원소 (수학)

3. 집합과 원소

집합은 그 안에 속하는 모든 대상을 지정함으로써 특징지어진다.^[12] 예를 들어, $A\; =\; \backslash \{1,\; 2,\; 3,\; 4\backslash \}$라고 쓰는 것은 집합 A의 원소가 1, 2, 3, 4라는 것을 의미한다. 집합은 숫자뿐만 아니라 다른 집합 등 무엇이든 원소로 가질 수 있다. 예를 들어 $B\; =\; \backslash \{1,\; 2,\; \backslash \{3,\; 4\backslash \}\backslash \}$에서 B의 원소는 1, 2, 그리고 집합 $\backslash \{3,\; 4\backslash \}$이다.

"속한다"는 이항 관계는 수학적 대상과 집합 사이에 정해지는 비대칭 관계(귀속 관계)이다. 일반적으로 사용되는 ZF에서는 기초의 공리에 따라 집합은 자기 자신을 원소로 포함하지 않는다(귀속 관계는 반대칭 관계이다). 그러나 다른 집합론에서는 이러한 제약이 없는 초집합이 존재할 수 있다. 귀속 관계는 추이적이지 않지만, 집합의 포함 관계는 추이적이다.

칸토어(Cantor)에 따르면 집합의 역사적인 정의는 다음과 같다.^[12]

이러한 정의를 바탕으로 소박 집합론을 전개할 수 있다. 예를 들어, 집합 $M\; =\; \backslash \{1,\; 2,\; 3\backslash \}$에 대해, 1, 2, 3은 각각 M의 원소이다. 여기서 "원소인 것"과 "부분 집합인 것"을 혼동해서는 안 된다.

3. 1. 집합의 크기 (기수)

4. 류 (클래스)

원소가 속하는 대상은 집합뿐만 아니라 류(클래스)일 수도 있다. 범주론에서는 범주에 속하는 대상을 류로 간주한다. ZFC 집합론에서는 단항 술어 자체를 류로 간주한다.

5. 원소 (urelement)

가장 널리 사용되는 ZFC 집합론에서는 모든 원소가 그 자체로 집합으로 실현되지만, 다른 집합론에서는 반드시 그렇지 않다. 집합의 원소이면서, 동시에 그 자체는 집합으로 실현되지 않는 원소를 '''원자'''(atom) 또는 urelement|우르엘레멘트/근원적 원소/원시 원소/기본 원소^영어라고 부른다.

이러한 경우에는, 반드시 집합이 아닌 대상에 대해서도, 생각하고 있는 수학적 체계에 속하는 대상임을 이유로 "원소"라고 부르는 것이 더 자연스럽다. 수, 점, 함수 등(이들은 집합으로 실현될 수 있다)과 같은 기존의 수학적 체계의 대부분에 더하여, 별, 분자, 개구리 등도 그 체계에서의 "원소"가 된다.^[15]

6. 대수계의 특정 원소

대수계 연구에서는 항등원, 가역원, 흡수원 등 그 대수적 구조에 특징적인 성질을 가진 대표적인 원소에 특정 이름을 붙여 사용한다.

7. 예시

집합 A = {1, 2, 3, 4}에서 2는 A의 원소(2 ∈ A)이지만, 5는 A의 원소가 아니다(5 ∉ A).^[1] 집합 B = {1, 2, {3, 4}}에서 {3, 4}는 B의 원소({3, 4} ∈ B)이지만, 3은 B의 원소가 아니다(3 ∉ B).^[1] 집합 C = red|빨강^영어, green|녹색^영어, blue|파랑^영어}에서 yellow|노랑^영어은 C의 원소가 아니다(yellow ∉ C).^[1]

8. Formal relation (형식적 관계)

"∈" 기호로 표기하는 '''집합 포함 관계'''는 이항 관계의 일종이다. 집합 포함 관계는 관계로서 정의역과 치역을 가진다. 관례적으로 정의역은 전체 집합 ''U''로 표기한다. 치역은 ''U''의 멱집합 P(''U'')로 표기하며, 이는 ''U''의 모든 부분 집합들의 집합이다. 따라서, ∈ 관계는 U × P(U)의 부분집합이고, 역관계 ∋는 P(U) × U의 부분집합이다.

참조

_[1] 웹사이트 Element https://mathworld.wo[...] 2020-08-10
_[2] 서적 Handbook of Analysis and Its Foundations Academic Press
_[3] 강연 24.243 Classical Set Theory (lecture) 1992-02-04
_[4] 간행물 What Russell learned from Peano Duke University Press 1973-07
_[5] 웹사이트 Sets - Elements https://brilliant.or[...] 2020-08-10
_[6] 서적 数の概念 岩波書店 1949-08-20
_[7] 문서 Notation mathématique Encyclopædia Universalis et Albin Michel
_[8] 서적 論理学史 岩波書店
_[9] 서적 Elements of Mathematics https://books.google[...] Springer
_[10] 서적 集合・位相入門 岩波書店
_[11] 서적 解析学 1（集合・位相） 東京図書
_[12] 서적 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre http://gallica.bnf.f[...] 2009-04-14
_[13] 서적 Logique mathématique II. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles
_[14] 서적 Set theory
_[15] 서적 Notes on set theory
_[16] 서적 Handbook of Analysis and Its Foundations Academic Press