 에서 상반방정식을 유도할 수 있다.

$(x^3+x^2+x^1+x^0)\cdot(x^2+x^1+x^0)$

$= x^3(x^2+x^1+x^0)+x^2(x^2+x^1+x^0)+x^1(x^2+x^1+x^0)+x^0(x^2+x^1+x^0)$

$= x^3(x^2+x^1+1)+x^2(x^2+x^1+1)+x^1(x^2+x^1+1)+1(x^2+x^1+1)$

$= (x^5+x^4+x^3)+(x^4+x^3+x^2)+(x^3+x^2+x^1)+(x^2+x^1+1)$

$= x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x^1+1$ (5차 방정식중 상반방정식)

6. 응용

6. 1. 부호 이론

순회 오류 정정 부호 이론에서 상반다항식이 활용된다. ''x''^''n'' − 1 = ''g''(''x'')''p''(''x'')와 같이 ''x''^''n'' − 1이 두 다항식의 곱으로 인수분해될 수 있다고 가정할 때, ''g''(''x'')가 순회 부호 ''C''를 생성하면, 상반방정식 ''p''^∗는 ''C''의 직교 여원인 ''C''^⊥를 생성한다.^[14] 또한, ''p''^∗가 ''g''(''x'')를 나눌 때에만 ''C''는 자기 직교(즉, ''C'' ⊆ ''C''^⊥)이다.^[15]

6. 2. 기타 응용

실수 계수를 갖는 다항식의 모든 복소수 근이 복소 평면에서 단위 원 위에 있을 때 (즉, 모든 근의 크기가 1), 그 다항식은 회문 다항식이거나 반회문 다항식이다.^[10] 다른 표현으로, 실수 계수 다항식의 근이 모두 가우스 평면 상의 단위 원 위에 놓여 있고 모든 근의 절대값이 1(단모)이면, 자기 상반이거나 반 자기 상반 중 하나이다.

7. 한국 교육과정과의 연관성

참조

_[1] 서적 Concrete mathematics : a foundation for computer science Addison-Wesley
_[2] 서적 A course in enumeration Springer
_[3] 문헌
_[4] 문헌
_[5] 문헌
_[6] 문헌
_[7] 간행물 Digital Signal Processing: A Computer Science Perspective Wiley Interscience
_[8] 문헌
_[9] 간행물 Convolution and Equidistribution : Sato-Tate Theorems for Finite Field Mellin Transformations Princeton University Press
_[10] 서적 2008 16th Mediterranean Conference on Control and Automation https://eprints.soto[...]
_[11] 서적 Number theory and polynomials. Proceedings of the workshop, Bristol, UK, April 3–7, 2006 Cambridge University Press
_[12] 논문 Zeros of self-inversive polynomials https://www.ams.org/[...] 1953
_[13] 논문 Zeros of self-inversive polynomials https://www.ams.org/[...] 1952
_[14] 문헌
_[15] 문헌
_[16] 웹사이트 Reciprocal equation Reciprocal_equation
_[17] 서적 Field Theory Springer-Verlag
_[18] 문서 Reciprocal polynomial

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