베티 수

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1. 개요

베티 수는 위상 공간의 특이 호몰로지 공간의 차원으로, 공간의 차원별 "구멍"의 개수를 나타낸다. 0차 베티 수는 연결 요소의 수, 1차 베티 수는 원형 구멍의 수, 2차 베티 수는 2차원 구멍의 수를 의미하며, 콤팩트 공간이나 CW 복합체의 경우 특정 차원 이상에서는 0이 된다. 베티 수는 오일러 지표와 관계가 있으며, 푸앵카레 다항식으로 표현되기도 한다. 닫힌 다양체의 경우 푸앵카레 쌍대성을 통해 관련성을 찾을 수 있으며, 미분 형식, 조화 형식, 모스 이론 등과도 연관된다. 앙리 푸앵카레가 엔리코 베티의 이름을 따서 명명했다.

베티 수

정의

유형	위상수학적 불변량
정의	대략적으로, 위상 표면에서 k차원 구멍의 수
설명	k번째 베티 수는 호몰로지 군 Hk의 랭크이다. 베티 수는 위상 공간을 구별하는 데 사용될 수 있다.

예시

연결된 그래프	베티 수 0은 연결된 그래프에서 연결된 성분의 수와 같다.
종수 g인 닫힌 표면	b0 = 1 (표면은 연결되어 있다) b1 = 2g (표면에는 2g개의 본질적으로 다른 원이 있다) b2 = 1 (표면에는 빈 내부를 가지는 공간이 하나 있다)

상세 내용

기호	bk(X)
명명 유래	엔리코 베티
일반화	다항식 푸앵카레

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1. 개요
2. 정의
3. 기하학적 해석
4. 성질
- 4.1. 푸앵카레 다항식
5. 예시
6. 미분 형식과의 관계
7. 역사

2. 정의

위상 공간 $X$ , 음이 아닌 정수 $k$ , 체 $\mathbb{F}$ 가 주어지면, $k$ 번째 베티 수 $b_k(X, \mathbb{F})$ 는 $k$ 번째 특이 호몰로지 공간 $H_k(X; \mathbb{F})$ 의 ( $\mathbb{F}$ 에 대한 벡터 공간으로서의) 차원이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

: $b_k(X,\mathbb F)=\dim H_k(X;\mathbb F)$

일반적으로 $\mathbb{F}$ 가 주어지지 않았을 때에는 $\mathbb{F} = \mathbb{Q}$ (유리수)를 의미한다. $\mathbb{F}$ 의 표수가 0이면 베티 수는 항상 유리수에 대한 베티 수와 같지만, 표수가 유한한 경우 달라질 수 있다. 만약 $k$ 가 주어지지 않으면 암묵적으로 $k=1$ 이다.

3. 기하학적 해석

비공식적으로, $k$ 번째 베티 수( $b_k$ )는 위상 공간에서 $k$ 차원 "구멍"의 개수를 나타낸다. "k차원 구멍"은 ( $k$ +1)차원 객체의 경계가 아닌 $k$ 차원 순환이다.

처음 몇 개의 베티 수는 다음과 같은 정의를 갖는다.

* $b_0$ 는 연결된 요소의 수이다.
* $b_1$ 는 1차원 또는 "원형" 구멍의 수이다.
* $b_2$ 는 2차원 "공극" 또는 "캐비티"의 수이다.

예를 들어, 토러스는 하나의 연결된 표면 요소가 있으므로 $b_0 = 1$ , 두 개의 "원형" 구멍 (자오선 방향, 적도 방향)이 있으므로 $b_1 = 2$ , 표면 안에 갇힌 단일 캐비티가 있으므로 $b_2 = 1$ 이다.

b_k

의 또 다른 해석은 객체가 연결된 상태를 유지하면서 제거할 수 있는 최대

k

차원 곡선의 수이다. 예를 들어, 토러스는 두 개의 1차원 곡선(적도 방향 및 자오선)을 제거한 후에도 연결된 상태를 유지하므로

b_1 = 2

이다.

4. 성질

거칠게 말해, $k>0$ 일 때 베티 수 $b_k$ 는 $k$ 차원 "구멍"의 수를 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 예를 들어 구 $\mathbb S^n$ 의 베티 수는 $k \in \{0,n\}$ 일 때에만 1이고 나머지 경우엔 0이다.

유한 CW 복합체 $K$ 의 경우 오일러 지표와 베티 수는 다음과 같은 관계를 가진다.
: $\chi(K)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^ib_i(K,\mathbb F)$
여기서 $\chi(K)$ 는 오일러 지표이다.

임의의 두 공간 X와 Y에 대해 다음이 성립한다.
: $P_{X\times Y} = P_X P_Y$
여기서 $P_X$ 는 X의 푸앵카레 다항식(더 일반적으로는 무한 차원 공간의 경우 힐베르트-푸앵카레 급수)을 나타내며, 이는 X의 베티 수의 생성 함수이다.
: $P_X(z) = b_0(X) + b_1(X)z + b_2(X)z^2 + \cdots$
퀴네스 정리를 참조하라.

X가 n차원 다양체라면, 푸앵카레 쌍대성에 의해, 임의의 $k$ 에 대해 다음이 성립한다.
: $b_k(X) = b_{n-k}(X)$

호몰로지 군이 꼬임을 갖지 않을 때, 베티 수는 계수체 F에 관계없이 결정된다. 소수 p에 대해 정수 계수 호몰로지 군의 p-꼬임은 표수 p를 갖는 계수체 F의 베티 수 $b_i(X,F)$ 를 사용하여 보편 계수 정리에 의해 구해진다.

4.1. 푸앵카레 다항식

위상 공간의 푸앵카레 다항식은 베티 수를 생성함수로 하는 다항식이다. 유한하게 생성된 호몰로지를 갖는 위상 공간에 대해, 푸앵카레 다항식은 $x^n$ 의 계수가 $b_n$ 인 다항식을 통해 정의된다. 무한 차원 공간의 경우 푸앵카레 급수를 정의할 수 있다.

예를 들어, 토러스의 베티 수는 1, 2, 1이므로 푸앵카레 다항식은 $1+2x+x^2$ 이다.

; 원
: 베티 수열은 1, 1, 0, 0, 0, ...이고; 푸앵카레 다항식은 $1 + x\,$ 이다.
; 3차원 토러스
: 베티 수열은 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ... 이고; 푸앵카레 다항식은 $(1 + x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3\,$ 이다.
; n-토러스
: 푸앵카레 다항식은 $(1 + x)^n \,$ (Künneth 정리)이고, 베티 수는 이항 계수이다.

본질적으로 무한 차원인 공간은 무한 개의 0이 아닌 베티 수를 가질 수 있다. 예를 들어 무한 차원 복소 사영 공간은 주기가 2인 수열 1, 0, 1, 0, 1, ... 을 가진다. 이 경우 푸앵카레 함수는 다항식이 아니라 무한 급수 $1 + x^2 + x^4 + \dotsb$ 이며, 이는 등비 급수이므로 유리 함수 $\frac{1}{1 - x^2}$ 로 표현할 수 있다.

일반적으로, 주기적인 수열은 등비 급수의 합으로 표현할 수 있다. 예를 들어 $a,b,c,a,b,c,\dots,$ 는 생성 함수 $\left(a + bx + cx^2\right)/\left(1 - x^3\right) \,$ 를 가진다. 선형 재귀 수열은 유리 함수에 의해 생성된 수열이므로, 베티 수열이 선형 재귀 수열인 경우에만 푸앵카레 급수를 유리 함수로 표현할 수 있다.

콤팩트한 단순 리 군의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

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좌우로 밀어서 보기

리 군	푸앵카레 다항식
$SU(n+1)$	$\left(1 + x^3\right)\left(1 + x^5\right)\cdots\left(1 + x^{2n+1}\right)$
$SO(2n+1)$	$\left(1 + x^3\right)\left(1 + x^7\right)\cdots\left(1 + x^{4n-1}\right)$
$Sp(n)$	$\left(1 + x^3\right)\left(1 + x^7\right)\cdots\left(1 + x^{4n-1}\right)$
$SO(2n)$	$\left(1 + x^{2n-1}\right)\left(1 + x^3\right)\left(1 + x^7\right)\cdots\left(1 + x^{4n-5}\right)$
$G_2$	$\left(1 + x^3\right)\left(1 + x^{11}\right)$
$F_4$	$\left(1 + x^3\right)\left(1 + x^{11}\right)\left(1 + x^{15}\right)\left(1 + x^{23}\right)$
$E_6$	$\left(1 + x^3\right)\left(1 + x^{9}\right)\left(1 + x^{11}\right)\left(1 + x^{15}\right)\left(1 + x^{17}\right)\left(1 + x^{23}\right)$
$E_7$	$\left(1 + x^3\right)\left(1 + x^{11}\right)\left(1 + x^{15}\right)\left(1 + x^{19}\right)\left(1 + x^{23}\right)\left(1 + x^{27}\right)\left(1 + x^{35}\right)$
$E_8$	$\left(1 + x^3\right)\left(1 + x^{15}\right)\left(1 + x^{23}\right)\left(1 + x^{27}\right)\left(1 + x^{35}\right)\left(1 + x^{39}\right)\left(1 + x^{47}\right)\left(1 + x^{59}\right)$

두 공간 X와 Y에 대해

P_{X\times Y}=P_X P_Y

가 성립한다. 여기서 P_X는 X의 푸앵카레 다항식이며, X의 베티수의 모함수는

P_X(z)=b_0(X)+b_1(X)z+b_2(X)z^2+\cdots

이다. (퀴네스 정리 참조)

X를 방향성을 갖는 닫힌 다양체로 n차원이라고 하면, 임의의 k에 대해

b_k(X)=b_{n-k}(X)

가 성립한다. (푸앵카레 쌍대성)

5. 예시

비공식적으로, k번째 베티 수(Betti number)는 위상적인 표면에서 k차원 "구멍"의 개수를 나타낸다. 여기서 k차원 "구멍"은 (k+1)차원 객체의 경계가 아닌 k차원 순환(cycle)을 의미한다.

처음 몇 개의 베티 수는 0차원, 1차원 및 2차원 단순 복합체에 대해 다음과 같이 정의된다.

* b₀는 연결된 요소의 수이다.
* b₁는 1차원 또는 "원형" 구멍의 수이다.
* b₂는 2차원 "공극" 또는 "빈 공간(cavity)"의 수이다.

예를 들어, 토러스는 하나의 연결된 표면 요소(b₀ = 1), 두 개의 "원형" 구멍 (하나는 적도 방향, 다른 하나는 자오선 방향)(b₁ = 2), 그리고 표면 안에 갇힌 단일 빈 공간(b₂ = 1)을 갖는다.

b_k는 객체가 연결된 상태를 유지하면서 제거할 수 있는 최대 k차원 곡선의 수로 해석할 수도 있다. 예를 들어, 토러스는 두 개의 1차원 곡선(적도 방향 및 자오선 방향)을 제거해도 연결된 상태를 유지하므로 b₁ = 2이다.

2차원 베티 수는 우리가 세상을 0, 1, 2, 3차원으로 볼 수 있기 때문에 이해하기 쉽다. 사영 평면 P의 호몰로지 군은 다음과 같다:

: $H_k(P) = \begin{cases} \mathbb Z & k=0 \\ \mathbb Z _ 2 & k=1 \\ \{0\} & \text{otherwise} \end{cases}$

여기서 Z₂는 2차 순환군이다. 0차 베티 수는 다시 1이다. 그러나 1차 베티 수는 0이다. 이는 H₁(P)가 유한군이어서 무한 성분을 갖지 않기 때문이다. 유한 성분은 P의 비틀림 계수(torsion coefficient)라고 불린다. 유리 베티 수 b_k(X)는 호몰로지 군의 비틀림(torsion)을 고려하지 않지만, 매우 유용한 기본 위상 불변량이며, 직관적으로 서로 다른 차원의 구멍의 수를 셀 수 있게 해준다.

토러스(Torus)의 경우, 제1 베티 수(b1)는 2이며, 이는 직관적으로 원형 "구멍"의 개수로 생각할 수 있다. — 토러스(Torus)의 경우, 제1 베티 수(b₁)는 2이며, 이는 직관적으로 원형 "구멍"의 개수로 생각할 수 있다.

5.1. 다양한 공간의 베티 수

다음은 다양한 공간에서의 베티 수와 그에 해당하는 푸앵카레 다항식을 정리한 표이다.

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공간	푸앵카레 다항식
$n$ 차원 초구 $\mathbb{S}^n$	$1 + z^n$
$n$ 차원 원환면 $\mathbb{T}^n$	$(1+z)^n$
$n$ 차원 실수 사영 공간 $\mathbb{RP}^n$	$\begin{cases}1&2\mid n\\1+z^n&2\nmid n\end{cases}$
무한 차원 실수 사영 공간 $\mathbb{RP}^\infty$	$1$
$2n$ 차원 복소수 사영 공간 $\mathbb{CP}^n$	$1 + z^2 + \cdots + z^{2n} = \frac{1 - z^{2n+2}}{1 - z^2}$
무한 차원 복소수 사영 공간 $\mathbb{CP}^\infty$	$\frac{1}{1 - z^2}$
종수 $g$ 의 콤팩트 유향 곡면	$1 + 2gz + z^2$
K3 곡면	$1 + 22z^2 + z^4$

5.2. 그래프

위상 그래프 G의 꼭짓점 집합을 V, 변 집합을 E, 연결 요소 집합을 C라 하자. 그래프 호몰로지에서 설명한 바와 같이, 그래프의 0차 베티 수 $b_0(G)$ 는 연결 요소의 개수이다.

1차 베티 수 $b_1(G)$ 는 |E| + |C| - |V|와 같으며, 구스타프 키르히호프가 도입한 용어인 사이클로매틱 수(회로 랭크)라고도 불린다. 소프트웨어 공학에 적용되는 내용은 순환 복잡도를 참조하라.

위상적 그래프 이론에서, 정점 n개, m개의 변, k개의 연결 성분을 가진 그래프 G의 1차 베티 수는 m − n + k와 같다. 이는 변의 수에 대한 수학적 귀납법으로 직접 증명할 수 있다. 즉, 새로운 변은 1-사이클만큼 수를 증가시키거나, 변의 연결 성분 수를 하나 줄이는 것 중 하나이다.

그래프의 0차 베티 수는 연결 성분 수 k를 의미한다.

5.3. 단순 복합체

위 그림은 단순 복합체의 예시이다. 0-단순체 a, b, c, d와 1-단순체 E, F, G, H, I를 가지며, 유일한 2-단순체는 그림에서 음영 처리된 영역인 J이다. 이 그림에는 하나의 연결 요소(b₀)와 하나의 구멍, 즉 음영 처리되지 않은 영역(b₁)이 있다. "공극" 또는 "구멍"은 없으므로(b₂)이다.

따라서,

H_0

의 랭크는 1,

H_{1}

의 랭크는 1,

H_2

의 랭크는 0이다.

이 그림에 대한 베티 수열은 1, 1, 0, 0, ...이고, 푸앵카레 다항식은

1 + x\,

이다.

5.4. 리 군

콤팩트 단일 연결 단순 리 군 $G$ 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같은 꼴이다.

: $P_G(z)=\prod_{n\in N(G)}(1+z^n)$

여기서 $N(G)$ 는 원시 지수(primitive exponent^영어)라고 하며, 다음과 같다.

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단순 리 군	원시 지수
$\operatorname{SU}(n+1)$	$3, 5, \dots, 2n+1$
$\operatorname{Spin}(2n+1)$	$3, 7, \dots, 4n-1$
$\operatorname{USp}(2n)$	$3, 7, \dots, 4n-1$
$\operatorname{Spin}(2n)$	$3, 7, \dots, 4n-5, 2n-1$
$G_2$	3, 11
$F_4$	3, 11, 15, 23
$E_6$	3, 9, 11, 15, 17, 23
$E_7$	3, 11, 15, 19, 23, 27, 35
$E_8$	3, 15, 23, 27, 35, 39, 47, 59

6. 미분 형식과의 관계

닫힌 다양체에서 베티 수는 드람 코호몰로지의 차원을 나타내는데, 이는 닫힌 형식의 공간을 완전 형식의 공간으로 나눈 몫 공간의 차원이다. 이는 드람의 정리와 호몰로지론의 보편 계수 정리를 통해 알 수 있다.

리만 다양체에서 베티 수는 호지 이론에 따라 조화 형식 공간의 차수를 나타낸다.

모스 이론에 따르면, 베티 수의 교대합과 적절한 모스 함수의 임계점의 수 $N_i$ 의 교대합 사이에 다음과 같은 부등식이 성립한다.

: $b_i(X) - b_{i-1} (X) + \cdots \le N _i - N_{i-1} + \cdots.$

에드워드 위튼은 모스 함수를 사용하여 드람 복합체에서 외미분을 수정하여 이 부등식을 설명했다.

7. 역사

앙리 푸앵카레가 엔리코 베티의 이름을 따서 명명하였다.