비 해석적 매끄러운 함수

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1. 개요

비 해석적 매끄러운 함수는 모든 차수의 도함수를 갖지만, 테일러 급수가 원래 함수와 일치하지 않아 해석적이지 않은 함수를 의미한다. 이러한 함수의 예시로, 실수 x에 대해 정의된 함수 f(x) = exp(-1/x) (x > 0일 때), f(x) = 0 (x ≤ 0일 때)가 있다. 이 함수는 매끄럽지만, 원점에서 해석적이지 않다. 매끄러운 전이 함수와 테일러 급수의 적용을 통해 다양한 형태의 비 해석적 매끄러운 함수를 구성할 수 있으며, 푸리에 급수를 이용해 모든 점에서 매끄럽지만 해석적이지 않은 함수를 만들 수도 있다. 이러한 현상은 복소해석학에서는 발생하지 않으며, 실수 변수 분석과 복소 변수 분석의 중요한 차이점을 보여준다.

비 해석적 매끄러운 함수

개요

이름	비 해석적 매끄러운 함수
설명	해석 함수가 아니지만 매끄러운 함수

예시

함수	exp(-1/x²) (x ≠ 0), 0 (x = 0)
설명	모든 점에서 무한 번 미분 가능하지만, 0에서의 테일러 급수는 0이므로 0 근방에서 원래 함수와 일치하지 않음.

관련 개념	매끄러운 함수, 해석 함수

2. 함수의 예시

(내용 없음)

2.1. 함수의 정의

다음 함수를 고려해 보자.

:

f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x}}&\text{if }x>0,\\ 0&\text{if }x\le0,\end{cases}

이는 모든 실수 x에 대해 정의된다.

2.2. 이 함수는 매끄럽다

함수 f는 실선의 모든 점 x에서 모든 차수의 연속적인 미분이 존재한다.

: $f^{(n)}(x) = \begin{cases}\displaystyle\frac{p_n(x)}{x^{2n}}\,f(x) & \text{if }x>0, \\ 0 &\text{if }x \le 0,\end{cases}$

여기서 p_n(x)는 p₁(x) = 1과 다음 식에서 재귀적으로 주어진 n - 1차 다항식이다.

: $p_{n+1}(x)=x^2p_n'(x)-(2nx-1)p_n(x),\qquad n\in\mathbb{N}.$

위 공식에서 도함수가 0에서 연속적인지 바로 알 수 없지만, 다음의 일방 극한을 통해 확인할 수 있다.

: $\lim_{x\searrow 0} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^m} = 0$ (단, m은 음이 아닌 정수)

따라서, 함수 f는 모든 차수의 연속적인 도함수를 가지는 매끄러운 함수이다.

2.2.1. 증명의 개요

증명은 음이 아닌 정수 m에 대한 다음의 극한값으로부터 시작한다.

: $\lim_{x\searrow0} \frac{e^{-1/x}}{x^m} = 0.$

이 극한은 모든 f⁽ⁿ⁾이 연속이고 x = 0에서 미분가능하다는 것을 보여주는 데 사용된다.

: $\lim_{x\searrow0} \frac{f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0)}{x-0} = \lim_{x\searrow0} \frac{p_n(x)}{x^{2n+1}}\,e^{-1/x} = 0.$

함수 f는 실수선의 모든 점 x에서 모든 차수에 대해 연속적인 도함수를 가진다. 이러한 도함수에 대한 공식은 다음과 같다.

: $f^{(n)}(x) = \begin{cases}\displaystyle\frac{p_n(x)}{x^{2n}}\,f(x) & \text{if }x>0, \\ 0 &\text{if }x \le 0,\end{cases}$

여기서 p_n(x)는 재귀적으로 주어지는 다항식이며, p₁(x) = 1이고,

: $p_{n+1}(x)=x^2p_n'(x)-(2nx-1)p_n(x)$

이다. 모든 양의 정수 n에 대해, 이 공식은 도함수가 0에서 연속임을 보여준다.

: $\lim_{x\searrow 0} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^m} = 0$

2.2.2. 상세 증명

지수 함수의 멱급수 표현에 의해, 0을 포함한 모든 자연수 m에 대하여 다음 식이 성립한다.

: $\frac{1}{x^m} = x \Bigl( \frac{1}{x} \Bigr)^{m+1} \le (m+1)! x \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \Bigl( \frac{1}{x} \Bigr)^n = (m+1)! x \exp \Bigl( \frac{1}{x} \Bigr), \qquad x > 0.$

이는 n ≠ m + 1인 모든 양의 항들이 더해지기 때문이다. 따라서 지수 함수의 함수식을 이용하면 다음과 같다.

: $\lim_{x \searrow 0} \frac{e^{-1/x}}{x^m} \le (m+1)! \lim_{x \searrow 0} x = 0.$

이제 수학적 귀납법으로 f의 n차 도함수에 대한 공식을 증명한다. 연쇄 법칙과 역함수의 미분 법칙, 지수 함수의 도함수가 다시 도함수인 성질을 이용해서 x > 0이고, p₁(x)가 0차 다항식일 때 f의 일계도함수의 식이 성립함을 보일 수 있다. 당연히 f의 일계도함수는 x < 0에서 0이다. x = 0에서 f의 우측 편미분이 0인 것을 보이면 된다. 위의 극한을 사용하면 다음을 알 수 있다.

: $f'(0) = \lim_{x \searrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \searrow 0} \frac{e^{-1/x}}{x} = 0.$

n에서 n + 1로 가는 과정은 유사하다. x > 0일 때 우리는 다음 도함수를 얻을 수 있다.

: $\begin{align}f^{(n+1)}(x) &= \biggl( \frac{p'_n(x)}{x^{2n}} - 2n \frac{p_n(x)}{x^{2n+1}} + \frac{p_n(x)}{x^{2n+2}} \biggr) f(x) \\&= \frac{x^2 p'_n(x) - (2nx - 1) p_n(x)}{x^{2n+2}} f(x) \\&= \frac{p_{n+1}(x)}{x^{2(n+1)}} f(x).\end{align}$

여기서 p_n+1(x)은 n = (n + 1) - 1차 다항식이다. 물론 x < 0일 때, f의 (n + 1)계도함수는 0이다. x = 0일 때 f⁽ⁿ⁾의 우미분계수는 다음과 같다.

: $\lim_{x \searrow 0} \frac{f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0)}{x - 0} = \lim_{x \searrow 0} \frac{p_n(x)}{x^{2n+1}} e^{-1/x} = 0.$

함수 f는 실수선의 모든 점 x에서 모든 차수에 대해 연속적인 도함수를 가진다. 이러한 도함수에 대한 공식은 다음과 같다.

: $f^{(n)}(x) = \begin{cases}\displaystyle \frac{p_n(x)}{x^{2n}} f(x) & \text{if } x > 0, \\0 & \text{if } x \le 0,\end{cases}$

여기서 p_n(x)는 다항식의 차수가 n - 1인 재귀적으로 주어진 다항식이며, p₁(x) = 1이고,

: $p_{n+1}(x) = x^2 p'_n(x) - (2nx - 1) p_n(x)$

모든 양의 정수 n에 대해 성립한다.

2.3. 이 함수는 비 해석적이다

앞에서 봤듯이 함수 f는 매끄럽고 원점에서 모든 미분계수는 0이다. 따라서 원점에서 f의 테일러 급수는 항상 0이다.

: $\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{0}{n!}x^n = 0,\qquad x\in\mathbb{R},$

그리고 테일러 급수는 x > 0에서 f(x)와 같지 않다. 따라서 f는 원점에서 해석적이지 않다.

3. 매끄러운 전이 함수

g(x)=\frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)},\qquad x\in\mathbb{R},

이 함수는 실수 전체에서 양수이기 때문에 g는 매끄럽다. 게다가 x ≤ 0에서 g(x) = 0이고 x ≥ 1에서 g(x) = 1이다. 따라서 이 함수는 단위 구간 [0, 1]에서 0에서 1까지 매끄러운 전이를 제공한다. a < b인 실수 구간 [a,b]에서 매끄러운 전이를 갖기 위해서는 다음 함수를 고려한다.
:

\mathbb{R}\ni x\mapsto g\Bigl(\frac{x-a}{b-a}\Bigr).

실수 a < b < c < d에서, 다음의 매끄러운 함수
:

\mathbb{R}\ni x\mapsto g\Bigl(\frac{x-a}{b-a}\Bigr)\,g\Bigl(\frac{d-x}{d-c}\Bigr)

는 닫힌 구간 [b,c]에서 1이며 구간 (a,d) 외부에서 0이 된다.

4. 어떤 점도 해석적이지 않은 매끄러운 함수

무한히 미분 가능하지만 어떤 점에서도 해석적이지 않은 함수는 푸리에 급수를 이용하여 만들 수 있다. A := { 2ⁿ : n ∈ N }를 2의 모든 거듭제곱의 집합이라고 하고, 모든 x ∈ R에서 다음과 같이 정의한다.

:

F(x):=\sum_{k\in A} e^{-\sqrt{k}}\cos(kx)\ .

여기서 급수

\sum_{k\in A} e^{-\sqrt{k}}k^n

는 모든 n ∈ N에서 수렴하며, 바이어슈트라스 M-판정법을 이용해 각 급수의 도함수가 균등수렴함을 증명할 수 있다. 따라서 이 함수는 C^∞의 원소, 즉 무한히 미분 가능한 함수이다.

π의 어떠한 이진 유리수배에 대해서, 즉 p ∈ N이고 q ∈ A이며, n ≥ 4 이고 n > q인 모든 n ∈ A 차수의 도함수에서, 모든 x := π·^p/_q에서 다음을 얻을 수 있다.

:

F^{(n)}(x):=\sum_{k\in A} e^{-\sqrt{k}} k^n\cos(kx)  = \sum_{k\in A\atop k>q} e^{-\sqrt{k}} k^n+\sum_{k\in A\atop k\le q} e^{-\sqrt{k}} k^n\cos(kx) \ge  e^{-\sqrt{n}} n^n  + O(q^n)\quad  (\mathrm{as}\; n\to \infty)

여기서 모든 k > q에서 cos(kx) = 1이라는 사실을 사용했다. 결과적으로 그러한 어떤 x ∈ R에서

:

\limsup_{n\to\infty} \left(\frac

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{n!}\right)^{1/n}=+\infty\, ,

코시-아다마르 정리에 의해서 x에서 F의 수렴반경은 0이 된다. 함수의 해석성은 열린집합이고 이진 유리수는 밀도가 높기 때문에 F는 R의 어떠한 점에서도 해석적이지 않다는 결론을 내릴 수 있다.

5. 테일러 급수의 적용

실수 또는 복소수의 모든 수열 α₀, α₁, α₂, ... 에 대해서, 이 수들을 수직선의 원점에서 미분계수로 가지는 매끄러운 함수 F가 존재한다. 특히 모든 수열의 숫자는 매끄러운 함수의 테일러 급수의 계수로 나타날 수 있다. 이 결과는 에밀 보렐 이후 보렐의 보조정리로 알려져 있다.

위에서 정의한 매끄러운 전이 함수 g를 사용하여 다음을 정의한다:

: $h(x)=g(2+x)g(2-x),\qquad x\in\mathbb{R}.$

이 함수 h역시 매끄럽다. 이 함수는 닫힌 구간 [−1,1]에서는 1이고 열린 구간 (−2,2)의 외부에서는 사라진다. h를 사용하여 0을 포함한 모든 자연수에 대하여 매끄러운 함수를 정의한다:

: $\psi_n(x)=x^n h(x),\qquad x\in\mathbb{R},$

이는 구간 [−1,1]에서 단항식 xⁿ과 일치하고 구간 (−2,2) 외부에서는 사라진다. 따라서 원점에서 ψ_n의 k차 미분계수는 다음을 만족한다

: $\psi_n^{(k)}(0)=\begin{cases}n!&\text{if }k=n,\\0&\text{otherwise,}\end{cases}\quad k,n\in\mathbb{N}_0,$

그리고 최대 최소 정리는 ψ_n과 ψ_n의 모든 도함수들이 유계함수라는 것을 내포한다. 따라서 상수

: $\lambda_n=\max\bigl\{1,|\alpha_n|,\|\psi_n\|_\infty,\|\psi_n^{(1)}\|_\infty,\ldots,\|\psi_n^{(n)}\|_\infty\bigr\},\qquad n\in\mathbb{N}_0,$

ψ_n의 균등 수렴 위상과 그것의 첫번째 n 도함수를 포함해서 잘 정의된 실수이다. 크기를 조절한 함수를 정의한다:

: $f_n(x)=\frac{\alpha_n}{n!\,\lambda_n^n}\psi_n(\lambda_n x),\qquad n\in\mathbb{N}_0,\;x\in\mathbb{R}.$

연쇄 법칙을 반복적으로 적용한다

: $f_n^{(k)}(x)=\frac{\alpha_n}{n!\,\lambda_n^{n-k}}\psi_n^{(k)}(\lambda_n x),\qquad k,n\in\mathbb{N}_0,\;x\in\mathbb{R},$

이전에 계산한 0에서 ψ_n의 k차 미분계수를 사용하면

: $f_n^{(k)}(0)=\begin{cases}\alpha_n&\text{if }k=n,\\0&\text{otherwise,}\end{cases}\qquad k,n\in\mathbb{N}_0.$

우리가 구하고자 하는 함수는 다음과 같다:

: $F(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x),\qquad x\in\mathbb{R},$

이것은 잘 정의되어 있고, 순차적으로 무한히 미분할 수 있다. 이를 위해 모든 k에 대해서 보자

: $\sum_{n=0}^\infty\|f_n^{(k)}\|_\infty\le \sum_{n=0}^{k+1}\frac$

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{n!\,\lambda_n^{n-k}}\|\psi_n^{(k)}\|_\infty+\sum_{n=k+2}^\infty\frac1{n!}\underbrace{\frac1{\lambda_n^{n-k-2}}}_{\le\,1}\underbrace{\frac

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{\lambda_n}}_{\le\,1}\underbrace{\frac{\|\psi_n^{(k)}\|_\infty}{\lambda_n}}_{\le\,1}<\infty,

남은 무한급수는 비판정법에 의해 수렴한다.

6. 고 차원으로 적용

1차원에서의 함수 Ψ1(x)를 나타낸 것이다 — 1차원에서의 함수 Ψ₁(x)를 나타낸 것이다

모든 반지름 r > 0에 대하여,

:

\mathbb{R}^n\ni x\mapsto \Psi_r(x)=f(r^2-\|x\|^2)

여기서 유클리드 노름 ||x||은 n차원 유클리드 공간에서 반지름 r의 구 내에 지지 집합을 가지며

\Psi_r(0)>0

인 매끄러운 함수를 정의한다.

7. 복소해석학적 관점

함수 f는 매끄럽고 원점에서 모든 미분계수는 0이다. 따라서 원점에서 f의 테일러 급수는 항상 0이다.

: $\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{0}{n!}x^n = 0,\qquad x\in\mathbb{R},$

그리고 테일러 급수는 x > 0에서 f(x)와 같지 않다. 따라서 f는 원점에서 해석적이지 않다. 이 과정은 실수가 아닌 복소수를 변수로 가지는 미분 가능한 복소함수에서는 일어나지 않는다. 사실 모든 정칙함수의 해석성이기 때문에 f가 무한히 미분가능함에도 불구하고 해석적이지 않다는 점은 실해석학과 복소해석학의 가장 큰 차이점을 나타낸다.

함수 f가 실수선 상에서 모든 차수의 도함수를 갖지만, 양의 실수 절반 x > 0에서부터 복소평면에서 f의 해석적 연속성을 갖는 다음의 함수를 보자.

: $\mathbb{C}\setminus\{0\}\ni z\mapsto \exp(-1/z)\in\mathbb{C},$

이 함수는 본질적 특이점을 가지고 있다. 따라서 연속적이지도 않으며, 덜 해석적이다. 피카르의 정리에 의해서 이것은 원점 주변에서 무한히 자주 0을 제외한 모든 복소수를 얻는다.

이름	비 해석적 매끄러운 함수
설명	해석 함수가 아니지만 매끄러운 함수

예시

함수	exp(-1/x²) (x ≠ 0), 0 (x = 0)
설명	모든 점에서 무한 번 미분 가능하지만, 0에서의 테일러 급수는 0이므로 0 근방에서 원래 함수와 일치하지 않음.