완화자

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1. 개요
2. 역사적 배경
- 2.1. 용어의 변천
3. 정의
4. 구체적인 예
5. 특성
6. 응용
- 6.1. 분포의 곱셈
- 6.2. 매끄러운 컷오프 함수
참조

1. 개요

완화자는 1944년 쿠르트 오토 프리드리히스에 의해 처음 소개된 개념으로, 편미분 방정식 이론 연구에서 사용되었다. 완화자는 콤팩트 지지 집합을 갖고, 적분 값이 1이며, 디랙 델타 함수로 수렴하는 매끄러운 함수로 정의된다. 이러한 완화자는 분포와 합성곱 연산을 통해 매끄러운 함수를 만들고, 항등 함수를 근사하며, 합성곱의 지지 집합을 제한하는 특성을 가진다. 완화자는 분포의 곱셈 정의, 매끄러운 컷오프 함수 생성 등 다양한 응용 분야에서 활용되며, 미분 불가능한 상황에서도 미분가능 함수의 속성을 증명하는 데 기여한다.

2. 역사적 배경

쿠르트 오토 프리드리히스가 1944년에 발표한 논문에서 완화자의 개념이 처음 소개되었으며,^[3] 이 논문은 편미분 방정식 이론 발전에 중요한 기여를 한 것으로 평가받는다.

'완화자(mollifier)'라는 이름은 프리드리히스의 동료였던 도널드 알렉산더 플랜더스가 제안했다.^[3] 플랜더스는 청교도였으며, 친구들로부터 몰 플랜더스의 이름을 따 몰이라는 별명을 얻었다. 그는 'mollify'(매끄럽게 하다)라는 동사를 포함하는 말장난으로 "'''완화자'''"라고 부를 것을 제안했다.^[5]

세르게이 소볼레프는 프리드리히스보다 앞선 1938년 논문에서 완화자와 유사한 개념을 사용했고,^[6] 프리드리히스 자신도 소볼레프의 업적을 인정했다.^[7]

2. 1. 용어의 변천

쿠르트 오토 프리드리히는 "완화자"라는 용어를 적분 연산자의 커널로 정의했지만, 이후 일반적인 사용에서는 커널 자체를 가리키는 말로 의미가 변화했다. 세르게이 소볼레프는 1938년에 소볼레프 내장 정리의 증명을 포함하는 논문에서 완화자를 사용했다.^[37] 프리드리히스는 소볼레프의 업적을 인정하며 "''이 완화자는 소볼레프와 저자에 의해 도입되었다...''"라고 언급했다.^[7]

3. 정의

완화자는 ℝ^''n'' (''n'' ≥ 1)에서 정의된 매끄러운 함수 '' $\varphi$ ''로, 일반적으로 다음 세 가지 조건을 만족한다.^[38]

콤팩트 지지집합을 갖는다.
$\int_{\mathbb{R}^n}\!\varphi(x)\mathrm{d}x=1$
$\lim_{\epsilon\to 0}\varphi_\epsilon(x) = \lim_{\epsilon\to 0}\epsilon^{-n}\varphi(x / \epsilon)=\delta(x)$

여기서

\delta(x)

는 디랙 델타 함수이며, 이 극한은 슈바르츠 초함수 공간에서 이해된다.

3. 1. 완화자의 조건

\varphi

를

\mathbb{R}^n

(

n \ge 1

)에서의 매끄러운 함수라 하고,

\epsilon > 0 \in\mathbb{R}

에 대해

\varphi_\epsilon(x) := \epsilon^{-n}\varphi(x / \epsilon)

라고 할 때, 다음 세 가지 조건을 만족하면

\varphi

는 '''완화자'''이다.

: (1) 콤팩트 지지집합을 가진다.^[38]

: (2)

\int_{\mathbb{R}^n}\!\varphi(x)\mathrm{d}x=1

: (3)

\lim_{\epsilon\to 0}\varphi_\epsilon(x) = \lim_{\epsilon\to 0}\epsilon^{-n}\varphi(x / \epsilon)=\delta(x)

여기서

\delta(x)

는 디랙 델타 함수이고, 극한은 슈바르츠 분포 공간에서 이해해야 한다.^[39] 함수

\varphi

는 추가로 다음 조건을 만족할 수 있다.

: (4) 모든

x \in \mathbb{R}^n

에 대해

\varphi(x)\ge 0

이면, '''양 완화자'''라고 부른다.

: (5) 어떤 무한히 미분 가능한 함수

\mu:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}

에 대해

\varphi(x)=\mu(|x|)

이면, '''대칭 완화자'''라고 부른다.

3. 2. 추가 조건

완화자 ''

\varphi

''는 다음의 추가 조건들을 만족할 수 있다.^[39] ^[9] ^[24]

: (4) 모든 ''x'' ∈ ℝ^''n''에 대해

\varphi(x) \ge 0

이면, '''양 완화자'''라고 부른다.

: (5) 어떤 매끄러운 함수 ''μ'': ℝ⁺ → ℝ에 대하여

\varphi(x)=\mu(|x|)

이면, '''대칭 완화자'''라고 부른다.

3. 3. 프리드리히스 정의에 대한 주석

분포 이론이 널리 알려지기 전에는, 완화자의 수렴 조건은 함수와 완화자의 합성곱이 원래 함수로 수렴한다는 것으로 표현되었다.^[41] 이것은 프리드리히가 한 방법이며,^[42] 완화자가 근사 항등원과 관련이 있는 이유를 설명해준다.^[43]

원래 "완화자"라는 용어는 다음의 합성곱 연산자를 가리켰다:^[44]

:

\Phi_\epsilon(f)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_\epsilon(x-y) f(y)\mathrm{d}y

여기서

\scriptstyle\varphi_\epsilon(x)=\epsilon^{-n}\varphi(x/\epsilon)

이고 ''

\varphi

''는 매끄러운 함수이며, 위에 기술된 처음 세 가지 조건과 하나 이상의 추가 조건을 만족한다.

4. 구체적인 예

다음과 같이 정의된 ℝ^''n'' 에서 변수를 갖는 함수 $\varphi (x)$ 를 생각해 보자.

$\varphi(x) = \begin{cases} e^{-1/(1-|x|^2)}/I_n& \text{ if } |x| < 1\\0& \text{ if } |x|\geq 1\end{cases}$

여기서 수치적 상수 $I_n$ 은 정상화를 보장한다. 이 함수는 무한히 미분가능하고, 비 해석적이며 미분계수가 |''x''| = 1에서 0이 되는 것을 볼 수 있다. 따라서 $\varphi$ 는 위에서 서술한 대로 완화자로 사용할 수 있다. 또한 $\varphi$ $(x)$ 가 ''양이면서 대칭인 완화자''임을 알 수 있다.^[45]

5. 특성

완화자의 모든 특성은 합성곱 연산과의 관계에서 비롯되며, 이에 대한 증명은 분포 이론 관련 서적에서 찾을 수 있다.^[46]^[16]^[31]

5. 1. 매끄럽게 하는 성질

임의의 분포 ''T''에 대해, 실수

\epsilon

로 색인된 합성곱

T_\epsilon = T\ast\varphi_\epsilon

을 생각한다. 여기서

\ast

는 합성곱을 나타내며, 이 결과는 매끄러운 함수가 된다.

5. 2. 항등 함수 근사

임의의 분포 ''T''에 대해, 실수

\epsilon

로 색인된 다음과 같은 일련의 합성곱은

\epsilon \to 0

일 때 ''T''로 수렴한다.

:

\lim_{\epsilon\to 0}T_\epsilon = \lim_{\epsilon\to 0}T\ast\varphi_\epsilon=T\in D^\prime(\mathbb{R}^n)

5. 3. 합성곱의 지지 집합

임의의 분포

T

에 대해,

:

\operatorname{supp}T_\epsilon=\operatorname{supp}(T\ast\varphi_\epsilon)\subset\operatorname{supp}T+\operatorname{supp}\varphi_\epsilon

가 성립한다. 여기서

\operatorname{supp}

는 지지집합을 나타내며,

+

는 민코프스키 합을 나타낸다.

6. 응용

완화자는 미분가능 함수에 유효한 특성이 미분 불가능한 경우에도 유효한지 증명하는데 응용된다. 예를 들어 매끄러운 함수에 대해 유효한 성질이 매끄럽지 않은 대상에 대해서도 유효함을 증명할 수 있다.

6. 1. 분포의 곱셈

일부 일반화된 함수 이론에서, 완화자는 분포의 곱셈을 정의하는 데 사용된다. 정확하게, ''S''와 ''T''의 곱은 다음과 같이 정의된다.

:

\lim_{\epsilon\to 0}S_\epsilon\cdot T=\lim_{\epsilon\to 0}S\cdot T_\epsilon\overset{\mathrm{def}}{=}S\cdot T

이는 다양한 일반화된 함수 이론에서 그 곱(만약 존재한다면)을 정의한다.

두 분포 ''S''와 ''T''가 주어지면, 한 피연산자를 완화(몰리피케이션)하여 얻은 매끄러운 함수와 다른 피연산자의 곱의 극한은, 존재할 경우 다양한 일반화 함수 이론에서 그들의 곱을 정의한다.

몇몇 초함수 이론에서 완화자는 초함수의 곱을 정의하는 데 사용된다. 정확히 말하면, 두 초함수 ''S'' 및 ''T''가 주어졌을 때, 매끄러운 함수와 초함수의 곱의 극한

:

\lim_{\epsilon\to 0}S_\epsilon\cdot T=\lim_{\epsilon\to 0}S\cdot T_\epsilon\overset{\mathrm{def}}{=}S\cdot T

은 (존재한다면) 그들의 초함수의 곱을 정의한다. 이는 초함수의 다양한 이론에 나타난다.

6. 2. 매끄러운 컷오프 함수

완화자는 매끄러운 컷오프 함수를 만드는 데 사용될 수 있다. 컷오프 함수는 특정 영역에서는 1이고, 그 영역 밖에서는 0이 되는 매끄러운 함수이다.^[47] ^[17] ^[32]

예를 들어, 단위 구

B_1 = \{x : |x|<1\}

의 특성 함수와 매끄러운 함수 ''

\varphi_{1/2}

''의 합성곱을 통해 다음과 같은 함수를 얻을 수 있다.

:

\chi_{B_1,1/2}(x)=\chi_{B_1}\ast\varphi_{1/2}(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\!\!\!\chi_{B_1}(x-y)\varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y=\int_{B_{1/2}}\!\!\!\chi_{B_1}(x-y) \varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y \ \ \ (\because supp(\varphi_{1/2})=B_{1/2})

이 함수는

B_{1/2} = \{ x: |x| < 1/2 \}

에서 1과 같고,

B_{3/2}=\{ x: |x| < 3/2 \}

에 포함된 지지 집합을 갖는 매끄러운 함수이다.

이러한 구성을 일반화하여 주어진 콤팩트 집합의 근방에서 1과 같고, 이 집합과의 거리가 주어진

\scriptstyle\epsilon

보다 큰 모든 점에서 0과 같은 매끄러운 함수를 얻을 수 있다.

컷오프 함수는 주어진 일반화된 함수의 특이점을 곱셈을 통해 제거하는 데 사용된다.^[47] ^[17] ^[32] 이는 주어진 집합에서만 곱해져서 일반화된 함수의 값에서 바뀌지 않은 값이 나온다. 따라서 이는 지지를 수정한다. 또한 컷오프 함수는 매끄러운 단위 분할의 기본적인 부분이다.^[47] ^[17] ^[32]

참조

_[1] 문서 topology
_[2] 서적
_[3] 서적 Peter Lax commentary on Friedrichs 1944
_[4] 서적
_[5] 문서 In Friedrichs 1986
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 문서 bump function
_[9] 서적
_[10] 문서 As when the paper Friedrichs 1944 was published, few years before Laurent Schwartz widespread his work
_[11] 문서 topology
_[12] 서적 properties PI, PII, PIII and their consequence PIII0
_[13] 서적 Also, in this respect, Friedrichs 1944
_[14] 서적 Integral operators
_[15] 서적 lemma 1.2.3
_[16] 서적
_[17] 서적 Theorem 1.4.1
_[18] 문서 これは与えられた超函数の空間の位相に関する議論である。
_[19] 서적
_[20] 서적 ピーター・ラックスの論評
_[21] 문서 ラックス
_[22] 서적
_[23] 문서 隆起函数のように。
_[24] 서적
_[25] 문서 論文 Friedrichs 1944 が出版されたのは、ローラン・シュヴァルツが自身の業績を広める数年前であった。
_[26] 문서 収束に関する位相は、明らかに、考えられているヒルベルト空間あるいはバナッハ空間である。
_[27] 서적 性質 PI, PII, PIII およびそれらの帰結としての PIII0 を参照されたい。
_[28] 서적 これに関して
_[29] 서적 Integral operators
_[30] 서적 lemma 1.2.3. を参照されたい
_[31] 서적
_[32] 서적 Theorem 1.4.1. に見られる。
_[33] 문서 topology http://en.wikipedia.[...]
_[34] 서적
_[35] 서적 Peter Lax commentary http://en.wikipedia.[...]
_[36] 서적 volume 1, p. 117 1986
_[37] 서적 1938
_[38] 웹사이트 bump function https://en.wikipedia[...]
_[39] 서적 1984
_[40] 논문 Laurent Schwartz https://en.wikipedia[...] 1944
_[41] 웹사이트 topology https://en.wikipedia[...]
_[41] 웹사이트 Hilbert space https://en.wikipedia[...]
_[41] 웹사이트 Banach space https://en.wikipedia[...]
_[42] 논문 1944
_[43] 논문 1944
_[44] 논문 Integral operators https://en.wikipedia[...] 1944
_[45] 서적 lemma https://en.wikipedia[...] 1990
_[46] 서적 1990
_[47] 서적 Theorem 1.4.1 1990

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