웨어링의 문제

3. g(k)

g(k)는 웨어링의 문제에서 다루는 함수로, 모든 양의 정수를 k제곱수의 합으로 나타낼 때 필요한 항의 최소 개수를 의미한다. 모든 양의 정수는 자기 자신인 1제곱수의 합이므로 자명하게 $g(1)=1$이다.

1770년 조제프루이 라그랑주는 네 제곱수 정리를 증명하여 모든 자연수가 최대 4개의 제곱수 합으로 표현 가능함을 보였고, 이를 통해 $g(2)=4$임이 밝혀졌다.^[3][31] 이후 연구를 통해 $g(3)=9$,^{[4][5][32][33]} $g(4)=19$,^{[6][7][34][35]} $g(5)=37$,^[8] $g(6)=73$^[36] 등 몇 가지 작은 $k$에 대한 $g(k)$ 값이 결정되었다.

일반적인 $k$에 대한 $g(k)$ 값은 다음 공식으로 주어질 것으로 추측된다.^{[9][11][12][37][39][40]}

$g(k)\; =\; 2^k\; +\; \backslash lfloor(3/2)^k\backslash rfloor\; -\; 2$

여기서 $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$는 $x$의 정수 부분을 나타낸다. 이 공식은 아직 완전히 증명되지는 않았지만, 현재까지 알려진 모든 $k$ 값에 대해 성립하며 반례는 발견되지 않았다.

$g(k)$의 알려진 처음 몇 값은 다음과 같다.

: 1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, ...

3. 1. g(k)의 정의

• $g(3)\; =\; 9$는 1909년에서 1912년 사이에 아르투르 비에페리히(Arthur Wieferich)^[4][32]와 A. J. 켐프너^[5][33]에 의해 증명되었다.
• $g(4)\; =\; 19$는 1986년 라마찬드란 발라스브라마니안(R. Balasubramanian), F. 드레스, 장마르크 데슐리에(J.-M. Deshouillers)에 의해 증명되었다.^{[6][7][34][35]}
• $g(5)\; =\; 37$는 1964년 천징룬에 의해 증명되었다.
• $g(6)\; =\; 73$는 1940년 수바야 시바상카라나라야나 필라이(Pillai)에 의해 증명되었다.^[8][36]

3. 2. g(k)의 하한

• 7은 4개의 제곱수 합(예: $2^2+1^2+1^2+1^2$)으로만 표현 가능하므로, $g(2)\; \backslash ge\; 4$이다.
• 23은 9개의 세제곱수 합(예: $2^3\; \backslash times\; 2\; +\; 1^3\; \backslash times\; 7$)으로만 표현 가능하므로, $g(3)\; \backslash ge\; 9$이다.^[2]
• 79는 19개의 네제곱수 합(예: $2^4\; \backslash times\; 4\; +\; 1^4\; \backslash times\; 15$)으로만 표현 가능하므로, $g(4)\; \backslash ge\; 19$이다.

3. 3. g(k)의 값 (일부)

1770년 조제프루이 라그랑주는 네 제곱수 정리를 통해 모든 자연수가 최대 4개의 제곱수의 합으로 표현될 수 있음을 증명했다. 7과 같이 3개의 제곱수만으로는 표현할 수 없는 수가 존재하므로, 이 정리는 $g(2)\; =\; 4$임을 확립한다. 이 정리는 1621년 바셰가 편집한 디오판토스의 ''산술''에서 처음 추측되었으며, 피에르 드 페르마는 증명을 가지고 있다고 주장했으나 발표하지는 않았다.^[3][31]

$g(k)$의 처음 몇 값은 다음과 같다.

: 1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, ...

3. 4. 일반적인 g(k) 공식

4. G(k)

''G''(''k'')는 웨어링의 문제에서 다루는 값으로, 충분히 큰 모든 정수(즉, 어떤 특정 상수보다 큰 모든 정수)를 자연수의 ''k''제곱 수의 합으로 나타낼 때 필요한 항의 최소 개수를 의미한다. 이 값은 하디와 리틀우드의 연구 이후,^[13] 관련된 값인 ''g''(''k'')와 함께 연구되었으며, 모든 ''k''에 대해 ''G''(''k'') ≤ ''g''(''k'') 관계가 성립한다.

현재까지 정확한 값이 알려진 경우는 드물다. 예를 들어 ''G''(1) = 1, ''G''(2) = 4이며, ''G''(4) = 16은 1939년 데이븐포트가 증명했다.^[14][41] 다른 대부분의 ''k'' 값에 대해서는 ''G''(''k'')의 정확한 값은 알려져 있지 않으며, 그 값의 상한과 하한에 대한 연구가 진행 중이다.

4. 1. G(k)의 정의

• ''G''(1) = 1이다. 양의 정수는 1개의 1제곱 수(자기 자신)로 표현되기 때문이다.
• ''G''(2) = 4이다. 제곱수는 8로 나눈 나머지가 0, 1, 또는 4 중 하나이다 (0²≡0, 1²≡1, 2²≡4, 3²≡1, 4²≡0, 5²≡1, 6²≡4, 7²≡1 mod 8). 따라서 8로 나눈 나머지가 7인 정수(예: 7, 15, 23 등)는 3개의 제곱수 합으로 표현될 수 없다. 이는 ''G''(2) ≥ 4임을 의미한다. ''g''(2) = 4이므로, ''G''(2) ≤ ''g''(2) = 4이다. 따라서 ''G''(2) = 4가 된다.
• ''G''(4) = 16이다. 데이븐포트는 1939년에 충분히 큰 정수 중 16으로 나눈 나머지가 1에서 14 사이인 수는 14개의 네제곱 수의 합으로 표현될 수 있음을 증명함으로써 이를 보였다.^[14][41] 이후 연구를 통해 필요한 네제곱 수의 개수는 13개(1986년^[15]), 12개(1989년^[16])로 줄어들었다.

4. 2. G(k)와 g(k)의 관계

4. 3. G(k)의 값 (일부)

• '''G(1) = 1''': 모든 자연수는 자기 자신(1제곱수) 하나로 표현할 수 있으므로 자명하다.
• '''G(2) = 4''': 제곱수를 8로 나눈 나머지는 0, 1, 4 중 하나이다. 따라서 8로 나누었을 때 나머지가 7인 수(예: 7, 15, 23...)는 3개의 제곱수의 합으로 표현될 수 없다. 이는 G(2)가 최소 4임을 의미한다. 그런데 라그랑주의 네 제곱수 정리에 의해 모든 자연수는 4개의 제곱수의 합으로 표현 가능하므로 g(2)=4이고, G(2) ≤ g(2) 이므로 G(2) = 4이다.
• '''G(4) = 16''': 데이븐포트가 1939년에 증명했다.^[14] 그는 충분히 큰 수 중에서 16으로 나누었을 때 나머지가 1부터 14 사이인 수는 14개의 네제곱수의 합으로 표현될 수 있음을 보여 G(4) = 16임을 밝혔다. (이후 연구를 통해 필요한 네제곱수의 개수는 12개까지 줄어들었다.^[15][16])

4. 4. G(k)의 하한

합동 관계에 의한 제약이 없을 경우, 밀도(density) 논증에 따라 ''G''(''k'')는 ''k'' + 1과 같을 것으로 추측된다.

4. 5. G(k)의 상한

''G''(''k'')는 충분히 큰 모든 자연수를 자연수의 ''k''제곱의 합으로 나타낼 때 필요한 항의 최소 개수를 나타내는 값이다. 즉, 어떤 특정 상수보다 큰 모든 자연수는 최대 ''G''(''k'')개의 ''k''제곱 수의 합으로 표현될 수 있다. 하디와 리틀우드의 연구 이후,^[13] ''G''(''k'')는 ''g''(''k'')와 함께 연구되었으며, 모든 ''k''에 대해 ''G''(''k'') ≤ ''g''(''k'') 관계가 성립한다.

제곱수는 8로 나눈 나머지가 0, 1, 4 중 하나이므로, 8로 나눈 나머지가 7인 수는 3개의 제곱수의 합으로 표현될 수 없다. 따라서 ''G''(2) ≥ 4이다. ''g''(2) = 4이므로, 결과적으로 ''G''(2) = 4임이 알려져 있다. 데이븐포트는 1939년에 16으로 나눈 나머지가 1부터 14 사이인 충분히 큰 모든 수를 14개의 네제곱수의 합으로 나타낼 수 있음을 증명하여 ''G''(4) = 16임을 보였다.^[14] 이후 보언(1986, 1989)은 필요한 네제곱 수의 개수를 13개, 12개로 줄였다.^[15][16] 다른 ''k'' 값에 대해서는 ''G''(''k'')의 정확한 값은 알려져 있지 않지만, 상한과 하한에 대한 연구가 진행 중이다.

세제곱수는 9로 나눈 나머지가 0, 1, 또는 -1(즉, 8)만 가능하므로, ''G''(3)은 4 이상이다. 1.3×10⁹ 미만의 수 중에서는 1,290,740이 6개의 세제곱수를 필요로 하는 가장 큰 수로 알려져 있다.^[17] 4개의 세제곱수의 합으로 나타낼 수 없는 가장 큰 수로는 7,373,170,279,850이 알려져 있으며, 이것이 실제로 가장 큰 값일 것이라는 타당한 주장이 제시되었다.^[18] ''G''(3)의 상한은 1943년 유리 린니크에 의해 ''G''(3) ≤ 7로 증명되었다.^[19][45]

''G''(''k'')의 상한을 개선하기 위한 연구는 계속되었다. I. M. 비노그라도프는 하디-리틀우드 원 방법을 개선하여 다음과 같은 결과를 얻었다.

• 1947년: $G(k)\; \backslash le\; k(3\backslash log\; k\; +\; 11)$^[23]
• 1959년: 충분히 큰 ''k''에 대해, 어떤 상수 ''C''에 대해 $G(k)\; \backslash le\; k(2\backslash log\; k\; +\; 2\backslash log\backslash log\; k\; +\; C\backslash log\backslash log\backslash log\; k)$^[24]

• $G(k)\; \backslash le\; k(\backslash log\; k\; +\; \backslash log\backslash log\; k\; +\; C)$

참조

_[1] 논문 Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) https://zenodo.org/r[...]
_[2] 문서 Remember we restrict ourselves to natural numbers. With general integers, it is not hard to write 23 as the sum of 4 cubes, e.g. $2^3\; +\; 2^3\; +\; 2^3\; +\; (-1)^3$ or $29^3\; +\; 17^3\; +\; 8^3\; +\; (-31)^3$.
_[3] 서적 History of the Theory of Numbers Carnegie Institution of Washington
_[4] 논문 Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt http://dz-srv1.sub.u[...]
_[5] 논문 Bemerkungen zum Waringschen Problem http://dz-srv1.sub.u[...]
_[6] 논문 Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solution
_[7] 논문 Problème de Waring pour les bicarrés. II. Résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique
_[8] 논문 On Waring's problem ''g''(6) = 73
_[9] 간행물 L. Euler, "Opera posthuma" (1), 203–204 (1862). https://archive.org/[...] 1862
_[10] 논문 An unsolved case of the Waring problem The Johns Hopkins University Press
_[11] 논문 On the fractional parts of the powers of a rational number II
_[12] 논문 Extending Waring's conjecture to 471,600,000
_[13] 논문 Some problems of ''Partitio Numerorum'': IV. The singular series in Waring's Problem and the value of the number G(k) 1922
_[14] 논문 On Waring's Problem for Fourth Powers
_[15] 논문 On Waring's Problem for Smaller Exponents 1986
_[16] 논문 A new iterative method in Waring's problem 1989
_[17] 문서 Nathanson,1996,p=71
_[18] 논문 7373170279850
_[19] 간행물 On the representation of large numbers as sums of seven cubes 1943
_[20] 논문 Waring's Problem for sixteen biquadrates – numerical results http://www.math.ethz[...]
_[21] 논문 On Sums of Sixteen Biquadrates 2005
_[22] 서적 Number Theory for the Millennium A. K. Peters
_[23] 서적 The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers Dover Publications 2004-09-01
_[24] 논문 On an upper bound for $G(n)$ https://www.mathnet.[...] 1959
_[25] 논문 On the function ''G''(''n'') in Waring's problem
_[26] 논문 A new iterative method in Waring's problem 1989
_[27] 서적 The Hardy–Littlewood method Cambridge University Press
_[28] 논문 Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) http://gdz.sub.uni-g[...]
_[29] 웹사이트 Mathematics Subject Classification 2020 (MSC2020) https://msc2020.org 2024-01-19
_[30] 문서 ウェアリングは1770年に著書 ''Meditationes Algebraicae'' において "Omnis integer numerus vel est cubes vel e duobus, tribus, 4, 5, 6, 7, 8, vel novem cubus compositus, est eliam quadrato-quadratus vel e duobos, tribus &c. usque ad novemdecim compositus &sic deinceps."（「全ての整数は立方数であるか2, 3, 4, 5, 6, 7, 8または9個の立方数の和であり、平方数の平方であるか又は高々19個のそのような数の和であり、等々」）と述べている。
_[31] 서적 History of the Theory of Numbers, Volume II: Diophantine Analysis Carnegie Institution of Washington
_[32] 논문 Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt http://dz-srv1.sub.u[...]
_[33] 논문 Bemerkungen zum Waringschen Problem http://dz-srv1.sub.u[...]
_[34] 논문 Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solution.
_[35] 논문 Problème de Waring pour les bicarrés. II. Résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique.
_[36] 논문 On Waring's problem g(6)=73
_[37] 서적 Opera postuma
_[38] 논문 An unsolved case of the Waring problem The Johns Hopkins University Press
_[39] 논문 On the fractional parts of the powers of a rational number II
_[40] 문서 Extending Waring's conjecture to 471,600,000
_[41] 문서
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_[43] 논문 7373170279850
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_[47] 서적 Number Theory for the Millennium http://citeseerx.ist[...] A. K. Peters
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_[49] 논문 On the function G(n) in Waring's problem
_[50] 서적 The Hardy-Littlewood method Cambridge University Press