시에르핀스키 삼각형

3. 성질

• 시에르핀스키 삼각형의 변의 길이의 합은 무한대이다. 처음 정삼각형 둘레의 길이를 $l$이라 할 때, 두 번째 단계에서 변의 길이는 1.5배가 된다. 이를 무한히 반복하면 길이는 $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left(\backslash frac\; 3\; 2\; \backslash right)^n\; =\; \backslash infty$ (무한대)가 된다.

• 시에르핀스키 삼각형의 넓이는 0이다. 처음 정삼각형의 넓이를 $S$라 할 때, 두 번째 단계에서는 $\backslash frac\; 3\; 4\; S$가 된다. 이를 무한히 반복하면 넓이는 $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left(\backslash frac\; 3\; 4\; \backslash right)^n\; =\; 0$ 이 된다.^[15]

• 정수 차원 $d$에서 객체의 한 변을 두 배로 늘리면 $2^d$개의 복사본이 생성된다. 1차원 객체는 2개, 2차원 객체는 4개, 3차원 객체는 8개이다. 시에르핀스키 삼각형은 한 변을 두 배로 늘리면 3개의 복사본이 생성된다. 따라서 시에르핀스키 삼각형은 하우스도르프 차원 $\backslash tfrac\{\backslash log3\}\{\backslash log2\}\backslash approx\; 1.585$를 가지며, 이는 $2^d=3$을 $d$에 대해 풀어서 얻을 수 있다.^[14]

• 시에르핀스키 삼각형의 점들은 바리 중심 좌표에서 간단하게 특징지어진다.^[16] 이진법으로 표현된 바리 중심 좌표 $(0.u\_1u\_2u\_3\backslash dots,0.v\_1v\_2v\_3\backslash dots,0.w\_1w\_2w\_3\backslash dots)$에서, 모든 $i$에 대해 $u\_i+v\_i+w\_i=1$이면 그 점은 시에르핀스키 삼각형 안에 있다.

• 하우스도르프 차원은 (≈ 1.584962…)이며, 1차원과 2차원 사이의 값을 갖는다.

• 시에르핀스키 삼각형은 유한한 면적 안에 무한한 길이를 포함한다. 3차원으로 확장하면 표면적은 일정하며 하우스도르프 차원은 2이다. 이 때 공동부에 해당하는 입체는 정삼각형 8면을 가진 정팔면체이다.^[24] 이는 프랙탈 도형의 특징 중 하나이며, 인체 내 혈관 분기 구조나 장 내벽 등 자연계의 복잡한 구조 중 일부가 근사적인 프랙탈 도형을 갖는 이유로 생각된다.

4. 고차원 유사체

5. 역사

바츨라프 시에르핀스키는 1915년에 시에르핀스키 삼각형을 설명했다. 그러나 이와 비슷한 패턴은 이미 13세기의 코스마테스크 상감 석공예에서 일반적인 모티프로 나타난다.^[19]

6. 명칭

시에르핀스키 삼각형을 지칭하는 '개스킷(gasket)'이라는 단어는 브누아 망델브로트가 만들었는데, 이는 프랙탈이 구멍이 뚫린 형태가 모터의 누출을 방지하는 부품과 유사하다고 생각했기 때문이다.^[23]

참조

_[1] 웹사이트 Sierpinski Gasket by Trema Removal http://www.cut-the-k[...]
_[2] arXiv V-variable fractals and superfractals
_[3] 간행물 The Strange New Science of Chaos Public television station WGBH Boston 1989-01-31
_[4] 서적 Chaos and Fractals: An Elementary Introduction https://books.google[...] Oxford University Press
_[5] 간행물 Proceedings of Graphics Interface '86 / Vision Interface '86 https://blog.itu.dk/[...]
_[6] 학술지 Sur une courbe dont tout point est un point de ramification https://gallica.bnf.[...] 1915
_[7] 간행물 Imperial Porphiry and Golden Leaf: Sierpinski Triangle in a Medieval Roman Cloister https://www.research[...] Springer International Publishing 2018-07-07
_[8] 간행물 Proceedings of the Eleventh International Conference on Membrane Computing (CMC 11)
_[9] 학술지 Emergent patterning phenomena in 2D cellular automata 2005-Summer
_[10] 학술지 The Sierpinski Triangle and the Ulam-Warburton Automaton
_[11] 서적 How to Cut a Cake: And other mathematical conundrums https://books.google[...] Oxford University Press
_[12] 서적 How to Cut a Cake Oxford University Press
_[13] 학술지 Shortest paths in the Tower of Hanoi graph and finite automata
_[14] 서적 Fractal geometry: mathematical foundations and applications https://archive.org/[...] John Wiley
_[15] 서적 Getting Acquainted with Fractals https://books.google[...] Walter de Gruyter
_[16] 웹사이트 Many ways to form the Sierpinski gasket http://www.cut-the-k[...]
_[17] 학술지 Patterns in Pascal's Triangle – with a Twist https://www.maa.org/[...] Mathematical Association of America 2003-11
_[18] 간행물 Communicating with Virtual Worlds Springer
_[19] 학술지 The pavements of the Cosmati 1997-12
_[20] 서적 The Fractal Geometry of Nature https://archive.org/[...] W. H. Freeman
_[21] 서적 The Pursuit of Perfect Packing Taylor and Francis
_[22] 서적 A Tale of Two Fractals Birkhauser
_[23] 서적 Integration and Modern Analysis
_[24] 웹사이트 Wolfram Demonstrations Project http://demonstration[...]
_[25] 문서 あるいは位数{{Math|2}}の[[有限体]] {{Math|'''F'''{{sub|2}}}} によるパスカルの三角形でもよい。
_[26] 서적 How to Cut a Cake: And other mathematical conundrums https://books.google[...] Oxford University Press