알렉산더 쌍대성

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1. 개요
2. 정리
3. 증명
- 3.1. 푸앵카레 쌍대성을 이용한 증명
- 3.2. slant product를 이용한 증명
4. 조합론적 알렉산더 쌍대성
5. 구성 가능 층에 대한 알렉산더 쌍대성
6. 예
7. 역사
참조

1. 개요

알렉산더 쌍대성은 위상수학의 정리로, n차원 초구의 부분 공간 X의 축소 호몰로지 군과 X의 여집합의 축소 코호몰로지 군 사이의 관계를 설명한다. 이 정리는 푸앵카레 쌍대성, slant product, 체흐 코호몰로지를 이용하여 증명할 수 있으며, 조합론적 알렉산더 쌍대성과 구성 가능 층에 대한 알렉산더 쌍대성과 같은 다양한 형태로 확장된다. 알렉산더 쌍대성은 축약 가능 공간, 초구, 연환수, 매듭과 고리 등 다양한 예시에 적용되며, 매듭 이론에서 매듭과 고리의 위상적 성질을 연구하는 데 유용하게 활용된다. 1915년 제임스 워델 알렉산더에 의해 처음 증명되었다.

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알렉산더 쌍대성
개요
분야	대수적 위상수학
설명	어떤 공간의 상동군과 그 여공간의 상동군 사이의 관계
역사적 맥락
창시자	제임스 W. 알렉산더 2세
발표 시기	1915년경
상세 내용
쌍대성 대상	위상 공간
관련 개념	푸앵카레 쌍대성, 레프셰츠 쌍대성
응용
활용 분야	매듭 이론, 다양체 이론

2. 정리

n차원 초구(hypersphere) $\mathbb S^n$ 의 비어있지 않은 부분 공간 $X \subseteq \mathbb S^n$ 이 국소적으로 축약 가능할 경우, 다음 동형 사상이 성립한다.

: $\operatorname{\tilde H}_k(\mathbb S^n\setminus X; \mathbb Z) \cong \operatorname{\tilde H}^{n-k-1}(X; \mathbb Z)$ .

여기서 $\operatorname{\tilde H}$ 는 축소 호몰로지 · 코호몰로지 군이다. 만약 축소 체흐 코호몰로지를 쓸 경우 국소 축약 가능 공간이라는 조건이 필요 없어진다.

$X$ 를 차원 ''n''의 구 $S^n$ 의 비어있지 않은 콤팩트, 국소 가역 부분 공간이라고 하자. $S^n\setminus X$ 를 $S^n$ 에서 $X$ 의 여집합이라고 하자. 그러면 $\tilde{H}$ 가 주어진 아벨 군의 계수를 가진 축소 호몰로지 또는 축소 코호몰로지를 나타낼 때, 모든 $q\ge 0$ 에 대해 다음 동형 사상이 존재한다.

: $\tilde{H}_q(S^n\setminus X) \cong \tilde{H}^{n-q-1}(X)$

체흐 코호몰로지를 사용하면 가설의 일부인 국소 가역성을 생략할 수 있는데, 이는 국소 병리를 처리하도록 설계되었다.

3. 증명

알렉산더 쌍대성은 주어진 공간의 축소 호몰로지와 그 여집합의 축소 코호몰로지 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이 정리는 푸앵카레 쌍대성과 절단(excision)을 이용하거나, slant product를 이용하여 증명할 수 있다.

X^영어의 열린 덮개 U^영어를 이용하는 방법과 $X \subseteq \mathbb S^n$ 에 대해 사상을 이용하는 방법이 있다.

3. 1. 푸앵카레 쌍대성을 이용한 증명

X^영어의 열린 덮개 U^영어를 이용하여 푸앵카레 쌍대성과 절단(excision)을 통해 증명할 수 있다.

:

\begin{align}\operatorname H_k(\mathbb S^n \setminus X) & \cong \operatorname H^{n-k}(\mathbb S^n \setminus X)\quad \text{(푸앵카레 쌍대성)} \\& \cong \varinjlim \operatorname H^{n-k}(\mathbb S^n \setminus X, U \setminus X) \\& \cong \varinjlim \operatorname H^{n-k}(\mathbb S^n, U)\quad \text{(절단)} \\& \cong \varinjlim \operatorname{\tilde H}^{n-k-1}(U), \quad (k \ne 0) \\& \cong \operatorname{\tilde H}^{n-k-1}(X)\end{align}

3. 2. slant product를 이용한 증명

X \subseteq \mathbb S^n

에 대해 다음 사상을 생각할 수 있다.

:

X \times (\mathbb S^n \setminus X) \to \mathbb S^{n-1}

:

(x,y) \mapsto \frac{x+y}{\|x-y\|}

위 사상은 다음 코호몰로지류에 대응한다.

:

[\phi] \in \operatorname H^{n-1}(X \times (\mathbb S^n\setminus X))

위 코호몰로지류와 slant product를 통해, 사상을 만들 수 있다.

:

[\phi]_/ \colon \operatorname H_\bullet(X) \to \operatorname H^{n-\bullet-1} (\mathbb S^n \setminus X) , \quad \alpha \mapsto \alpha / [\phi]

이제, 만약

X

가 콤팩트 국소 축약 가능 공간일 경우, 이는 축소 호몰로지의 동형 사상

:

[\tilde\phi]_/ \colon \operatorname{\tilde H}_\bullet(X) \to \operatorname{\tilde H}^{n-\bullet-1}(\mathbb S^n\setminus X)

을 정의한다. 이 사상에 의해 알렉산더 쌍대성이 성립한다.

4. 조합론적 알렉산더 쌍대성

$X$ 를 크기가 $n$ 인 정점 집합 $V$ 에 대한 추상 단체 복합체라고 하자. $X$ 의 알렉산더 쌍대 $X^*$ 는 $V$ 에 대한 단체 복합체로, 면이 $X$ 의 비면의 여집합으로 정의된다. 즉,

: $X^* = \{ \sigma\ \colon\ V \setminus \sigma \not\in X\}$ .

$(X^*)^* = X$ 임을 주목하라.

알렉산더 쌍대성은 임의의 주어진 아벨 군의 계수를 갖는 축소된 호몰로지 및 축소된 코호몰로지에 대해 다음과 같은 조합론적 유사를 암시한다.

: $\tilde{H}_q(X^*) \cong \tilde{H}^{n-q-3}(X)$

(모든 $q\ge 0$ 에 대해.)

실제로, 이것은 $Y \simeq S^{n-2}$ 를 $V$ 에 대한 완전한 단순 복합체의 $(n-2)$ -골격(즉, $Y$ 는 크기가 최대 $n-1$ 인 모든 부분 집합의 모임)으로 설정하고, 기하학적 실현 $|X^*|$ 가 $|Y| \setminus |X|$ 와 호모토피 동치임을 보여줌으로써 유도할 수 있다.

비에르너와 탄서는 기본적인 조합론적 증명을 제시하고 몇 가지 일반화를 요약했다.^[2]

5. 구성 가능 층에 대한 알렉산더 쌍대성

매끄러운 다양체에서 알렉산더 쌍대성은 아벨 군의 층에 대한 베르디에 쌍대성의 특수한 경우이다.^[3] $Y \subset X$ 를 닫힌 부분 공간으로, $k$ 를 체라고 하면, $k$ -벡터 공간의 층 $\mathcal{F} \in \operatorname{Sh}_k(Y)$ 에 대해 다음 동형 사상이 성립한다.

: $H^s_c(Y,\mathcal{F})^\vee \cong \operatorname{Ext}_k^{n-s}(i_*\mathcal{F}, \omega_X [n-s])$

여기서 왼쪽의 코호몰로지 군은 콤팩트 지지 코호몰로지이다. 만약 $\mathcal{F} = \underline{k}$ 가 상수 층이고 $Y$ 가 매끄러운 부분 다양체라면, 다음을 얻는다.

: $\operatorname{Ext}_k^{n - s}(i_*\mathcal{F}, \omega_X [n-r]) \cong H^{n-s}_Y(X,\omega_X)$

여기서 오른쪽의 코호몰로지 군은 $Y$ 에서 지지되는 국소 코호몰로지이다. 이를 통해 $X \setminus Y$ 의 호몰로지를 $Y$ 의 코호몰로지와 동일시할 수 있다. 이는 대수 기하학에서 사영 대수다양체의 코호몰로지 군을 계산하는 데 유용하며, 야코비안 링을 사용하여 차수 $d$ 의 초곡면의 호지 구조의 기저를 구성하는 데 활용된다.

6. 예

알렉산더 쌍대성은 3차원 구에서 매듭과 고리 여집합의 코호몰로지를 계산하는 데 유용하다. 매듭은 $K\colon S^1 \hookrightarrow S^3$ 의 임베딩이고, 고리는 보로미안 고리와 같이 매듭의 분리된 합집합이다. 고리/매듭을 $L$ 이라고 쓰면 다음과 같은 관계가 성립한다.^[1]

: $\tilde{H}_q(S^3\setminus L) \cong \tilde{H}^{3-q-1}(L)$

이 식은 코호몰로지 군을 계산하는 방법을 제공하며, 매시 곱을 사용하여 서로 다른 고리를 구별할 수 있게 한다.^[1]

6. 1. 축약 가능 공간

$X$가 축약 가능 공간이면, $\mathbb S^{n+1} \setminus X$ 역시 축약 가능 공간이다. 축약 가능 공간의 축소 호몰로지와 축소 코호몰로지는 모두 0이므로, 이 경우 알렉산더 쌍대성이 자명하게 성립한다.

(반면, 축약 가능 공간은 0차 (코)호몰로지를 가지므로, 축소가 아닌 일반 (코)호몰로지의 경우 동형이 성립하지 않는 것을 알 수 있다.)

6. 2. 초구

X^영어가 n^영어차원 초구인 경우, 알렉산더 쌍대성에 의해

\mathbb S^{n+1} \setminus \mathbb S^n

의 호몰로지를 계산할 수 있다.

:

\operatorname{\tilde H}_i(X) = \begin{cases}0 & i < n \\\mathbb Z & i = n\end{cases}

:

\mathbb S^{n+1} \setminus \mathbb S^n \cong \mathbb B^{n+1} \times\{0,\infty\} \simeq \{0, \infty\}

은 두 개의 점을 가진 이산 공간과 호모토피 동치이므로

:

\operatorname{\tilde H}^i(\mathbb S^{n+1} \setminus X) = \begin{cases}\mathbb Z & i = 0 \\0 & i > 0\end{cases}

따라서 알렉산더 쌍대성이 성립한다.

6. 3. 연환수

마찬가지로,

n = 2

이며

X = \mathbb S^1

인 경우를 생각하자. 이 경우

:

X = \mathbb S^1 \simeq \mathbb S^3 \setminus \mathbb S^1 = \mathbb S^3\setminus X

이며, 이는 오직 1차에만 자명하지 않은 축소 (코)호몰로지를 갖는다. 이에 따라서 알렉산더 쌍대성이 성립하는 것을 알 수 있다. 이 경우 알렉산더 쌍대성 사상은 연환수에 의하여 유도된다.

6. 4. 매듭과 고리

이는 3차원 구에서 매듭과 고리 여집합의 코호몰로지를 계산하는 데 유용하다. 매듭은

K\colon S^1 \hookrightarrow S^3

의 임베딩이고, 고리는 보로미안 고리와 같이 매듭의 분리된 합집합이다. 고리/매듭을

L

이라고 쓰면 다음과 같다.^[1]

:

\tilde{H}_q(S^3\setminus L) \cong \tilde{H}^{3-q-1}(L)

이는 코호몰로지 군을 계산하는 방법을 제공한다. 그런 다음 매시 곱을 사용하여 서로 다른 고리를 구별할 수 있다.^[1]

예를 들어 보로미안 고리

L

의 경우 호몰로지 군은 다음과 같다.

:

\begin{align}\tilde{H}_0(S^3 \setminus L)&\cong \tilde{H}^{2}(L) = 0 \\\tilde{H}_1(S^3 \setminus L)&\cong \tilde{H}^{1}(L) = \Z^{\oplus 3}\\\tilde{H}_2(S^3 \setminus L)&\cong \tilde{H}^{0}(L) = \Z^{\oplus 2}\\\tilde{H}_3(S^3 \setminus L)&\cong 0 \\\end{align}

7. 역사

1915년에 제임스 워델 알렉산더가 알렉산더 쌍대성의 최초의 형태를 증명하였다.^[4] 알렉산더는 당시 (코)호몰로지 개념이 정립되지 않았기 때문에, 법 2에 대한 베티 수의 일치를 증명했다.

알렉산더는 현대적인 장치를 거의 갖추지 못했고, 그의 결과는 베티 수에 대해서만, 계수는 2를 법으로 취하였다. 무엇을 기대해야 하는지는 예시에서 나온다. 예를 들어, 3차원 구에서 클리퍼드 토러스 구성은 솔리드 토러스의 여집합이 또 다른 솔리드 토러스임을 보여준다. 각 솔리드 토러스는 호모토피 관점에서 원이다.

원의 베티 수를 (3차원 구에 있으므로 $H_3$ 까지) 다음과 같이 표현하고:

:1, 1, 0, 0

이를 반전시키면:

:0, 0, 1, 1

왼쪽으로 한 칸 이동하면:

:0, 1, 1, 0

을 얻는다. 반면 초기 베티 수가 1씩 감소하는 ''축소된'' 베티 수에 동일한 절차를 적용하면:

:0, 1, 0, 0

에서 시작하여

:0, 0, 1, 0

을 얻게 되고, 따라서

:0, 1, 0, 0.

이 된다. 이것은 실제로 작동하여 여집합의 축소된 베티 수를 예측한다.

여기서 원형은 요르단 곡선 정리인데, 이는 위상수학적으로 리만 구에서 원의 여집합과 관련이 있다. 요르단 곡선 정리는 원의 베티 수를 다음과 같이 표현한다.

:1, 1, 0

그러므로,

:0, 1, 1

로 뒤집고,

:1, 1, 0

로 왼쪽으로 이동한다. 이는 요르단 정리가 말하는 것과는 다른데, 요르단 정리에 따르면 각 수축 가능한 두 개의 성분이 있다는 것이다(쇤플리스 정리). 즉, 정직한 베티 수에서 올바른 답은

:2, 0, 0.

다시 한 번, 작동하는 것은 축소된 베티 수이다. 이를 통해 다음으로 시작한다.

:0, 1, 0

다음으로 마무리한다.

:1, 0, 0.

따라서 이 두 가지 예에서 알렉산더의 공식은 다음과 같이 추론할 수 있다. 축소된 베티 수 $\tilde{b}_i$ 는 여집합에서 $\tilde{b}_{n-i-1}$ 와 같이 관련된다.

참조

_[1] 논문 Higher order linking numbers https://www.worldsci[...] 1998-05-01
_[2] 논문 Note: Combinatorial Alexander Duality—A Short and Elementary Proof 2009-12
_[3] 서적 Cohomology of sheaves Springer Science+Business Media 1986
_[4] 논문

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