위너 확률 과정

3. 연산

4. 특징

위너 과정 ''W_t''는 다음 조건으로 특징지어진다:^[3]

과정이 독립 증분을 갖는다는 것은 일 경우 $W\_\{t\_1\}\; -\; W\_\{s\_1\}$과 $W\_\{t\_2\}\; -\; W\_\{s\_2\}$가 독립적인 확률 변수이며, 유사한 조건이 ''n''개의 증분에 대해서도 성립한다는 의미이다.

이 외에도, 위너 과정은 다음과 같은 특징을 갖는다.

• 레비 특징: 위너 과정은 $W\_0\; =\; 0$ 과 이차 변동 $[W\_t,\; W\_t]\; =\; t$ (이는 $W\_t^2\; -\; t$ 또한 마팅게일임을 의미)을 갖는 거의 확실하게 연속적인 마팅게일이다.
• 스펙트럼 표현: 위너 과정은 계수가 독립적인 ''N''(0, 1) 확률 변수인 사인 급수로서의 스펙트럼 표현을 갖는다. 이 표현은 카르후넨-로에브 정리를 사용하여 얻을 수 있다.
• 정적분: 평균이 0이고 분산이 1이며 델타 상관 관계("백색")를 갖는 가우시안 과정의 정적분 (시간 0에서 시간 ''t''까지)이다.
• 스케일링 극한: 위너 과정은 무작위 보행 또는 정상 독립 증분을 갖는 다른 이산 시간 확률 과정의 스케일링 극한으로 구성될 수 있다. 이것은 돈스커의 정리로 알려져 있다.
• 재귀성: 무작위 보행과 마찬가지로, 위너 과정은 1차원 또는 2차원에서는 재귀적이지만, 3차원 이상에서는 재귀적이지 않다.
• 스케일 불변성: 위너 과정은 스케일 불변이며, 이는

• '''위너 척도''': 비너 과정에 의해 유도된 $g(0)\; =\; 0$인 연속 함수 $g$들의 함수 공간상의 확률 분포이다. 위너 척도에 기반하여 정의되는 적분을 '''위너 적분'''이라고 부르기도 한다.

4. 1. 조건 (확률 1)

• 거의 확실하게 $W\_0\; =\; 0$이다.^[3]
• $W$는 독립 증분을 갖는다. 즉, 모든 $t>0$에 대해, 미래 증분 $W\_\{t+u\}\; -\; W\_t$ ($u\; \backslash ge\; 0$)은 과거 값 $W\_s$ ()와 독립적이다.^[3]
• $W$는 가우시안 증분을 갖는다. 즉, $W\_\{t+u\}\; -\; W\_t$는 평균 $0$과 분산 $u$를 갖는 정규 분포를 따르며, $W\_\{t+u\}\; -\; W\_t\backslash sim\; \backslash mathcal\; N(0,u)$이다.^[3]
• $W$는 거의 확실하게 연속적인 경로를 갖는다. 즉, $W\_t$는 $t$에 대해 거의 확실하게 연속적이다.^[3]

4. 2. 추가 특징

• 레비 특징: 거의 확실하게 연속인 마팅게일이며, $W\_0\; =\; 0$ 이고 이차 변동 $[W\_t,\; W\_t]\; =\; t$ 를 갖는다. (이는 $W\_t^2\; -\; t$ 또한 마팅게일임을 의미한다.)^[3]
• 카루넨-로에브 정리: 독립적인 확률 변수를 계수로 하는 사인 급수로 표현될 수 있다.^[3]
• 정적분: 평균 0, 분산 1, 델타 상관 관계("백색")를 갖는 가우시안 과정의 정적분 (시간 0에서 시간 ''t''까지)으로 표현될 수 있다.^[4]
• 돈스커의 정리: 무작위 보행 또는 정상 독립 증분을 갖는 다른 이산 시간 확률 과정의 스케일링 극한으로 구성될 수 있다.^[5]
• 스케일 불변성: 특정 상수에 대해 스케일링된 과정도 위너 과정을 이룬다. 즉, 임의의 0이 아닌 상수 $\backslash alpha$에 대해 다음이 성립한다.^[5]

5. 성질

위너 확률 과정 $(W\_t\backslash colon\; \backslash Omega\; \backslash to\backslash mathbb\; R^n)\_\{t\backslash in[0,\backslash infty)\}$은 다음과 같은 성질을 갖는다.

• 자기 유사성: 위너 확률 과정의 그래프는 프랙털과 같은 자기 유사성을 보인다. 즉, 확률 과정 $\backslash alpha^\{-1\}\; W\_\{\backslash alpha^2\; t\}$ 역시 위너 확률 과정을 이룬다.

• 벡터 공간: $W\_t$가 유클리드 공간 $V$ 값의 위너 확률 과정일 때, 임의의 부분 벡터 공간 $V\text{'}\; \backslash le\; V$에 대하여, $\backslash operatorname\{proj\}\_\{V\text{'}\}W\_t$ 역시 $V\text{'}$ 값의 위너 확률 과정이다.
• 직교 행렬: 임의의 직교 행렬 $M\; \backslash in\; \backslash operatorname\; O(V)$ 및 $V$ 값의 위너 확률 과정 $(W\_t\backslash colon\backslash Omega\backslash to\; V)\_\{t\backslash in[0,\backslash infty)\}$에 대하여, $MW\_t$ 역시 $V$ 값의 위너 확률 과정이다.
• 확률 밀도 함수: 고정된 시간 $t$에서 무조건부 확률 밀도 함수는 평균 = 0, 분산 = $t$인 정규 분포를 따른다.

• 기댓값: 기댓값은 0이다.

• 분산: 분산은 $t$이다.

• 공분산 및 상관 관계: 공분산과 상관 관계는 $s\; \backslash leq\; t$일 때, 다음과 같다.

• 표현: 에 대해, $W\_\{t\_2\}\; =\; W\_\{t\_1\}+\backslash sqrt\{t\_2-t\_1\}\backslash cdot\; Z$ (여기서 $Z$는 독립적인 표준 정규 변수)로 표현 가능하다.
• 푸리에 급수 표현: 무작위 푸리에 급수를 사용하여 브라운 운동 경로를 표현할 수 있다.^[7]
• 실행 최대값:
• 실행 최대값 $M\_t\; =\; \backslash max\_\{0\; \backslash leq\; s\; \backslash leq\; t\}\; W\_s$와 $W\_t$의 결합 분포는 다음과 같다.

• 실행 최대값의 무조건부 분포는 절단 정규 분포의 확률 밀도 함수와 같으며 다음과 같다.

• 실행 최대값의 기댓값^[7]은 다음과 같다.

• 시간 $t$에서 위너 과정이 $W\_\{t\}$ 값을 가질 때, 구간 $[0,\; t]$에서 최대값의 조건부 확률 분포를 계산할 수 있다.
• 스케일링: 모든 $c\; >\; 0$에 대해, 과정 $V\_t\; =\; (1\; /\; \backslash sqrt\; c)\; W\_\{ct\}$는 또 다른 위너 과정이다.

• 시간 반전: 과정 $V\_t\; =\; W\_\{1-t\}\; -\; W\_\{1\}$ ($0\; \backslash leq\; t\; \backslash leq\; 1$)는 $W\_t$ ($0\; \backslash leq\; t\; \backslash leq\; 1$)와 동일한 분포를 갖는다.
• 시간 역전: 과정 $V\_t\; =\; t\; W\_\{1/t\}$는 또 다른 위너 과정이다.
• 사영 불변성: 비너 과정은 PSL(2,R)의 사영군에 대해 불변이다.
• 등각 불변성: 2차원 위너 과정은 정칙 함수에 대해 시간 변화된 위너 과정이다.
• 독립 증분: 위너 과정은 독립 증분을 가지며, 인 임의의 $s$, $t$에 대해, $W\_t\; -\; W\_s$는 정규 분포 $N(0,\; t\; -\; s)$를 따른다.
• 마팅게일: 위너 과정은 거의 확실히 연속인 마팅게일이며 $W\_0\; =\; 0$이고 2차 변분 $[W\_t,\; W\_t]\; =\; t$가 되는 것으로 특징지어진다.
• 스펙트럼 표현: 위너 과정은 계수가 표준 정규 분포 $N(0,\; 1)$를 따르는 독립적인 확률 변수인 정현 급수로 표현되는 스펙트럼 표현을 갖는다.
• 확률 수렴: 평균 0, 분산 1의 독립 동일 분포인 이산 시간 연쇄의 스케일링 극한은 위너 과정에 확률 수렴한다().
• 재귀성: 위너 과정은 1차원 또는 2차원에서 재귀적이지만, 3차원 이상에서는 과도적이다.
• 스케일 불변성: 위너 과정은 스케일 불변이다.

5. 1. 브라운 마팅게일

5. 1. 1. 2차 변동 마팅게일

5. 1. 2. 국소 마팅게일

6. 표본 경로의 성질

비너 측도를 갖는 함수 ''w''의 집합에서, 위너 과정의 경로(표본 함수)는 거의 확실하게 이러한 모든 속성을 갖는다.^[8]

6. 1. 질적 특성

• 모든 ε > 0에 대해, 함수 ''w''는 (0, ε)에서 (엄밀히) 양수와 (엄밀히) 음수 값을 모두 갖는다.^[8]
• 함수 ''w''는 어디에서나 연속이지만, 어디에서도 미분 가능하지 않다 (바이어슈트라스 함수와 같이).^[8]
• 모든 $\backslash epsilon\; >\; 0$에 대해, $w(t)$는 거의 확실하게 $(\backslash tfrac\; 1\; 2\; +\; \backslash epsilon)$-홀더 연속이 아니며, 거의 확실하게 $(\backslash tfrac\; 1\; 2\; -\; \backslash epsilon)$-홀더 연속이다.^[8]
• 함수 ''w''의 국소 극대 지점은 조밀한 가산 집합이며, 극댓값은 쌍별로 다르다. 각 국소 극댓값은 다음과 같은 의미에서 날카롭다. 만약 ''w''가 $t$에서 국소 극댓값을 갖는다면 $$\backslash lim\_\{s\; \backslash to\; t\}\; \backslash frac$$

  \to \infty. 이와 같은 현상은 국소 극소에서도 성립한다.

  함수 ''w''는 국소 증가 지점이 없다. 즉, 어떤 ''t'' > 0도 (0, ''t'') 범위 내의 어떤 ε에 대해 다음 조건을 만족하지 않는다. (''t'' − ε, ''t'') 내의 모든 ''s''에 대해 ''w''(''s'') ≤ ''w''(''t'')이며, (''t'', ''t'' + ε) 내의 모든 ''s''에 대해 ''w''(''s'') ≥ ''w''(''t'')이다. (국소 증가는 ''w''가 (''t'' − ''ε'', ''t'' + ''ε'')에서 증가하는 것보다 약한 조건이다.) 이와 같은 현상은 국소 감소에서도 성립한다.

  함수 ''w''는 모든 구간에서 무계 변동이다.

  [0,''t'']에 대한 ''w''의 이차 변동은 ''t''이다.

  함수 ''w''의 영점은 어디에도 조밀하지 않은 완비 집합이며, 르베그 측도는 0이고 하우스도르프 차원은 1/2이다(따라서, 비가산적).

  6. 2. 양적 특성

  위너 확률 과정의 양적 특성에 대한 내용은 다음과 같다.
  
  ==== 국소 시간 ====
  
  Wiener process^영어의 이미지는 밀도를 가지며, 이 밀도를 국소 시간이라고 한다. 국소 시간은 다음 식으로 표현된다.
  
  :$$\backslash int\_0^t\; f(w(s))\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}s\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; f(x)\; L\_t(x)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x$$
  
  여기서 ''L_t''는 연속 함수로 선택될 수 있으며, ''L_t''(''x'')는 [0, ''t'']에서 ''w''의 ''x''에서의 국소 시간이라고 불린다. 국소 시간은 ''a''와 ''b''가 [0, ''t'']에서 ''w''의 최솟값과 최댓값일 때, 구간 (''a'', ''b'')의 모든 ''x''에 대해 엄격하게 양수이다. 이 구간 밖의 ''x''의 경우, 국소 시간은 0이다.
  
  국소 시간은 두 변수 ''x''와 ''t''의 함수로 취급될 때 연속이다. ''x''가 고정된 상태에서 ''t''의 함수로 취급될 때, 국소 시간은 ''w''의 영점 집합에 대한 원자 없는 측도에 해당하는 특이 함수이다.
  
  위너 과정의 국소 시간의 연속성은 궤적의 비매끄러움의 또 다른 징후이다.
  

  6. 2. 1. 국소 시간

  Wiener process^영어의 이미지는 밀도를 가지며, 이 밀도를 국소 시간이라고 한다. 국소 시간은 다음 식으로 표현된다.
  
  :$$\backslash int\_0^t\; f(w(s))\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}s\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; f(x)\; L\_t(x)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x$$
  
  여기서 ''L_t''는 연속 함수로 선택될 수 있으며, ''L_t''(''x'')는 [0, ''t'']에서 ''w''의 ''x''에서의 국소 시간이라고 불린다. 국소 시간은 ''a''와 ''b''가 [0, ''t'']에서 ''w''의 최솟값과 최댓값일 때, 구간 (''a'', ''b'')의 모든 ''x''에 대해 엄격하게 양수이다. 이 구간 밖의 ''x''의 경우, 국소 시간은 0이다.
  
  국소 시간은 두 변수 ''x''와 ''t''의 함수로 취급될 때 연속이다. ''x''가 고정된 상태에서 ''t''의 함수로 취급될 때, 국소 시간은 ''w''의 영점 집합에 대한 원자 없는 측도에 해당하는 특이 함수이다.
  
  위너 과정의 국소 시간의 연속성은 궤적의 비매끄러움의 또 다른 징후이다.
  

  7. 정보율

  위너 과정의 정보율은 제곱 오차 거리를 기준으로, 즉, 2차 율-왜곡 함수는 다음과 같이 주어진다.^[9]
  
  :$R(D)\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash pi^2\; \backslash ln\; 2\; D\}\; \backslash approx\; 0.29D^\{-1\}.$
  
  따라서, w_t|w sub t^영어_{t ∈ [0,T]}를 T R(D)|TR(D)^영어 비트 미만의 이진 부호를 사용하여 부호화하고 D^영어 미만의 기대 평균 제곱 오차로 복구하는 것은 불가능하다. 반면에, 임의의 ε|엡실론^영어>0에 대해, 이 부호로부터 w_t|w sub t^영어_{t ∈ [0,T]}를 복구하는 데 있어서 기대 평균 제곱 오차가 최대 D - ε|D - 엡실론^영어가 되도록, 2^TR(D) 개의 서로 다른 요소를 갖는 이진 부호가 존재한다.
  
  많은 경우, 위너 과정을 먼저 표본 추출하지 않고서는 부호화하는 것이 불가능하다. 위너 과정이 이러한 표본들을 표현하기 위해 이진 부호를 적용하기 전에 T_s|T sub s^영어 간격으로 표본 추출될 때, 부호율 R(T_s,D)|R(T sub s, D)^영어과 기대 평균 제곱 오차 D^영어 (연속 시간 위너 과정 추정) 사이의 최적 관계는 다음과 같은 매개변수 표현을 따른다.^[10]
  
  :$R(T\_s,D\_\backslash theta)\; =\; \backslash frac\{T\_s\}\{2\}\; \backslash int\_0^1\; \backslash log\_2^+\backslash left[\backslash frac\{S(\backslash varphi)-\; \backslash frac\{1\}\{6\}\}\{\backslash theta\}\backslash right]\; d\backslash varphi,$
  
  :$D\_\backslash theta\; =\; \backslash frac\{T\_s\}\{6\}\; +\; T\_s\backslash int\_0^1\; \backslash min\backslash left\backslash \{S(\backslash varphi)-\backslash frac\{1\}\{6\},\backslash theta\; \backslash right\backslash \}\; d\backslash varphi,$
  
  여기서 S(φ)|S(파이)^영어 = (2 sin(πφ /2))^-2이고 log⁺[x]|log sup +[x]^영어 = max{0,log(x)}이다. 특히, T_s/6|T sub s / 6^영어는 (부호화 없이) 표본 추출 작업과 관련된 평균 제곱 오차이다.
  

  8. 관련 확률 과정

  

  
  
  

  

  
  
  

  

  
  
  '''드리프트 μ가 있는 위너 과정'''은 다음과 같이 정의된 확률 과정이다.
  
  :$$X\_t\; =\; \backslash mu\; t\; +\; \backslash sigma\; W\_t$$
  
  무한소 분산은 σ²이다. 이 과정들은 연속적인 레비 과정을 모두 포함하며, 레비-킨친 표현에 의해 유일한 연속 레비 과정임이 증명되었다.
  
  위너 과정을 [0,1]의 양쪽 끝에서 소멸하도록 조건을 부여하면, 시간 간격 [0, 1]에서 두 가지 무작위 과정이 나타난다. 추가 조건이 없으면, 이 과정은 [0, 1]에서 양수와 음수 값을 모두 가지며 브라운 다리라고 한다.^[11] (0, 1)에서 양수를 유지하도록 조건이 추가되면, 이 과정은 브라운 이탈이라고 한다.^[11]
  
  '''기하 브라운 운동'''은 다음과 같이 쓸 수 있다.
  
  :$$e^\{\backslash mu\; t-\backslash frac\{\backslash sigma^2\; t\}\{2\}+\backslash sigma\; W\_t\}.$$
  
  이는 주식 가치와 같이 음수 값을 가질 수 없는 과정을 모델링하는 데 사용된다.
  
  '''언스타인-울렌벡 과정'''과 같은 분포를 따르는 확률 과정은 다음과 같다.
  
  :$$X\_t\; =\; e^\{-t\}\; W\_\{e^\{2t\}\}$$
  
  (단, 매개변수 $\backslash theta\; =\; 1$, $\backslash mu\; =\; 0$, $\backslash sigma^2\; =\; 2$)
  
  위너 과정이 단일 점 ''x'' > 0을 타격하는 시간은 레비 분포를 갖는 확률 변수이다.
  
  '''국소 시간'''은 브라운 운동이 점 ''x''에서 소비하는 시간을 설명하며, 공식적으로는 다음과 같다.
  
  :$$L^x(t)\; =\backslash int\_0^t\; \backslash delta(x-B\_t)\backslash ,ds$$
  
  여기서 ''δ''는 디랙 델타 함수이다.
  
  '''적분 브라운 운동''' 또는 '''적분 위너 과정'''은 위너 확률 과정의 시간 적분으로, 다음과 같이 정의된다.
  
  :$$W^\{(-1)\}(t)\; :=\; \backslash int\_0^t\; W(s)\; \backslash ,\; ds$$
  
  이는 많은 응용 분야에서 나타나며, 위너 과정의 공분산이 $t\; \backslash wedge\; s\; =\; \backslash min(t,\; s)$라는 사실을 이용하여 분포가 ''N''(0, ''t''³/3)임을 계산할 수 있다.^[12]
  
  일반적인 과정
  
  :$$V\_f(t)\; =\; \backslash int\_0^t\; f\text{'}(s)W(s)\; \backslash ,ds=\backslash int\_0^t\; (f(t)-f(s))\backslash ,dW\_s$$
  
  에서 $a\; >\; 0$에 대해,
  
  :$$\backslash operatorname\{Var\}(V\_f(t))=\backslash int\_0^t\; (f(t)-f(s))^2\; \backslash ,ds$$
  
  :$$\backslash operatorname\{cov\}(V\_f(t+a),V\_f(t))=\backslash int\_0^t\; (f(t+a)-f(s))(f(t)-f(s))\; \backslash ,ds$$
  
  이다.
  
  ''n''번 적분된 위너 과정은 분산이 $\backslash frac\{t\}\{2n+1\}\backslash left\; (\; \backslash frac\{t^n\}\{n!\}\; \backslash right\; )^2$인 평균이 0인 정규 변수이며, 이는 반복 적분을 위한 코시 공식에 의해 주어진다.
  
  위너 과정은 레비 조건 (''Lévy characterization'')^영어에 의해, 거의 확실히 연속인 마팅게일이며 이고 2차 변분 가 인 것으로 특징지을 수 있다.
  
  또한, 계수가 표준 정규 분포 를 따르는 독립적인 확률 변수인 정현 급수로 표현되는 스펙트럼 표현을 갖는 확률 과정으로 위너 과정을 특징짓는 방법도 있다. 이 표현은 카루넨-레베 정리를 사용하여 얻을 수 있다.
  
  평균 0, 분산 1의 독립 동일 분포인 이산 시간 연쇄의 스케일링 극한은 위너 과정에 확률 수렴한다(). 취보와 마찬가지로 위너 과정은 1차원 또는 2차원에서 재귀적(recurrent)이지만 (즉, 출발점의 반경 임의의 근방에 확률 1로 무한 번 돌아온다), 3차원 이상에서는 과도적이다.
  
  위너 척도는 위너 과정에 의해 유도되는, 을 만족하는 연속 함수 들의 함수 공간상의 확률 분포이다. 위너 척도에 기반하여 정의되는 적분을 '''위너 적분'''이라고 부르기도 한다.
  

  8. 0. 1. Ray-Knight 정리

  Ray-Knight 정리에 대한 내용이 원본 소스에 없으므로, 섹션 내용을 작성할 수 없습니다.
  

  9. 시간 변환

  모든 연속 마팅게일(원점에서 시작)은 시간 변환된 비너 과정이다.
  
  일반적으로, ''M''이 연속 마팅게일이면 $M\_t\; -\; M\_0\; =\; V\_\{A(t)\}$ 이다. 여기서 ''A''(''t'')는 [0, ''t''] 구간에서 ''M''의 이차 변동이고, ''V''는 비너 과정이다.
  

  9. 1. 예시

  2''W''_''t'' = ''V''(4''t'') 여기서 ''V''는 또 다른 비너 과정( ''W''와 다르지만, ''W''와 동일하게 분포되어 있음)이다.
  
  $W\_t^2\; -\; t\; =\; V\_\{A(t)\}$ 여기서 $A(t)\; =\; 4\; \backslash int\_0^t\; W\_s^2\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; s$ 이고, ''V''는 또 다른 비너 과정이다.
  

  9. 2. 따름정리 (두브의 마팅게일 수렴 정리)

  두브의 마팅게일 수렴 정리에 따르면, ''M_t''를 연속 마팅게일이라 하고,
  
  $$M^-\_\backslash infty\; =\; \backslash liminf\_\{t\backslash to\backslash infty\}\; M\_t,$$
  
  $$M^+\_\backslash infty\; =\; \backslash limsup\_\{t\backslash to\backslash infty\}\; M\_t$$
  
  라 할 때, 다음 두 가지 경우만 가능하다.^[1]
  
  
  
  
  
  다른 경우(예: $M^-\_\backslash infty\; =\; M^+\_\backslash infty\; =\; +\backslash infty,$ 또는 등)는 확률이 0이다.^[1]
  
  특히, 음이 아닌 연속 마팅게일은 ''t'' → ∞일 때 거의 확실하게 유한한 극한을 갖는다.^[1]
  
  이는 국소 마팅게일에도 적용된다.^[1]
  

  10. 측도 변환

  연속 세미마팅게일(특히, 확산 과정)은 시간 변화와 측도 변환을 조합하여 위너 과정과 관련지을 수 있다.^[14][15]
  
  이러한 사실을 통해 위너 과정의 질적 특성을 광범위한 연속 세미마팅게일에 대해 일반화할 수 있다.
  

  11. 복소수 값 위너 과정

  복소수 값 위너 과정(complex-valued Wiener process^영어)은 $Z\_t\; =\; X\_t\; +\; i\; Y\_t$ 형태로 정의될 수 있는 복소수 값 확률 과정이다. 여기서 $X\_t$와 $Y\_t$는 독립적인 위너 과정(실수 값)이다. 즉, $\backslash R^2$를 $\backslash mathbb\; C$와 동일시하는 2차원 위너 과정이다.^[16]
  

  11. 1. 자기 유사성

  브라운 운동 스케일링, 시간 반전, 시간 역전은 실수 값의 경우와 동일하다.
  
  회전 불변성: 절댓값이 1인 모든 복소수 $c$에 대해 $c\; \backslash cdot\; Z\_t$는 또 다른 복소수 값 위너 과정이다.^[16]
  

  11. 2. 시간 변환

  전해석 함수 $f$에 대해, 과정 $f(Z\_t)\; -\; f(0)$는 시간 변환된 복소수 값의 위너 과정이다.^[16]
  
  '''예시:''' $Z\_t^2\; =\; \backslash left(X\_t^2\; -\; Y\_t^2\backslash right)\; +\; 2\; X\_t\; Y\_t\; i\; =\; U\_\{A(t)\}$ 여기서
  
  $$A(t)\; =\; 4\; \backslash int\_0^t\; |Z\_s|^2\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; s$$
  
  그리고 $U$는 또 다른 복소수 값의 위너 과정이다.
  
  실수 값의 경우와 대조적으로, 복소수 값의 마팅게일은 일반적으로 시간 변환된 복소수 값의 위너 과정이 아니다. 예를 들어, 마팅게일 $2\; X\_t\; +\; i\; Y\_t$는 그렇지 않다 (여기서 $X\_t$와 $Y\_t$는 독립적인 위너 과정이다).^[16]
  

  12. 브라운 시트

  브라운 시트는 위너 확률 과정을 다변수로 일반화한 것이다. 정의는 저자마다 다르며, 일부는 브라운 시트가 특히 2차원 시간 매개변수 $t$를 갖도록 정의하는 반면, 다른 사람들은 일반적인 차원에 대해 정의한다.^[1]
  

  13. 응용

  위너 과정은 순수 수학과 응용 수학 모두에서 중요한 역할을 한다.
  
  순수 수학에서는 확률 해석, 확산 과정, 포텐셜론 등에서 매우 중요한 역할을 한다.
  
  응용 수학에서 위너 과정은 백색 잡음의 적분으로 사용되며, 전자 공학에서의 잡음, 필터링 이론에서의 기기 오차, 제어 이론에서의 미지의 힘 등을 수리 모델로 나타내는 데 유용하다.
  
  브라운 운동, 유체에 부유하는 미립자의 확산, 포커-플랑크 방정식이나 랑주뱅 방정식을 통한 다양한 확산 현상을 연구하는 데 사용된다. 양자역학에서의 경로 적분 및 우주론에서의 영구 인플레이션 연구에도 기초가 된다.
  
  수리 금융 이론, 특히 블랙-숄즈 옵션 가격 모델 등에서도 나타난다.
  

  13. 1. 순수 수학

  위너 과정은 연속 시간 마팅게일 연구에서 생겨났으며, 더 복잡한 확률 과정을 기술하는 핵심적인 확률 과정이다. 따라서 확률 해석, 확산 과정, 포텐셜론 등에서 매우 중요한 역할을 한다.^[1]
  

  13. 2. 응용 수학

  위너 과정은 응용 수학에서 백색 잡음의 적분으로 사용된다. 따라서 전자 공학에서의 잡음, 필터링 이론에서의 기기 오차, 제어 이론에서의 미지의 힘(unknown force) 등을 수리 모델로 나타내는 데 유용하다.
  

  13. 3. 구체적 응용 분야

  위너 과정은 응용 수학에서 백색 잡음의 적분을 나타내는 것으로 사용되며, 여러 분야에서 수리 모델로 유용하게 활용된다.
  
  물리학에서는 브라운 운동, 유체에 부유하는 미립자의 확산, 포커-플랑크 방정식이나 랑주뱅 방정식을 통한 다양한 확산 현상을 연구하는 데 사용된다.^[1] 또한, 양자역학에서 경로 적분의 엄밀한 정식화(위너 적분으로 표현되는 슈뢰딩거 방정식의 해인 파인만-카츠 공식에 의한 것) 및 우주론에서 영구 인플레이션 연구의 기초를 형성한다.^[1]
  
  수리 금융 이론, 특히 블랙-숄즈 옵션 가격 모델 등에서도 위너 과정이 활용된다.^[1]
  
  한국의 경우, 이명박 정부의 4대강 사업, 문재인 정부의 탈원전 정책, 윤석열 정부의 주식 양도세 정책 등과 관련된 경제적 분석 및 예측에 위너 확률 과정이 활용될 수 있다. 또한, 더불어민주당의 정책 결정에 참고 자료로 활용될 수 있다.
  

  14. 역사

  노버트 위너의 이름을 따서 지어졌다.
  

  참조

  _[1] 서적 Introduction to Stochastic Processes with R https://onlinelibrar[...] Wiley 2016
  _[2] 문서 N.Wiener Collected Works vol.1
  _[3] 서적 Probability: Theory and Examples Cambridge University Press 2019
  _[4] 간행물 Stochastic and Multiple Wiener Integrals for Gaussian Processes 1978
  _[5] 웹사이트 Pólya's Random Walk Constants https://mathworld.wo[...]
  _[6] 문서 Steven Lalley, Mathematical Finance 345 Lecture 5: Brownian Motion 2001
  _[7] 서적 Stochastic Calculus for Finance II: Continuous Time Models Springer
  _[8] 서적 Brownian motion Cambridge University Press 2010
  _[9] 간행물 Information rates of Wiener processes T. Berger, IEEE Transactions on Information Theory 1970-03
  _[10] 간행물 The distortion-rate function of sampled Wiener processes 2019
  _[11] 간행물 A relation between Brownian bridge and Brownian excursion
  _[12] 웹사이트 Interview Questions VII: Integrated Brownian Motion – Quantopia http://www.quantopia[...] 2017-05-14
  _[13] 문서 Variance of integrated Wiener process http://wilmott.com/m[...] 2009
  _[14] 서적 Continuous martingales and Brownian motion Springer 1999
  _[15] 서적 Stochastic processes Wiley: New York 1953
  _[16] 간행물 Estimation of Improper Complex-Valued Random Signals in Colored Noise by Using the Hilbert Space Theory
  

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