체흐 코호몰로지

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1. 개요

체흐 코호몰로지는 위상 공간 X와 아벨 군 준층 F에 대해 정의되는 일련의 아벨 군으로, 각 자연수 n에 대해 n차 체흐 코호몰로지 Hⁿ(X; F)가 존재한다. 이는 공사슬 복합체를 통해 정의되거나, 오른쪽 유도 함자를 통해 추상적으로 정의될 수 있으며, 두 정의는 동치이다. 체흐 코호몰로지는 일반적으로 사용되는 열린 덮개 U에 의존하지만, X 위의 열린 덮개들은 귀납적 극한을 이루며, U에 의존하지 않는 X의 체흐 코호몰로지는 모든 열린 덮개 U에 대한 코호몰로지의 귀납적 극한이다. 체흐 코호몰로지는 특이 코호몰로지와 밀접한 관련이 있으며, CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간의 경우 G 계수 체흐 코호몰로지는 G 계수 특이 코호몰로지와 표준적으로 동형이다. 체흐 코호몰로지는 마이어-피토리스 스펙트럼 열 또는 체흐-유도 함자 스펙트럼 열을 통해 층 코호몰로지와 연결되며, 르레 정리에 따라 특정 조건에서 층 코호몰로지와 일치한다. 체흐 코호몰로지는 파벨 알렉산드로프와 에두아르트 체흐에 의해 도입되었으며, 르레 정리는 장 르레에 의해 1950년에 도입되었다.

체흐 코호몰로지

개요

분야	대수적 위상수학

역사

창시자	에두아르트 체흐

관련 개념	특이 코호몰로지
관련 개념	데 람 코호몰로지

2. 정의

다음이 주어졌다고 하자.

* 위상 공간 $X$
* $X$ 위의 아벨 군 준층 $\mathcal F\in\operatorname{PSh}(X;\operatorname{Ab})$

그렇다면, 각 자연수 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $(X,\mathcal U)$ 의 $\mathcal F$ 계수 $n$ 차 체흐 코호몰로지 $\operatorname{\check H}^n(X;\mathcal F)$ 는 아벨 군이다. 이는 구체적으로 공사슬 복합체를 통해 정의될 수 있으며, 추상적으로 오른쪽 유도 함자로서 정의될 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다.

체흐 코호몰로지는 일반적으로 사용되는 열린 덮개 $\mathcal U$ 에 의존한다. 그러나 $X$ 위의 열린 덮개들은 유향체계(directed system^영어)를 이루며, ( $\mathcal U$ 에 의존하지 않는) $X$ 의 체흐 코호몰로지 $\operatorname{\check H}^\bullet(X;\mathcal F)$ 는 모든 열린 덮개 $\mathcal U$ 에 대한 코호몰로지 $\operatorname{\check H}^\bullet(X,\mathcal U;\mathcal F)$ 의 귀납적 극한이다. 즉,
: $\operatorname{\check H}^n(X;\mathcal F)=\varinjlim\check H}^n(X,\mathcal U;\mathcal F)$
이다.

$X$ 를 위상 공간이라고 하고, $\mathcal{U}$ 를 $X$ 의 열린 덮개라고 하자. 체흐 코호몰로지의 아이디어는 충분히 작은 열린 집합으로 구성된 열린 덮개 $\mathcal{U}$ 에 대해 결과적인 단순 복합체 $N(\mathcal{U})$ 가 공간 $X$ 에 대한 좋은 조합론적 모델이 되어야 한다는 것이다. ( $N(\mathcal{U})$ 는 덮개의 신경을 나타낸다.) 이러한 덮개에 대해 $X$ 의 체흐 코호몰로지는 신경의 단순 코호몰로지로 정의된다. 이 아이디어는 좋은 덮개의 개념으로 형식화될 수 있다.

(이후 내용은 '구체적 정의' 섹션에서 상세히 다루어진다.)

2.1. 구체적 정의

X를 위상 공간이라고 하고, $\mathcal{F}$ 를 X에 대한 아벨 군의 층이라고 하자. $\mathcal{U}$ 를 X의 열린 덮개라고 하자.

$\mathcal{U}$ 에 대한 $\mathcal{F}$ 값을 갖는 체흐 코호몰로지는 코체인 복합체 $(C^{\bullet}(\mathcal{U}, \mathcal{F}), \delta)$ 의 코호몰로지로 정의된다. q번째 체흐 코호몰로지는 다음과 같이 주어진다.

: $\check{H}^q(\mathcal{U}, \mathcal{F}) := H^q((C^{\bullet}(\mathcal U, \mathcal F), \delta)) = Z^q(\mathcal{U}, \mathcal{F}) / B^q(\mathcal{U}, \mathcal{F})$ .

X의 체흐 코호몰로지는 열린 덮개의 세분을 고려하여 정의된다. $\mathcal{V}$ 가 $\mathcal{U}$ 의 세분이면, 코호몰로지에서 $\check{H}^*(\mathcal U,\mathcal F) \to \check{H}^*(\mathcal V,\mathcal F)$ 의 사상이 존재한다. X의 열린 덮개는 세분에 따라 유향 집합을 형성하므로, 이 사상은 직접계의 아벨 군으로 이어진다. $\mathcal{F}$ 값을 갖는 X의 체흐 코호몰로지는 이 직접계의 직접 극한 $\check{H}(X,\mathcal F) := \varinjlim_{\mathcal U} \check{H}(\mathcal U,\mathcal F)$ 로 정의된다.

고정된 아벨 군 A를 계수로 하는 X의 체흐 코호몰로지 $\check{H}(X;A)$ 는, $\mathcal{F}_A$ 가 A에 의해 결정되는 X에 대한 상수 층인 $\check{H}(X,\mathcal{F}_A)$ 로 정의된다.

가산 체흐 코호몰로지는 체흐 코호몰로지의 한 종류인데, 모든 열린 덮개가 가산이어야 한다는 점이 다르다. 즉, 각 지지 $\{x\mid\rho_i(x)>0\}$ 가 덮개의 일부 요소에 포함되는 분할 여부 {ρ_i}가 존재한다. X가 파라콤팩트하고 하우스도르프인 경우, 가산 체흐 코호몰로지는 일반적인 체흐 코호몰로지와 같다.

2.1.1. 단체와 사슬

$n$ 차 체흐 단체(Čech simplex^영어) $\sigma$ 는 그 교집합이 공집합이 아닌, $n+1$ 개의 $\mathcal U$ 의 원소의 순서쌍 $(U_0,\dots,U_n)$ 이다. 단체의 지지 집합(support^영어) $|\sigma|$ 은 모든 성분들의 교집합이다.
: $|\sigma|=\bigcap_{k=0}^nU_n$

$n$ 차 체흐 단체를 기저로 하는 자유 아벨 군을 $\check C^n$ 이라고 하자. $\check C^n$ 의 원소를 $n$ 차 체흐 사슬(Čech chain^영어)이라고 한다.

$n$ 차 체흐 단체 $\sigma$ 의 부분 경계(部分境界, partial boundary^영어) $\partial_k\sigma$ 는 다음과 같다.
: $\partial_k\sigma=(U_0,\dots,U_{k-1},U_{k+1},\dots,U_n)$ .
$\sigma$ 의 경계(境界, boundary^영어) $\partial\sigma$ 는 다음과 같다.
: $\partial\sigma=\sum_{k=0}^n(-1)^k\partial_k\sigma\in\check C^{n-1}$ .
마찬가지로 $n$ 차 사슬의 경계를 (선형으로) 정의할 수 있다. $n$ 차 사슬의 경계는 $n-1$ 차 사슬이다.

X를 위상 공간이라고 하고, $\mathcal{F}$ 를 X에 대한 아벨 군의 층이라고 하자. $\mathcal{U}$ 를 X의 열린 덮개라고 하자.
$\mathcal{U}$ 의 q-단순체 σ는 $\mathcal{U}$ 에서 선택된 q+1개의 집합의 순서가 있는 모음으로, 이러한 모든 집합의 교집합이 공집합이 아닌 경우를 말한다. 이 교집합을 σ의 지지체라고 부르며 |σ|로 표기한다.

이제 $\sigma = (U_i)_{i \in \{ 0 , \ldots , q \}}$ 를 그러한 q-단순체라고 하자. σ의 j번째 부분 경계는 σ에서 j번째 집합을 제거하여 얻은 (q−1)-단순체로 정의되며, 다음과 같다.

: $\partial_j \sigma := (U_i)_{i \in \{ 0 , \ldots , q \} \setminus \{j\}}.$

σ의 경계는 부분 경계의 교대 합으로 정의된다.

: $\partial \sigma := \sum_{j=0}^q (-1)^{j+1} \partial_j \sigma$

$\mathcal{U}$ 의 단순체에 의해 생성된 자유 아벨 군의 원소로 간주한다.

2.1.2. 공사슬

$n$ 차 체흐 공사슬(Čech cochain^영어) $\phi$ 는 $n$ 차 단체 $\sigma$ 를 아벨 군 원소 $\phi(\sigma) \in \mathcal{F}(|\sigma|)$ 와 대응시키는 함수이다. $n$ 차 공사슬의 집합 $\check C^n(X, \mathcal{U}; \mathcal{F})$ 는 점별 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다.

공사슬의 공경계(coboundary^영어)
$\delta^n \colon \check C^n(X, \mathcal{U}; \mathcal{F}) \to \check C^{n+1}(X, \mathcal{U}; \mathcal{F})$
는 다음과 같다. 단체 $\sigma$ 에 대하여,
$(\delta^n \phi)(\sigma) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \operatorname{res}_$

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\phi(\partial_k \sigma).
여기서

\operatorname{res}_

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\colon \mathcal{F}(|\partial_k \sigma|) \to \mathcal{F}(|\sigma|)
는 부분 집합에 대한 제한 사상이다.

\delta^{n+1} \circ \delta^n = 0

이므로, 이는 공사슬 복합체를 이룬다.

2.2. 유도 함자 구성

다음이 주어졌다고 하자.

* 위상 공간 $X$
* $X$ 위의 아벨 군 준층 $\mathcal F\in\operatorname{PSh}(X;\operatorname{Ab})$

그렇다면, 각 자연수 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $(X,\mathcal U)$ 의 $\mathcal F$ 계수 $n$ 차 체흐 코호몰로지 $\operatorname{\check H}^n(X;\mathcal F)$ 는 아벨 군이다. 이는 추상적으로 오른쪽 유도 함자로서 정의될 수 있다.

0차 체흐 코호몰로지는 다음과 같이 쉽게 구체적으로 정의할 수 있다.
: $\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;\mathcal F)=\left\{(\phi_U)_{U\in\mathcal F}\in C^0\colon\forall U,V\in\mathcal U\colon U\cap V\ne\varnothing\implies\operatorname{res}_{U\cap V}^U\phi_U=\operatorname{res}_{U\cap V}^V\phi_V\right\}$
여기서 $\check C^0$ 는 0차 체흐 공사슬, 즉 각 $U\in\mathcal U$ 에 대하여 $\mathcal F(U)$ 의 원소 $\phi_U\in\mathcal F_U$ 를 대응시키는 대상들의 집합이다. 만약 $\mathcal F$ 가 층이라면 이는 대역 단면 $\Gamma_X(\mathcal F)$ 과 같지만, 준층이라면 같을 필요가 없다.

0차 체흐 코호몰로지는 함자
: $\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;-)\colon\operatorname{PSh}(X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Ab}$
를 정의한다. 이 함자는 왼쪽 완전 함자임을 보일 수 있으며, 그 오른쪽 유도 함자들은 고차 체흐 코호몰로지와 일치한다.
: $\operatorname R^\bullet\left(\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;-)\right)=\operatorname{\check H}^\bullet(X,\mathcal U;-)$

여기서 준층 범주를 사용하는 것은 매우 중요하다. 층 범주에서는 0차 체흐 코호몰로지 함자 $\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;-)$ 는 단면 함자 $\Gamma_X(-)$ 와 일치하며, 이 함자의 오른쪽 유도 함자는 단순히 층 코호몰로지와 같다.

3. 성질

아벨 군 값의 층 $\mathcal{F}$ 에 대한 체흐 코호몰로지는 코체인 복합체 $(C^{\bullet}(\mathcal{U}, \mathcal{F}), \delta)$ 의 코호몰로지로 정의된다. q번째 체흐 코호몰로지는 다음과 같다.

: $\check{H}^q(\mathcal{U}, \mathcal{F}) := H^q((C^{\bullet}(\mathcal U, \mathcal F), \delta)) = Z^q(\mathcal{U}, \mathcal{F}) / B^q(\mathcal{U}, \mathcal{F})$ .

X의 체흐 코호몰로지는 열린 덮개의 세분을 통해 정의된다. $\mathcal{V}$ 가 $\mathcal{U}$ 의 세분이면, 코호몰로지에서 $\check{H}^*(\mathcal U,\mathcal F) \to \check{H}^*(\mathcal V,\mathcal F)$ 의 사상이 존재한다. X의 열린 덮개는 세분에 따라 유향 집합이 되므로, 이 사상은 직접계의 아벨 군으로 이어진다. $\mathcal{F}$ 값을 갖는 X의 체흐 코호몰로지는 이 시스템의 직접 극한 $\check{H}(X,\mathcal F) := \varinjlim_{\mathcal U} \check{H}(\mathcal U,\mathcal F)$ 로 정의된다.

고정된 아벨 군 A를 계수로 하는 X의 체흐 코호몰로지 $\check{H}(X;A)$ 는 $\mathcal{F}_A$ 가 A에 의해 결정되는 X에 대한 상수 층인 $\check{H}(X,\mathcal{F}_A)$ 로 정의된다.

가산 체흐 코호몰로지는 위와 같이 정의되지만, 모든 열린 덮개가 가산이어야 한다. 즉, 각 지지 $\{x\mid\rho_i(x)>0\}$ 가 덮개의 일부 요소에 포함되는 분할 여부 {ρ_i}가 존재해야 한다. X가 파라콤팩트하고 하우스도르프 공간인 경우, 가산 체흐 코호몰로지는 일반적인 체흐 코호몰로지와 일치한다.

3.1. 특이 코호몰로지와의 관계

임의의 아벨 군 $G$ 에 대하여, 그 상수층 $\underline G$ 을 생각하자. 만약 위상 공간 $X$ 가 CW 복합체와 호모토피 동치라면, 그 $\underline G$ 계수 체흐 코호몰로지는 $G$ 계수 특이 코호몰로지와 표준적으로 동형이다.
: $\operatorname{\check H}^\bullet(X;\underline G) \cong \operatorname H^\bullet_{\text{sing}}(X;G)$

그러나 체흐 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 다르게 되는 위상 공간이 존재한다. 만약 X가 호모토피 동치이면, CW 복합체의 체흐 코호몰로지 $\check{H}^{*}(X;A)$ 는 자연 동형으로 특이 코호몰로지 $H^*(X;A) \,$ 와 같다. 만약 X가 미분 가능 다양체라면, $\check{H}^*(X;\R)$ 또한 드람 코호몰로지와 자연 동형이다. 덜 잘 행동하는 공간의 경우, 체흐 코호몰로지는 특이 코호몰로지와 다르다. 예를 들어, X가 위상 수학자의 사인 곡선이라면 $\check{H}^1(X;\Z)=\Z,$ 인 반면 $H^1(X;\Z)=0.$ 이다.

만약 X가 미분 가능 다양체이고, X의 덮개 $\mathcal{U}$ 가 "좋은 덮개"라면 (즉, 모든 집합 U_α는 수축 가능 공간으로 수축 가능하고, $\mathcal{U}$ 의 집합들의 모든 유한 교집합은 비어 있거나 점으로 수축 가능), $\check{H}^{*}(\mathcal U;\R)$ 는 드람 코호몰로지와 동형이다.

만약 X가 콤팩트 하우스도르프 공간이면, 체흐 코호몰로지(이산군을 계수로)는 알렉산더-스패니에르 코호몰로지와 동형이다.

X에 대한 사전층 $\mathcal{F}$ 에 대해, $\mathcal{F}^+$ 는 층화를 나타낸다. 그러면 자연스러운 비교 사상

: $\chi: \check{H}^*(X,\mathcal{F}) \to H^*(X,\mathcal{F}^+)$

을 체흐 코호몰로지에서 층 코호몰로지로 얻는다. 만약 X가 파라콤팩트 하우스도르프 공간이면, $\chi$ 는 동형 사상이다. 더 일반적으로, $\chi$ 는 X에 대한 모든 사전층의 체흐 코호몰로지가 0의 층화를 가질 때 동형 사상이다.

3.2. 체흐-유도 함자 스펙트럼 열

체흐 코호몰로지는 특정 경우 유도 함자로 정의된 층 코호몰로지와 일치한다. 이 사실은 마이어-피토리스 스펙트럼 열(Mayer–Vietoris spectral sequence^영어) 또는 체흐-유도 함자 스펙트럼 열(Čech-to-derived-functor spectral sequence^영어)의 존재에 의하여 함의된다.

구체적으로, 위상 공간 $X$ 위의 아벨 군 값의 층 $\mathcal F$ 및 열린 덮개 $\mathcal U$ 가 주어졌다고 하자. $\mathcal H^q(X;\mathcal F)$ 가 다음과 같은 준층이라고 하자.

: $\mathcal H^q(X;\mathcal F)\colon U\mapsto \operatorname H^q(U;\mathcal F)$

그렇다면, 마이어-피토리스 스펙트럼 열의 두 번째 쪽은 다음과 같다.

: $E_2^{p,q}=\operatorname{\check H}^p\left(X,\mathcal U;\mathcal H^q(X;\mathcal F)\right)$

만약 $\mathcal U$ 가 두 개의 열린집합만으로 구성된다면, 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 마이어-피토리스 열로 퇴화한다. 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 함자들로 유도되는, 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

: $\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\hookrightarrow\operatorname{PSh}(X;\operatorname{Ab})\xrightarrow{\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;-)}\operatorname{Ab}$

여기서 $\operatorname{Sh}$ 는 층 범주, $\operatorname{PSh}$ 는 준층 범주를 뜻한다.

적절한 조건 아래 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 층 코호몰로지로 수렴한다.

: $E_2^{p,q}\Rightarrow\operatorname H^{p+q}(X;\mathcal F)$

특히, 만약 마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화한다면 $\operatorname{\check H}^p(X,\mathcal U;\mathcal F)$ 는 층 코호몰로지와 일치한다. 구체적으로, 마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화하는 충분조건은 다음과 같다.

* 모든 유한 부분 집합 $\mathcal A\subseteq\mathcal U$ 에 대하여 $\mathcal F|_{\bigcap\mathcal A}$ 는 비순환층이다 (즉, $\textstyle\operatorname H^i(\bigcap\mathcal A;\mathcal F)=0\quad\forall i>0$ 이다).

이를 르레 정리(Leray’s theorem^영어)라고 하고, 이 조건을 만족시키는 열린 덮개를 르레 덮개(Leray cover^영어)라고 한다.

4. 예시

체흐 코호몰로지의 가장 기본적인 예는 프레셰프(presheaf) $\mathcal{F}$ 가 상수 층인 경우이다. 예를 들어 $\mathcal{F}=\mathbb{R}$ 인 경우, 각 $q$ 차 코체인 $f$ 는 단순히 각 $q$ 심플렉스를 $\mathbb{R}$ 로 매핑하는 함수이다.

단위 원의 경우

단위 원 $X=S^1$ 에서 $\mathbb{R}$ 값을 갖는 첫 번째 체흐 코호몰로지를 계산하는 예를 살펴보자. 먼저 $X$ 를 세 개의 호로 나누고, 충분히 작은 열린 근방을 선택하여 열린 덮개 $\mathcal{U}=\{U_0,U_1,U_2\}$ 를 만든다. 이때, $U_i \cap U_j \ne \phi$ 이지만 $U_0 \cap U_1 \cap U_2 = \phi$ 이다.

임의의 1-코사이클(coycle) $f$ 에 대해, $\delta f$ 는 $(U_i,U_i,U_i),(U_i,U_i,U_j),(U_j,U_i,U_i),(U_i,U_j,U_i)$ 형태의 입력을 받는 2-코체인(cochain)이다. 여기서 $i \ne j$ 이다. $U_0 \cap U_1 \cap U_2 = \phi$ 이므로, 어떤 순열 $\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$ 에 대해서도 $(U_i,U_j,U_k)$ 는 2-심플렉스가 아니다. 처음 세 입력은 $f(U_i,U_i)=0$ 을 만족하고, 네 번째 입력에 대해서는 다음이 성립한다.

: $\delta f(U_i,U_j,U_i)=f(U_j,U_i)-f(U_i,U_i)+f(U_i,U_j)=0 \implies f(U_j,U_i)=-f(U_i,U_j).$

이러한 함수 $f$ 는 $f(U_0,U_1),f(U_0,U_2),f(U_1,U_2)$ 의 값으로 완전히 결정된다. 따라서 1-코사이클의 집합은 다음과 같다.

: $Z^1(\mathcal{U},\mathbb{R})=\{f \in C^1(\mathcal{U},\mathbb{R}) : f(U_i,U_i)=0, f(U_j,U_i)=-f(U_i,U_j)\} \cong \mathbb{R}^3.$

1-코바운더리(coboundary) $f = \delta g$ 는 다음과 같은 형태를 가진다.

: $\begin{cases}f(U_i,U_i)=g(U_i)-g(U_i)=0 & (i=0,1,2); \\f(U_i,U_j)=g(U_j)-g(U_i)=-f(U_j,U_i) & (i \ne j)\end{cases}$

$f(U_0,U_1)+f(U_1,U_2)=f(U_0,U_2)$ 이므로, 각 1-코바운더리 $f$ 는 $f(U_0,U_1)$ 과 $f(U_1,U_2)$ 에 의해 유일하게 결정된다. 따라서 1-코바운더리의 집합은 다음과 같다.

: $B^1(\mathcal{U},\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^2.$

결과적으로, $\check{H}^1(\mathcal{U},\mathbb{R})=Z^1(\mathcal{U},\mathbb{R})/B^1(\mathcal{U},\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}$ 이다. $\mathcal{U}$ 가 $X$ 의 좋은 덮개이므로, 레라이 정리에 의해 $\check{H}^1(X,\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}$ 이다.

사영 직선의 경우

체흐 복합체를 사용하여 사영 직선 $\mathbb{P}^1_\mathbb{C}$ 에 대한 $\Omega^1$ 의 연접층 코호몰로지를 계산할 수 있다. 덮개

: $\mathcal{U} = \{ U_1 = \text{Spec}(\Complex[y]), U_2 = \text{Spec}(\Complex[y^{-1}]) \}$

를 사용하면, 코탄젠트 층에서 다음 모듈을 얻는다.

: $\begin{align}&\Omega^1(U_1) = \Complex[y]dy \\&\Omega^1(U_2) = \Complex \left [y^{-1} \right ]dy^{-1}\end{align}$

$dy^{-1} = -(1/y^2)dy$ 라는 규칙을 사용하면, 체흐 복합체는 다음과 같다.

: $0 \to \Complex[y]dy \oplus \Complex \left [y^{-1} \right ]dy^{-1} \xrightarrow{d^0} \Complex \left [y,y^{-1} \right ]dy \to 0$

$d^0$ 가 단사이고 $d^0$ 의 이미지에 없는 유일한 원소가 $y^{-1}dy$ 이므로, 다음을 얻는다.

: $\begin{align}&H^1(\mathbb{P}_{\Complex}^1,\Omega^1) \cong \Complex \\&H^k(\mathbb{P}_{\Complex}^1,\Omega^1) \cong 0 \text{ for } k \neq 1\end{align}$

4.1. 낮은 차수의 체흐 공사슬

편의상 체흐 공사슬 $\phi$ 의 값을
: $\phi(U_{i_0},\dotsc,U_{i_n}) = \phi_{i_0\dotso i_n}$
으로 표기한다.

낮은 차수의 체흐 공경계 및 체흐 공사슬이 체흐 공순환이 될 조건은 다음과 같다. (편의상, 자명한 제약 사상들은 생략한다.)

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차수	공경계	공순환 조건
0	$(\delta^0\phi)_{ij} = \phi_j - \phi_i$	$\phi_i = \phi_j$
1	$(\delta^1\phi)_{ijk} = \phi_{jk} - \phi_{ik} + \phi_{ij}$	$\phi_{ik} = \phi_{ij} + \phi_{jk}$
2	$(\delta^2\phi)_{ijkl} = \phi_{jkl} - \phi_{ikl} + \phi_{ijl} - \phi_{ijk}$	$\phi_{jkl} + \phi_{ijl} = \phi_{ikl} + \phi_{ijk}$
3	$(\delta^3\phi)_{ijklm} = \phi_{jklm} - \phi_{iklm} + \phi_{ijlm} - \phi_{ijkm} + \phi_{ijkl}$	$\phi_{jklm} + \phi_{ijlm} + \phi_{ijkl} = \phi_{iklm} + \phi_{ijkm}$

4.2. 위상수학자의 사인 곡선

위상수학자의 사인 곡선은 다음과 같이 정의되는 집합이다.

: $T = \left\{ \left(x, \sin(1/x) \right) \colon x \in (0,1] \right\} \cup \{(0,0)\}$

이 집합의 폐포는 다음과 같다.

: $\operatorname{cl}(T) = T \cup (\{0\} \times [-1,1])$

위상수학자의 사인 곡선의 폐포는 체흐 코호몰로지와 특이 코호몰로지가 서로 일치하지 않는 예시이다. 구체적으로 다음과 같다.

: $\operatorname{\check H}^1(\operatorname{cl}T; \underline{\mathbb Z}) \cong\mathbb Z$

: $\operatorname H^1_{\text{sing}}(\operatorname{cl}T;\mathbb Z)\cong 0$

4.3. 스킴

분리 스킴 위의 연접층에 대하여, 열린 아핀 부분 스킴들로 구성된 덮개는 항상 르레 덮개이다. 여기서 분리성 및 연접성은 다음과 같이 필요하다.
* 분리 스킴의 조건에 의하여 열린 아핀 부분 스킴들의 교집합 역시 열린 아핀 부분 스킴이다.
* 연접층의 조건에 의하여, 아핀 스킴 위의 연접층은 항상 비순환층이다.

체흐 코호몰로지는 사이트 C의 위상을 갖춘 객체에 대해 보다 일반적으로 정의될 수 있다. 이는 예를 들어, 스키마 X의 자리스키 위상 또는 에탈 위상에 적용된다. 어떤 층 $\mathcal{F}$ 의 값을 갖는 체흐 코호몰로지는 다음과 같이 정의된다.

: $\check H^n (X, \mathcal{F}) := \varinjlim_{\mathcal U} \check H^n(\mathcal U, \mathcal{F}).$

여기서 코극한은 X의 모든 덮개(선택된 위상에 대해)에 걸쳐 실행된다. 여기서 $\check H^n(\mathcal U, \mathcal F)$ 는 위와 같이 정의되지만, 주변 위상 공간 내의 열린 부분 집합의 r-겹 교차점은 r-겹 섬유 곱으로 대체된다.

: $\mathcal U^{\times^r_X} := \mathcal U \times_X \dots \times_X \mathcal U.$

위상 공간의 고전적인 상황과 마찬가지로, 항상 다음 맵이 존재한다.

: $\check H^n(X, \mathcal F) \rightarrow H^n(X, \mathcal F)$

체흐 코호몰로지에서 층 코호몰로지로의 이 맵은 항상 차수 n = 0과 1에서 동형사상이지만, 일반적으로 그렇게 되지 않을 수 있다. 노름 정역 분리 스키마의 자리스키 위상에 대해, 체흐 코호몰로지와 층 코호몰로지는 모든 준 코히어런트 층에 대해 일치한다. 에탈 위상의 경우, 두 코호몰로지는 X의 임의의 에탈 층에 대해 일치하며, X의 유한한 점 집합이 어떤 열린 아핀 부분 스키마에 포함되어 있는 경우이다. 이는 예를 들어, X가 아핀 스키마에 대한 준 사영 다양체인 경우 충족된다.

체흐 코호몰로지와 층 코호몰로지의 가능한 차이는 하이퍼 커버링의 사용에 대한 동기 부여가 된다. 하이퍼 커버링은 체흐 신경보다 더 일반적인 객체이다.

: $N_X \mathcal U : \dots \to \mathcal U \times_X \mathcal U \times_X \mathcal U \to \mathcal U \times_X \mathcal U \to \mathcal U.$

X의 하이퍼 커버링 K_∗는 C에서 특정 단순 객체이며, 즉 객체 K_n의 모음과 경계 및 퇴화 맵이다. 층 $\mathcal{F}$ 를 K_∗에 적용하면 단순 아벨 군 $\mathcal{F}(K_\ast)$ 가 생성되며, 그 n차 코호몰로지 군은 $H^n(\mathcal F (K_\ast))$ 로 표시된다. (이 그룹은 K_∗가 $N_X \mathcal U$ 와 같은 경우 $\check H^n(\mathcal U, \mathcal F)$ 와 동일하다.) 그런 다음, 다음의 표준 동형사상이 존재함을 보일 수 있다.

: $H^n (X, \mathcal F) \cong \varinjlim_{K_*} H^n(\mathcal F(K_*)),$

여기서 코극한은 이제 모든 하이퍼 커버링에 걸쳐 실행된다.

5. 역사

러시아의 파벨 알렉산드로프와 체코의 에두아르트 체흐가 도입하였다. 장 르레는 1950년에 르레 정리를 도입하였다.