영역 (해석학)

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 경계 조건
5. 종류
6. 복소해석학에서의 영역
7. 1, 2, 3차원 유클리드 공간에서의 영역
참조

1. 개요

영역은 위상 공간에서 공집합이 아닌 연결 열린 집합을 의미하며, 복소해석학에서는 복소평면 또는 복소 공간의 영역을 뜻한다. 해석학의 여러 정리는 영역 위에서 정의된 매끄러운 함수를 다루며, 영역의 경계에는 매끄러움 조건이 붙을 수 있다. 영역은 유계, 외부 영역 등으로 분류되며, 복소해석학에서 복소 영역은 정칙 함수의 정의 구역으로 사용된다. 1, 2, 3차원 유클리드 공간에서의 영역은 각각 곡선, 곡면, 입체에 해당한다. 영역 개념은 1918년 콘스탄티노스 카라테오도리에 의해 도입되었으며, 경계 조건에 따라 적분 정리, 소볼레프 공간, 트레이스 연산자 등을 정의하는 데 사용된다.

더 읽어볼만한 페이지

해석학 (수학) - 수학적 최적화
수학적 최적화는 주어진 집합에서 실수 또는 정수 변수를 갖는 함수의 최댓값이나 최솟값을 찾는 문제로, 변수 종류, 제약 조건, 목적 함수 개수에 따라 다양한 분야로 나뉘며 여러 학문 분야에서 활용된다.
해석학 (수학) - 라플라스 변환
라플라스 변환은 함수 f(t)를 복소수 s를 사용하여 적분을 통해 다른 함수 F(s)로 변환하는 적분 변환이며, 선형성을 가지고 미분방정식 풀이 등 공학 분야에서 널리 사용된다.
편미분 방정식 - 나비에-스토크스 방정식
나비에-스토크스 방정식은 유체의 운동을 기술하는 비선형 편미분방정식으로, 질량 및 운동량 보존 법칙에 기반하며, 해의 존재성과 매끄러움은 밀레니엄 문제이지만 다양한 유체 흐름 모델링과 수치 해석적 응용에 활용된다.
편미분 방정식 - 슈뢰딩거 방정식
슈뢰딩거 방정식은 양자역학에서 시스템의 시간적 변화를 기술하는 기본 방정식으로, 파동 함수에 대한 편미분 방정식이며, 시스템의 총 에너지를 나타내는 해밀토니안 연산자를 포함하고, 양자 상태를 기술하며, 다양한 양자역학적 현상을 설명하는 데 사용된다.
일반위상수학 - 극한
극한은 수학에서 함수의 값이나 수열의 항이 특정 값에 가까워지는 현상을 기술하는 개념으로, ε-δ 논법으로 엄밀하게 정의되며 수렴, 연속성, 미적분학 등 다양한 분야에서 활용되고, 고대 그리스에서 시작하여 19세기에 현대적 정의가 완성되었다.
일반위상수학 - 스콧 위상
스콧 위상은 부분 순서 집합 위에 정의되는 위상으로, 하향 집합과 directed set의 상한에 대해 닫혀있는 집합을 닫힌 집합으로 정의하며, 컴퓨터 과학, 특히 프로그램 의미론에서 연속 함수의 개념을 일반화하고 프로그램의 계산 과정을 모델링하는 데 사용된다.

영역 (해석학)
개요
정의	위상 공간의 연결된 열린 부분 집합 복소해석학에서 쓰이는 단어
설명	실수 또는 복소수 함수가 정의되는 집합 Rⁿ 또는 Cⁿ의 연결된 열린 부분 집합 함수가 정의될 수 있는 집합 (반드시 위상 공간일 필요는 없음)
복소해석학에서의 영역
설명	복소평면의 열린 연결 부분집합
참고	일부 저자는 영역이 열린 집합일 필요는 없다고 정의함
예시
해당	열린 원반 열린 사각형
비 해당	닫힌 원반

2. 정의

위상 공간에서 '''영역'''은 공집합이 아닌 연결 열린 집합이다. 복소해석학에서 '''복소 영역'''(complex domain^영어)은 표준적인 위상을 준 복소평면의 영역을 뜻한다. 다변수 복소해석학에서는 '''복소 영역'''은 복소 공간 $\mathbb C^n$ 의 영역을 뜻한다.^[6]

복소해석학에서 '''복소 영역'''(또는 단순히 '''영역''')은 복소 평면 $\mathbb C$ 의 연결된 열린 부분 집합이다. 예를 들어, 전체 복소 평면, 열린 단위 원판, 열린 상반 평면 등은 모두 복소 영역이다. 복소 영역은 정칙 함수의 정의 구역으로 사용되기도 한다. 여러 복소 변수의 함수 연구에서 영역의 정의는 $\mathbb C^n$ 의 모든 연결된 열린 부분 집합을 포함하도록 확장된다.

유클리드 공간에서, 1차원, 2차원, 3차원 영역은 각각 곡선, 곡면, 입체이며, 그 범위는 각각 ''길이'', ''면적'', ''부피''라고 한다.

3. 역사

영역의 개념은 1918년 콘스탄티노스 카라테오도리에 의해 도입되었다.^[20] 카라테오도리는 "열린 점집합이 두 개의 열린 점집합의 합집합으로 나타낼 수 없다면, 연결 집합이라고 한다. 열린 연결 집합을 영역(Gebiet|게비트^de)이라고 한다."라고 정의했다.^[20]

한스 한에 따르면, "Gebiet"(영역)이라는 단어는 이전에도 열린 집합의 동의어로 사용되기도 했다.^[7]^[8] 19세기와 20세기 초반에는 "영역"과 "지역"이라는 용어가 명확한 정의 없이 사용되기도 했다.^[9]

카를로 미란다는 "지역"이라는 용어를 열린 연결 집합을 나타내는 데 사용했고, 마우로 피코네를 따라 내부적으로 연결된 완비 집합을 나타내기 위해 "영역"이라는 용어를 사용했다. 이 관례에 따르면 집합 A가 지역이면, 그 폐포는 영역이다.^[10]

4. 경계 조건

해석학의 여러 정리(예: 그린 정리, 스토크스 정리)에서는 보통 영역 위에 정의된, 충분히 매끄러운 함수를 다룬다. 이때 영역의 경계에는 추가적인 조건(매끄러운 경계, 연속 미분 가능 경계 등)이 붙을 수 있다.^[6]

영역에 정의된 함수의 다양한 성질이 유지되려면 영역의 경계에 다양한 정도의 매끄러움이 필요하다. 이는 적분 정리(그린 정리, 스토크스 정리), 소볼레 공간의 속성, 경계에 대한 측도와 트레이스의 공간(경계에 정의된 일반화된 함수)을 정의하는 데 필요하다.

일반적으로 고려되는 영역 유형은 연속 경계, 립시츠 경계, 경계 등을 갖는 영역이다.

5. 종류

'''유계 영역'''은 유계인 영역으로, 어떤 공 안에 포함된 영역이다.^[6] '''외부 영역''' 또는 '''외부 도메인'''은 여집합이 유계인 영역이며, 때로는 경계에 매끄러움 조건이 부과되기도 한다.

복소해석학에서 '''복소 영역'''(또는 단순히 '''영역''')은 복소 평면 C^영어의 연결된 열린 부분 집합이다. 예를 들어, 전체 복소 평면, 열린 단위 원판, 열린 상반 평면 등은 모두 복소 영역이다. 종종 복소 영역은 정의 구역으로 사용되는 정칙 함수이다. 여러 복소 변수의 함수 연구에서 영역의 정의는 Cⁿ^영어의 모든 연결된 열린 부분 집합을 포함하도록 확장된다.

유클리드 공간에서 1차원, 2차원, 3차원 구역은 각각 곡선, 곡면, 입체이며, 그 범위는 각각 ''길이'', ''면적'', ''부피''라고 한다.

6. 복소해석학에서의 영역

복소해석학에서 '''복소 영역'''(complex domain^영어)은 복소평면의 연결된 열린 부분 집합이다. 예를 들어, 복소 평면 전체, 열린 단위 원판, 열린 상반 평면 등은 모두 복소 영역이다. 복소 영역은 정칙 함수의 정의역으로 사용되기도 한다. 다변수 복소 함수 연구에서는 영역의 정의가 $\mathbb C^n$ 의 연결된 열린 부분 집합으로 확장된다.

7. 1, 2, 3차원 유클리드 공간에서의 영역

유클리드 공간에서 1차원 영역은 곡선이며 그 범위는 길이라고 한다. 2차원 영역은 곡면이며 그 범위는 면적이다. 3차원 영역은 입체이며 그 범위는 부피라고 한다.^[6]

참조

_[1] 논문
_[2] 논문
_[2] 논문
_[2] 논문
_[2] 논문
_[3] 논문
_[3] 논문
_[4] 논문
_[5] 논문
_[5] 웹사이트 246A, Notes 2: complex integration https://terrytao.wor[...] 2016
_[5] 논문
_[6] 논문
_[6] 논문
_[6] 논문
_[7] 논문
_[8] 간행물
_[9] 논문
_[9] 논문
_[9] 논문
_[9] 논문
_[9] 논문
_[10] 간행물
_[11] 간행물
_[12] 문서 An internally connected set is a set whose interior is connected.
_[13] 논문
_[14] 문서 訳文: "開集合が連結であるとは、それが二つの開集合の和に表すことができないときをいう。連結開集合を領域と称す"。注意: 開集合の和 (sum) という部分で、カラテオドリは明らかに[[空集合|空でない]][[素集合|交わりを持たない]]集合を意図している。
_[15] 간행물
_[16] 논문
_[17] 간행물
_[18] 문서 正確には、モノグラフの初版 {{harvtxt|Miranda|1955|p=1}} ではイタリア語の "''campo''"（意味は[[농장]]とかで言うのと同様の意味での「場」("field")）を用いており、第二版において Zane C. Motteler が適当な訳語としてこの "region" を用いたのである。
_[19] 문서 集合が内部連結であるとは、その集合の内部が連結集合となることを言う。
_[20] 서적

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com