시간 상수

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1. 개요
2. 미분 방정식
3. 대역폭과의 관계
4. 계단 응답 (Step Response)
5. 시간 상수 예시
참조

1. 개요

시간 상수는 선형 시불변 시스템의 미분 방정식을 특징짓는 지수 감소 상수이다. 이는 시스템의 응답 속도를 나타내며, 전기 회로, 열역학, 신경생물학, 방사성 붕괴 등 다양한 분야에서 사용된다. 시간 상수는 시스템의 대역폭과 밀접한 관련이 있으며, 계단 응답과 같은 과도 응답의 특성을 결정한다.

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시간 상수
개요
정의	어떤 물리량이 정상 상태 값의 약 63.2%에 도달하는 데 걸리는 시간 또는 초기 값의 약 36.8%까지 감소하는 데 걸리는 시간
기호	τ (타우)
수식	RC 회로: τ = RC RL 회로: τ = L/R
설명
의미	시스템의 반응 속도를 나타내는 지표
계산	1τ: 정상 상태 값의 약 63.2% 도달 또는 초기 값의 약 36.8% 감소 2τ: 정상 상태 값의 약 86.5% 도달 3τ: 정상 상태 값의 약 95% 도달 4τ: 정상 상태 값의 약 98% 도달 5τ: 정상 상태 값에 거의 도달 (99.3%)
응용 분야
전기 회로	RC 회로, RL 회로 등의 과도 응답 분석
제어 시스템	시스템의 안정성 및 응답 속도 분석
신호 처리	필터 설계 및 신호 분석
기후 모델	에너지 균형 모델

2. 미분 방정식

물리학과 공학에서 '''시간 상수'''는 1차 선형 시불변(linear time-invariant; LTI) 시스템의 특성을 나타내는 매개변수이다.^[9]^[10] 1차 LTI 시스템은 미분 방정식으로 표현될 수 있다.

1차 선형계는 다음 미분 방정식으로 나타낼 수 있다.

: ${dV(t) \over dt} = - \alpha V(t)$

여기서 α는 지수 감소 계수를 나타내고, ''V''(t)는 시간 ''t''의 함수이다. 시정수 τ는 지수 감소 계수 α와 관련이 있으며, 다음의 관계를 가진다.

: $\tau = { 1 \over \alpha }$

2. 1. 일반적인 미분 방정식 형태

1차 LTI 시스템은 다음과 같은 미분 방정식으로 특징지어진다.^[9]^[10]

:

\tau \frac{dV}{dt} + V = f(t)

여기서 τ|타우^grc는 지수 감소 상수를 나타내고,

V

는 시간

t

의 함수이다.

:

V = V(t).

우변은 시간의 외부 구동 함수를 나타내는 ''강제 함수''

f(t)

로, 시스템 ''입력''으로 간주할 수 있으며,

V(t)

는 ''응답'' 또는 시스템 출력이다.

f(t)

의 고전적인 예는 다음과 같다.^[11]

헤비사이드 계단 함수는 종종

u(t)

로 표시된다.

:

u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1, & t \ge 0 \end{cases}

임펄스 함수는 종종

\delta(t)

로 표시되며, 사인 입력 함수도 있다.

:

f(t) = A \sin(2 \pi f t)

또는

:

f(t) = A e^{j \omega t},

여기서

A

는 강제 함수의 진폭,

f

는 헤르츠 단위의 주파수이며,

\omega = 2 \pi f

는 초당 라디안 단위의 주파수이다.

2. 2. 강제 함수 (f(t))의 예시

헤비사이드 계단 함수는 종종

u(t)

로 표시되며 다음과 같다.^[11]

:

u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1, & t \ge 0 \end{cases}

임펄스 함수는 종종

\delta(t)

로 표시되며, 사인 입력 함수도 있다.^[11]

:

f(t) = A \sin(2 \pi f t)

또는

:

f(t) = A e^{j \omega t },

여기서

A

는 강제 함수의 진폭,

f

는 헤르츠 단위의 주파수이며,

\omega

는 초당 라디안 단위의 주파수이다.

2. 3. 미분 방정식의 해

물리학과 공학에서 시간 상수(τ)는 1차 선형 시불변(LTI) 시스템의 매개변수이다. 초기 조건 V₀에서 강제 함수가 없는 경우 미분 방정식의 해는 다음과 같다.^[9]^[10]

:

V(t) = V_0 e^{-t / \tau}

여기서 V₀ = V(t=0)는 V의 초깃값이다. 따라서, 응답은 시간 상수 τ를 갖는 지수적 감쇠이다.

1차 선형계는 다음 미분 방정식으로 나타낼 수 있다.

:

{dV(t) \over dt} = - \alpha V(t)

여기서 α는 지수 감소 계수를 나타내고, V(t)는 시간 t의 함수이다. 시간 상수 τ는 지수 감소 계수 α와 관련이 있으며, 다음의 관계를 가진다.

:

\tau = { 1 \over \alpha }

따라서, 이 미분 방정식의 일반해는 다음과 같이 표현된다.

:

V(t) \ = \ V_0 e^{-\alpha t} \ = \ V_0 e^{-t / \tau}

2. 3. 1. 해의 특성

V(t) = V_0 e^{-t / \tau}.

이러한 거동은 "감쇠" 지수 함수라고 불린다. 시간 τ (타우)는 "시간 상수"라고 하며, 지수 함수가 얼마나 빠르게 감쇠하는지 나타내는 데 사용될 수 있다(이 경우와 같이).^[9]

여기서:

t는 시간이다(일반적으로 제어 공학에서는 t > 0).
V₀는 초기 값이다.

시간에 따른 함수 V(t)의 변화는 다음과 같다.

t = 0 일 때, $V = V_0 e^0$ 이므로 $V=V_0$
t = τ 일 때, $V=V_0 e^{-1} \approx 0.37 V_0$
$V = f(t) = V_0 e^{-t / \tau}$ 이므로 $\lim_{t \to \infty}f(t) = 0$
t = 5τ 일 때, $V = V_0 e^{-5} \approx 0.0067V_0$

한 시간 상수 기간이 지나면 함수는 e^-1 = 초기 값의 약 37%에 도달한다. 5개의 시간 상수가 지나면 함수는 원래 값의 1% 미만에 도달한다. 대부분의 경우 이 1% 임계값은 함수가 0으로 감소했다고 가정하기에 충분하다고 간주된다. 일반적으로 제어 공학에서 안정적인 시스템은 이러한 전반적인 감쇠 거동을 보이는 시스템이다.^[10]

3. 대역폭과의 관계

물리학과 공학에서 시간 상수(τ)는 1차 선형 시불변(LTI) 시스템의 대역폭을 결정한다.^[9]^[10] 시간 상수가 작을수록 시스템은 더 넓은 주파수 범위에 반응할 수 있으며, 이는 더 높은 대역폭을 의미한다.

관례에 따라 시스템의 대역폭은 응답 크기의 제곱( $|V_∞|^2$ )이 절반으로 떨어지는 주파수, 즉 $\omega\tau = 1$ 인 주파수로 정의된다. 이는 전력이 절반 이하로 떨어지는 주파수 범위(최대 -3dB)로 정의되는 일반적인 대역폭 관례와 동일하다. 라디안/s 대신 헤르츠(Hz) 단위로 주파수를 사용하면( $\omega = 2\pi f$ ), 다음 공식이 성립한다.

: $f_\mathrm{3dB} = \frac {1}{2 \pi \tau}.$

여기서 $f_\mathrm{3dB}$ 는 3dB 대역폭을 의미하며, 데시벨(dB) 단위로 전력을 표현했을 때 전력이 절반으로 줄어드는(-3dB) 주파수를 나타낸다.

결론적으로, 위 식을 통해 시간 상수는 시스템의 대역폭을 결정한다는 것을 알 수 있다.

3. 1. 사인파 강제 함수에 대한 시스템 응답

사인파 강제 함수에 대한 시스템의 응답 예시. 시간축은 시간 상수 τ의 단위로 표시됩니다. 응답은 감쇠되어 단순한 사인파가 됩니다.

대역폭 f_3dB의 단위로 주파수에 대한 시스템의 주파수 응답입니다. 응답은 0 주파수 값 1로 정규화되고 대역폭에서 1/√2로 떨어집니다.

강제 함수가 다음과 같이 사인파로 선택되었다고 가정합니다.

:

\tau \frac{dV}{dt} + V = f(t) = Ae^{j \omega t }.

(실수 코사인 또는 사인파 입력에 대한 응답은 오일러 공식에 따라 최종 결과의 실수 또는 허수 부분을 취하여 얻을 수 있습니다.) t ≥ 0 s 시간에 대한 이 방정식의 일반적인 해는 V(t = 0) = V₀라고 가정하면 다음과 같습니다.

:

\begin{align}V(t) &= V_0e^{-t/\tau} + \frac{Ae^{-t/\tau}}{\tau}\int_0^t \, dt'\ e^{t'/\tau} e^{j\omega t'} \\[1ex]&= V_0 e^{-t/\tau} + \frac{\frac 1  \tau}{j\omega + \frac 1 \tau} A\left( e^{j \omega t} - e^{-t/\tau}\right).\end{align}

오랜 시간 동안 감쇠하는 지수 함수는 무시할 수 있으며, 정상 상태 해 또는 오랜 시간 해는 다음과 같습니다.

:

V_{\infty}(t) = \frac{1/\tau}{j\omega +1/\tau}Ae^{j \omega t}.

이 응답의 크기는 다음과 같습니다.

:

|V_{\infty}(t)| = A\frac{1}{\tau\left(\omega^2 +(1/\tau)^2\right)^{1/2}} = A \frac{1}{\sqrt{1+(\omega \tau)^2 }}.

관례에 따라 이 시스템의 대역폭은 |V_∞|² 값이 절반으로 떨어지는 주파수, 즉 ωτ = 1인 주파수입니다. 이것은 일반적인 대역폭 관례이며, 전력이 절반 이하로 떨어지는 주파수 범위(최대 -3 dB)로 정의됩니다. 라디안/s 대신 헤르츠 단위의 주파수를 사용하면(ω = 2πf):

:

f_\mathrm{3dB} = \frac {1}{2 \pi \tau}.

f_3dB 표기는 데시벨 단위로 전력을 표현하고 반 전력이 |V_∞| 값의 1/2 또는 3 데시벨 감소에 해당한다는 관찰에서 유래되었습니다.

따라서 시간 상수는 이 시스템의 대역폭을 결정합니다.

3. 2. 응답 크기

강제 함수가 다음과 같이 사인파로 선택되었다고 가정한다.

:

\tau \frac{dV}{dt} + V = f(t) = Ae^{j \omega t }.

(실수 코사인 또는 사인파 입력에 대한 응답은 오일러 공식에 따라 최종 결과의 실수 또는 허수 부분을 취하여 얻을 수 있다.) 오랜 시간 동안 감쇠하는 지수 함수는 무시할 수 있으며, 정상 상태 해 또는 오랜 시간 해는 다음과 같다.

:

V_{\infty}(t) = \frac{1/\tau}{j\omega +1/\tau}Ae^{j \omega t}.

이 응답의 크기는 다음과 같다.

:

|V_{\infty}(t)| = A\frac{1}{\tau\left(\omega^2 +(1/\tau)^2\right)^{1/2}} = A \frac{1}{\sqrt{1+(\omega \tau)^2 }}.

3. 3. 대역폭 (f₃dB)

관례에 따라, 이 시스템의 대역폭은 시스템의 출력이 절반으로 떨어지는 주파수, 즉

1 = ωτ

인 주파수이다. 이것은 일반적인 대역폭 관례이며, 전력이 절반 이하로 떨어지는 주파수 범위(최대 -3dB)로 정의된다. 라디안/s 대신 헤르츠 단위의 주파수를 사용하면 (

1 = ω = 2πf

) 다음과 같다:

:

f_\mathrm{3dB} = \frac {1}{2 \pi \tau}.

f_\mathrm{3dB}

표기는 데시벨 단위로 전력을 표현하고 반 전력이

|V_∞|

값의 1/2 또는 3 데시벨 감소에 해당한다는 관찰에서 유래되었다.

따라서 시간 상수는 이 시스템의 대역폭을 결정한다.

4. 계단 응답 (Step Response)

물리학과 공학에서 시간 상수는 1차 선형 시불변(LTI) 시스템의 단계 입력에 대한 반응을 특성화하는 매개변수이다.^[9]^[10] 시간 영역에서 시간 응답을 탐색할 때, 일반적으로 단계 입력에 대한 단계 응답을 살펴본다.^[11]

물리적으로 시간 상수는 시스템이 초기 비율로 계속 감쇠했다면 시스템 응답이 0으로 감쇠할 때까지 걸리는 시간을 나타낸다. 실제로는 감쇠 속도가 점진적으로 변하기 때문에, 그 시간 동안 응답값은 $1/e \approx 36.8\,\%$ 으로 감소한다. 증가하는 시스템에서 시간 상수는 시스템의 단계 응답이 최종 점근적 값의 $1-1/e \approx 63.2\,\%$ 에 도달하는 시간이다.

4. 1. 계단 응답의 일반 해

두 개의 다른 초기 값 ''V''₀(최종 값보다 높거나 0인 값)에 대한 시스템의 계단 응답. 장시간 응답은 상수 ''V''_∞이며, 시간 축은 시간 상수 $\tau$ 의 단위로 표시됨.

강제 함수가 계단 입력으로 선택된 경우:

\frac{dV}{dt} + \frac{1}{\tau} V = f(t) = A u(t),

여기서

u(t)

는 단위 계단 함수이다.

t \ge 0

인 시간에 대한 이 방정식의 일반 해는

V(t=0) = V_0

를 가정하면 다음과 같다.

V(t) = V_0 e^{-t/\tau} + A \tau \left( 1 - e^{-t/\tau}\right).

(이 응답은 위에서 언급한 정현파 입력에 대한 응답의

\omega \rightarrow 0

극한값임을 알 수 있다.)

장시간 해는 시간 독립적이며 초기 조건에 독립적이다.

V_{\infty} = A \tau.

시간 상수는 시작 조건에 관계없이 동일한 시스템에 대해 동일하게 유지된다. 간단히 말해, 시스템은 임의의 시작 지점에서 그 값에 얼마나 가까이 있는지에 관계없이 일정한 속도로 최종 정상 상태에 접근한다.

예를 들어, 1차 LTI 시스템으로 시동이 잘 모델링되는 전동기를 고려해 보자. 정지 상태에서 시작할 때 모터가 100 RPM의 공칭 속도의 63%, 즉 63 RPM에 도달하는 데 1/8초가 걸린다고 가정한다. 즉, 37 RPM 부족하다. 그러면 다음 1/8초 후에 모터가 23 RPM 더 빨라졌으며 이는 37 RPM 차이의 63%와 같다는 것을 알 수 있다. 이렇게 하면 86 RPM이 된다. 여전히 14 RPM 부족하다. 세 번째 1/8초 후에 모터는 9 RPM(14 RPM 차이의 63%)을 더 얻어 95 RPM이 된다.

사실, ''어떤'' 초기 속도

s \le 100

RPM이 주어지면, 1/8초 후에 이 특정 모터는

0.63 \times (100 - s)

RPM을 추가로 얻을 것이다.

4. 2. 장시간 응답

강제 함수가 계단 입력으로 선택된 경우:

\frac{dV}{dt} + \frac{1}{\tau} V = f(t) = A u(t),

여기서 u(t)^영어는 단위 계단 함수이다. t^영어 ≥ 0 s 인 시간에 대한 이 방정식의 일반 해는 1=''V''(''t'' = 0) = ''V''₀^영어 를 가정하면 다음과 같다.

V(t) = V_0 e^{-t/\tau} + A \tau \left( 1 - e^{-t/\tau}\right).

(이 응답은 위에서 언급한 정현파 입력에 대한 응답의 ''ω'' → 0^영어 극한값임을 알 수 있다.)

장시간 해는 시간 독립적이며 초기 조건에 독립적이다.

V_{\infty} = A \tau.

시간 상수는 시작 조건에 관계없이 동일한 시스템에 대해 동일하게 유지된다. 간단히 말해, 시스템은 임의의 시작 지점에서 그 값에 얼마나 가까이 있는지에 관계없이 일정한 속도로 최종 정상 상태에 접근한다.

예를 들어, 1차 LTI 시스템으로 시동이 잘 모델링되는 전동기를 고려해 보자. 정지 상태에서 시작할 때 모터가 100 RPM의 공칭 속도의 63%, 즉 63 RPM에 도달하는 데 1/8초가 걸린다고 가정한다. 즉, 37 RPM 부족하다. 그러면 다음 1/8초 후에 모터가 23 RPM 더 빨라졌으며 이는 37 RPM 차이의 63%와 같다는 것을 알 수 있다. 이렇게 하면 86 RPM이 된다. 여전히 14 RPM 부족하다. 세 번째 1/8초 후에 모터는 9 RPM(14 RPM 차이의 63%)을 더 얻어 95 RPM이 된다.

사실, ''어떤'' 초기 속도 ''s'' ≤ 100 RPM^영어가 주어지면, 1/8초 후에 이 특정 모터는 0.63 × (100 − ''s'') RPM^영어을 추가로 얻을 것이다.

4. 3. 특징

시간 상수는 시작 조건에 관계없이 동일한 시스템에 대해 동일하게 유지된다. 간단히 말해, 시스템은 임의의 시작 지점에서 그 값에 얼마나 가까이 있는지에 관계없이 일정한 속도로 최종 정상 상태에 접근한다.^[1]

예를 들어, 1차 LTI 시스템으로 시동이 잘 모델링되는 전동기를 고려해 보자. 정지 상태에서 시작할 때 모터가 100 RPM의 공칭 속도의 63%, 즉 63 RPM에 도달하는 데 1/8초가 걸린다고 가정한다. 즉, 37 RPM 부족하다. 그러면 다음 1/8초 후에 모터가 23 RPM 더 빨라졌으며 이는 37 RPM 차이의 63%와 같다는 것을 알 수 있다. 이렇게 하면 86 RPM이 된다. 여전히 14 RPM 부족하다. 세 번째 1/8초 후에 모터는 9 RPM(14 RPM 차이의 63%)을 더 얻어 95 RPM이 된다.^[1]

사실, ''어떤'' 초기 속도 ''s'' ≤ 100 RPM이 주어지면, 1/8초 후에 이 특정 모터는 0.63 × (100 − ''s'') RPM을 추가로 얻을 것이다.^[1]

미분 방정식의 일반해는 다음과 같다.^[2]

:

V(t) = V_0 e^{-\alpha t} = V_0 e^{-t / \tau}

여기서

:

V_0 = V(0)

는 ''V'' 의 초기값이다.^[2]

이 식은 다음을 나타낸다.^[2]

''t'' = 0 에서 초기값 ''V''₀ 가 시간이 지남에 따라 서서히 감소한다.
''t'' = τ 의 시간이 경과하면 $V(t) = V_0 e^{-1} \approx 0.368 V_o$ 가 되어, 출력은 초기값 ''V''₀ 의 약 36.8%가 된다.
더욱 시간이 경과하면, $\lim_{t \to \infty}V(t) = 0$ 에 가까워진다.

5. 시간 상수 예시

시간 상수는 다양한 분야에서 시스템의 반응 속도를 나타내는 중요한 지표로 사용된다.

전자 회로: RL 회로에서는 인덕턴스와 저항의 비율( $\tau = \frac{L}{R}$ )로, RC 회로에서는 저항과 전기 용량의 곱( $\tau = RC$ )으로 계산된다. 디지털 회로에서는 FO4 값을 통해 시간 상수를 추정할 수 있다.^[5]

열역학: 물체가 대류 냉각 또는 가열될 때, 시간 상수는 물체의 질량, 비열, 표면적, 열전달 계수에 의해 결정된다( $\tau = \frac{\rho c_p V}{hA_s}$ ). 시간 상수가 클수록 온도 변화가 느리게 일어난다.^[6]

신경생물학: 뉴런의 막 전위 변화 속도를 나타내는 시간 상수는 막 횡단 저항과 막의 정전 용량의 곱( $\tau = r_m c_m$ )으로 계산된다. 시간 상수가 길수록 뉴런의 전위 변화가 느리게 일어난다.

지수적 감쇠: 방사성 붕괴와 같은 지수적 감소 현상에서 시간 상수는 평균 수명을 의미하며, 반감기와 관련이 있다( $T_{1/2} = \tau \ln 2$ ).^[1]

기상 센서: 측정값의 급격한 변화에 반응하는 데 걸리는 시간을 나타내며, 라디오존데와 같은 기상 관측 장비에 중요하다.^[9]

경제학 및 사회학: 투자 효과 감소, 정보 전달, 문화 침투 등 시간 의존적인 현상을 미분 방정식으로 모델링하는 데 사용될 수 있다.

이처럼 시간 상수는 다양한 시스템의 동적 특성을 이해하고 예측하는 데 필수적인 개념이다.

5. 1. 전자 회로

전자 회로에서 시간 상수는 회로의 응답 속도를 나타내는 중요한 지표이다. RL 회로와 RC 회로에서 시간 상수는 각각 다르게 계산된다.

RL 회로의 시정수

\tau

는 다음과 같이 주어진다.

:

\tau = \frac{L}{R}

여기서 R은 전기 저항(단위는 옴), L은 인덕턴스(단위는 헨리)이다.^[7]

RC 회로의 시정수

\tau

는 다음과 같이 주어진다.

:

\tau = RC

여기서 R은 전기 저항(단위는 옴), C는 전기 용량(단위는 패럿)이다.^[7]

일반적으로 전기 회로는 위에 주어진 예시보다 복잡하며, 여러 개의 시간 상수를 가질 수 있다. 부귀환 증폭기가 있는 경우 시스템은 불안정해져 진동이 증가할 수 있다. 또한, 물리적인 전기 회로는 낮은 진폭의 가진(excitation)을 제외하고는 완전히 선형 시스템이 되는 경우는 드물지만, 선형성 근사는 널리 사용된다.

5. 1. 1. RC 회로

RC 회로의 시정수 τ는 다음과 같다.

'''τ = RC'''

여기서, R은 전기 저항(단위는 옴), C는 전기 용량(단위는 패럿)이다.^[7]

5. 1. 2. RL 회로

RL 회로의 시정수 τ(단위는 초)는 다음과 같다.

:

\tau = \frac{L}{R}

여기서 R은 전기 저항(단위는 옴), L은 인덕턴스(단위는 헨리)이다.^[7] RC 회로의 시정수 τ는 다음과 같다.

:

\tau = R C

여기서 C는 커패시턴스(단위는 패럿)이다.^[7]

5. 1. 3. 디지털 전자 회로

디지털 전자 회로에서는 FO4 지표가 자주 사용된다. 이는

5\tau = \text{FO4}

방정식을 통해 시정수 단위로 변환할 수 있다.^[5]

5. 2. 열역학

시간 상수는 열 시스템에 대한 집중계 해석(집중 용량 분석 방법)의 특징으로, 물체가 대류 냉각 또는 가열의 영향을 받아 균일하게 냉각되거나 가열될 때 사용된다.^[12] 물리적으로 시간 상수는, 시스템이 초기 비율로 계속 감쇠했다면 시스템 응답이 0으로 감쇠할 때까지 걸리는 시간을 나타낸다.

5. 2. 1. 열전달 방정식

시간 상수는 집중계 해석 (집중 용량 분석 방법)의 특징으로, 물체가 대류 냉각 또는 가열의 영향을 받아 균일하게 냉각되거나 가열될 때 사용된다. 주어진 시간에 물체에서 주변으로의 열 전달은 물체와 주변 간의 온도 차이에 비례한다.^[6]

: ''F'' = ''hA''_s ( ''T''(''t'') - ''T''_a )

여기서 ''h''는 열전달 계수이고, ''A''_s는 표면적이며, ''T''는 온도 함수, 즉, ''T''(''t'')는 시간 ''t''에서의 물체 온도이고, ''T''_a는 일정 주변 온도이다. 양의 부호는 열이 물체의 온도보다 낮기 때문에 물체에서 ''나가는'' 경우 ''F''가 양수임을 나타내는 규칙이다(''F''는 외부 플럭스이다). 열이 주변으로 손실됨에 따라, 이 열 전달은 다음과 같이 물체의 온도 강하로 이어진다.^[6]

: ''ρ'' ''c''_p ''V'' = -''F''

여기서 ''ρ'' = 밀도, ''c''_p = 비열이고 ''V''는 물체 부피이다. 음의 부호는 열 전달이 물체에서 ''외부로'' 나갈 때(즉, ''F'' > 0일 때) 온도가 떨어진다는 것을 나타낸다. 열 전달에 대한 이 두 식을 동일하게 하면,

: ''ρ'' ''c''_p ''V'' = -''hA''_s ( ''T''(''t'') - ''T''_a )

이것은 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있는 1차 LTI 시스템이다.

: + T = ''T''_a

여기서

: ''τ'' = 이다.

다시 말해, 더 큰 질량 ''ρV''는 더 높은 열용량 ''c''_p를 가지고 온도의 변화가 느려지고(시간 상수 ''τ''가 더 긺), 더 큰 표면적 ''A''_s는 더 높은 열 전달 ''h''를 가지고 온도의 변화가 더 빨라진다(시간 상수 ''τ''가 더 짧음).

미분 방정식과의 비교는 시간 변화하는 주변 온도 ''T''_a에 대한 일반화를 시사한다. 그러나 간단한 상수 주변 온도 예시를 유지하면서, 변수 Δ''T'' ≡ (''T'' − ''T''_a)를 대입하면 다음과 같다.

: + Δ''T'' = 0

냉각이 위의 지수 방정식을 만족하는 시스템은 뉴턴의 냉각 법칙을 만족한다고 한다. 이 방정식의 해는 이러한 시스템에서 시스템과 주변 간의 온도 차이 Δ''T''가 시간 ''t''의 함수로 다음과 같이 주어진다는 것을 시사한다.

: Δ''T''(''t'') = Δ''T''₀ ''e''^{-''t''/''τ''}

여기서 Δ''T''₀는 시간 ''t'' = 0에서의 초기 온도 차이이다. 즉, 물체는 시간 상수에 의해 결정되는 지수적으로 느린 속도로 주변과 동일한 온도를 가정한다.

5. 2. 2. 시간 상수 (τ)

시간 상수는 물체가 대류 냉각 또는 가열의 영향을 받아 균일하게 냉각되거나 가열될 때, 열 시스템에 대한 집중계 해석의 특징이다. 주어진 시간에 물체에서 주변으로의 열 전달은 물체와 주변 간의 온도 차이에 비례한다.^[6]

열 전달 공식은 다음과 같다.

: F = hAₛ ( T(t) - Tₐ )

여기서,

h는 열전달 계수
Aₛ는 표면적
T는 온도 함수 (T(t)는 시간 t에서의 물체 온도)
Tₐ는 일정 주변 온도

열이 주변으로 손실됨에 따라 물체의 온도는 다음과 같이 떨어진다.^[6]

: ρcₚV (dT/dt) = -F

여기서,

ρ는 밀도
cₚ는 비열
V는 물체 부피

위의 두 식을 결합하면 다음과 같다.

: ρcₚV (dT/dt) = -hAₛ ( T(t) - Tₐ )

이는 다음과 같은 1차 LTI 시스템 형태로 나타낼 수 있다.

: (dT/dt) + (1/τ)T = (1/τ)Tₐ

여기서 시간 상수 τ는 다음과 같다.

: τ = (ρcₚV) / (hAₛ)

즉,

질량(ρV)이 클수록, 열용량(cₚ)이 높을수록 온도는 천천히 변하고(시간 상수 τ가 길어짐)
표면적(Aₛ)이 클수록, 열전달(h)이 높을수록 온도는 빨리 변한다(시간 상수 τ가 짧아짐).

미분 방정식을 통해, 시스템과 주변 간의 온도 차이 ΔT는 다음과 같이 표현된다.

: ΔT(t) = ΔT₀e^(-t/τ)

여기서 ΔT₀는 초기 온도 차이(t=0)이다. 즉, 물체는 시간 상수에 의해 결정되는 속도로 주변과 동일한 온도가 된다.

5. 3. 신경생물학

신경생물학에서 시간 상수는 뉴런의 막 전위 변화 속도를 나타내는 중요한 개념이다. 시간 상수가 길면 뉴런의 전위 변화가 느리게 일어나고, 짧으면 빠르게 일어난다. 긴 시간 상수는 시간적 합산을 통해 반복적인 전위 변화를 합산할 수 있게 한다.

5. 3. 1. 막 전위 시간 상수 (τ)

근육 세포 또는 뉴런과 같은 흥분성 세포에서, 막 전위의 시간 상수

\tau

는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\tau = r_m c_m

여기서 ''r''_m은 막 횡단 저항이고, ''c''_m은 막의 정전 용량이다. 막 횡단 저항은 열린 이온 채널의 수에 따라 달라지며, 정전 용량은 지질 이중층의 특성에 따라 달라진다.

시간 상수는 막 전압의 상승과 하강을 설명하는 데 사용되며, 상승은 다음과 같이 설명된다.

:

V(t) = V_\textrm{max} \left(1 - e^{-t /\tau}\right)

그리고 하강은 다음과 같이 설명된다.

:

V(t) = V_\textrm{max} e^{-t /\tau}

여기서 전압은 밀리볼트(mV) 단위이고, 시간은 초 단위이며,

\tau

는 초 단위이다.

''V''_max는 안정 전위로부터의 최대 전압 변화로 정의되며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

V_\textrm{max} = r_m I

여기서 ''r''_m은 막 횡단 저항이고, ''I''는 막 전류이다.

''t'' =

\tau

일 때, 상승 시 ''V''(''t'')는 0.63''V''_max가 된다. 즉, 시간 상수는 ''V''_max의 63%에 도달하기까지 걸리는 시간이다.

''t'' =

\tau

일 때, 하강 시 ''V''(''t'')는 0.37''V''_max가 된다. 즉, 시간 상수는 ''V''_max의 37%로 감소하기까지 걸리는 시간이다.

시간 상수가 클수록 뉴런의 전위 상승 또는 하강이 느려진다. 긴 시간 상수는 시간적 합산 또는 반복적인 전위의 대수적 합산을 초래할 수 있다.

5. 3. 2. 활동 전위 (Action Potential)

흥분성 세포인 근육 세포 또는 뉴런에서 막 전위의 시간 상수(

\tau

)는 막 횡단 저항(''r''_m)과 막의 정전 용량(''c''_m)의 곱으로 나타낼 수 있다.

:

\tau = r_m c_m

막 횡단 저항은 열린 이온 채널의 수에 따라 결정되며, 정전 용량은 지질 이중층의 특성에 의해 결정된다.

시간 상수는 막 전압의 상승과 하강을 설명하는 데 사용된다. 막 전압의 상승은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

V(t) = V_\textrm{max} \left(1 - e^{-t /\tau}\right)

막 전압의 하강은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

V(t) = V_\textrm{max} e^{-t /\tau}

여기서 전압(''V'')은 밀리볼트(mV), 시간(''t'')은 초(s) 단위이며,

\tau

는 초 단위이다. ''V''_max는 안정 전위로부터의 최대 전압 변화를 의미하며, 다음과 같이 정의된다.

:

V_\textrm{max} = r_m I

여기서 ''r''_m은 막 횡단 저항, ''I''는 막 전류이다.

상승 시 ''t'' =

\tau

일 때, ''V''(''t'')는 0.63''V''_max와 같다. 즉, 시간 상수는 ''V''_max의 63%에 도달하는 데 걸리는 시간이다. 하강 시 ''t'' =

\tau

일 때, ''V''(''t'')는 0.37''V''_max와 같다. 즉, 시간 상수는 ''V''_max의 37%로 감소하는 데 걸리는 시간이다.

시간 상수가 클수록 뉴런의 전위 상승 또는 하강은 느려진다. 긴 시간 상수는 시간적 합산을 유발할 수 있다.

5. 4. 지수적 감쇠 (Exponential Decay)

지수 감소에서 방사성 붕괴와 같은 경우, 시간 상수는 평균 수명으로 해석될 수 있다. 반감기 ''T''_HL 또는 ''T''_1/2는 지수 감쇠 상수

\tau

와 다음과 같은 관계를 가진다.

T_{1/2} = T_\text{HL} = \tau \ln 2.

시간 상수의 역수는 붕괴 상수라고 하며,

\lambda = 1/\tau

로 표시된다.

시상수 자체는 방사성 물질의 평균 수명이며, 붕괴 상수의 역수이기도 하다.

5. 4. 1. 평균 수명

지수 감소에서, 방사성 붕괴 동위원소와 같은 경우, 시간 상수(

\tau

)는 평균 수명으로 해석될 수 있다. 반감기 ''T''_HL 또는 ''T''_1/2는 다음 식으로 지수 감쇠 상수

\tau

와 관련이 있다.

T_{1/2} = T_\text{HL} = \tau \ln 2.

시간 상수의 역수는 붕괴 상수라고 하며,

\lambda = 1/\tau

로 표시된다.

방사성 동위 원소의 반감기 ''T''_''HL''는 시정수의 지수 함수와 관련이 있으며, 시간 상수 자체는 방사성 물질의 평균 수명 그 자체이며, 붕괴 상수의 역수이기도 하다.

5. 4. 2. 반감기 (T₁/₂)

지수 감소에서 방사성 붕괴 동위원소와 같은 경우, 시간 상수는 평균 수명으로 해석될 수 있다. 반감기 ''T''_1/2는 다음 식으로 지수 감쇠 상수

\tau

와 관련이 있다.

:

T_{1/2} = \tau \ln 2.

시간 상수의 역수는 붕괴 상수라고 하며,

\lambda = 1/\tau

로 표시된다.

5. 4. 3. 붕괴 상수 (λ)

지수 감소에서 붕괴 상수는 시간 상수의 역수이며, λ^영어 = 1/τ^영어로 표시된다.^[1] 방사성 붕괴 동위원소와 같은 경우, 시간 상수는 평균 수명으로 해석될 수 있다.^[1] 반감기 ''T''_HL 또는 ''T''_1/2는 지수 감쇠 상수 τ^영어와 관련이 있으며, 공식은 다음과 같다.^[1]

: ''T''_1/2 = ''T''_HL = τ^영어 ln 2.

5. 5. 기상 센서

시간 상수는 기상 센서가 측정값의 급격한 변화에 반응하는 데 걸리는 시간이며, 센서에서 일반적으로 기대되는 정확도 허용 오차 내에서 값을 측정할 때까지 걸리는 시간을 의미한다.

이것은 온도, 이슬점 온도, 습도 및 기압 측정에 가장 자주 적용된다. 특히 라디오존데는 고도가 급격히 증가하기 때문에 영향을 많이 받는다.^[9]

5. 6. 경제학 및 사회학에서의 응용 (참고: 일본어 위키백과)

경제학 및 사회학에서 시간 상수는 투자 효과 감소, 정보 전달, 문화 침투 등 시간 의존적인 현상을 미분 방정식으로 모델링하는 데 활용된다.

5. 6. 1. 경제학

투자^[1]와 같은 효과가 시간이 지남에 따라 체감하는 모습을 미분 방정식으로 기술한다.

5. 6. 2. 사회학

사람들 사이의 정보 전달이나 문화 침투가 시간이 지남에 따라 쇠퇴하는 모습을 미분 방정식으로 나타낼 때 사용된다.

5. 6. 3. 경영학

조직의 방침을 결정하고, 실제로 유효하게 기능하기 시작하는 데 걸리는 시간을 나타낸다.

참조

_[1] 서적 Instrument Engineers' Handbook: Process control and optimization https://books.google[...] CRC Press
_[2] 문서
_[3] 서적 Space vehicle dynamics and control https://archive.org/[...] American Institute of Aeronautics and Astronautics
_[4] 서적 Physically-based Modelling and Simulation of Climate and Climatic Change Springer
_[5] 서적 The Thirty-Seventh Asilomar Conference on Signals, Systems & Computers, 2003
_[6] 서적 Fundamentals of the finite element method for heat and fluid flow https://books.google[...] Wiley
_[7] 서적 岩波理化学辞典 http://www.iwanami.c[...] 岩波書店
_[8] 서적 エネルギー管理用語（その２）（JIS Z 9212:1983）日本産業標準調査会
_[9] 서적 Instrument Engineers' Handbook: Process control and optimization https://books.google[...] CRC Press
_[10] 문서
_[11] 서적 Space vehicle dynamics and control https://books.google[...] American Institute of Aeronautics and Astronautics
_[12] 서적 Physically-based Modelling and Simulation of Climate and Climatic Change https://books.google[...] Springer

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