이상점

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 성질
3. 이상 다각형 (Ideal Polygons)
- 3.1. 이상 삼각형 (Ideal Triangles)
- 3.2. 이상 사각형 (Ideal Quadrilaterals)
  - 3.2.1. 이상 정사각형 (Ideal Square)
4. 쌍곡 기하학 모형에서의 표현 (Representations in Models of Hyperbolic Geometry)
참조

1. 개요

이상점은 쌍곡 기하학에서 사용되는 개념으로, 쌍곡선 공간의 무한히 먼 지점을 나타낸다. 이상점과 다른 점 사이, 또는 이상점 간의 쌍곡 거리는 무한대이다. 이상점은 호로사이클과 호로볼의 중심이며, 쌍곡 평면의 클라인 원반 모형과 푸앵카레 원반 모형에서 단위 원 또는 단위 구 위에 위치하며, 쌍곡 평면의 경계를 이룬다. 이상 삼각형, 이상 사각형, 이상 n각형과 같은 이상 다각형은 모든 꼭짓점이 이상점인 다각형을 의미하며, 쌍곡 기하학 모형에서 다양한 방식으로 표현된다.

더 읽어볼만한 페이지

기하학 - 밀러 지수
밀러 지수는 결정학에서 결정 면과 방향을 나타내기 위해 사용되는 지수이며, 역격자 벡터 또는 격자 벡터 절편의 역수를 통해 정의되며, 물질의 물리적, 화학적 성질 및 기술적 응용에 중요한 역할을 한다.
기하학 - 반지름
반지름은 원의 중심에서 원 위의 점까지의 거리로, 원의 지름과 둘레, 넓이 계산에 사용될 뿐 아니라 정다각형 외접원, 그래프 이론, 극좌표계 등 다양한 분야에서 활용되며, 여러 도형의 반지름을 구하는 공식이 존재하고 한국의 교육, 건축, 디자인 분야에서도 널리 쓰인다.

이상점
개요
쌍곡선 평면에서 이상점은 경계 원에 위치한다.
유형	수학적 개념
분야	쌍곡선 기하학
관련 개념	점근선 무한대 투영 기하학 원뿔 단면
정의
정의	쌍곡선 공간의 경계에 있는 점
특징	쌍곡선 공간 내에 존재하지 않음 쌍곡선 공간의 "무한대"에 위치
상세 설명
기하학적 의미	쌍곡선 공간에서 평행선은 이상점에서 만남 이상점은 쌍곡선 공간의 시각적 표현에 중요한 역할
모델	클라인 모델 푸앵카레 원반 모델 푸앵카레 반평면 모델
활용	타일링 (기하학) 연구 클라인 군 연구
참고 자료
참고 문헌	Sibley, Thomas Q. (1998). The geometric viewpoint : a survey of geometries. Addison-Wesley. pp. 109. Struve, Horst; Struve, Rolf (2010). "Non-euclidean geometries: the Cayley-Klein approach". Journal of Geometry. 89 (1–2): 151–170. Hvidsten, Michael (2005). Geometry with Geometry Explorer. New York, NY: McGraw-Hill. pp. 276–283.

2. 성질

이상점과 다른 점 또는 이상점 사이의 쌍곡 거리는 무한대이다.
호로사이클과 호로볼의 중심은 이상점이며, 두 호로사이클은 동일한 중심을 가질 때 동심원이다.

3. 이상 다각형 (Ideal Polygons)

쌍곡 기하학에서 모든 꼭짓점이 이상점인 다각형을 이상 다각형이라고 부른다. 이상 다각형은 유클리드 기하학의 다각형과는 다른 독특한 성질을 가지며, 대표적인 예로는 이상 삼각형과 이상 사각형 등이 있다.

3. 1. 이상 삼각형 (Ideal Triangles)

쌍곡삼각형의 모든 꼭짓점이 이상점인 경우, 해당 삼각형을 이상 삼각형이라고 한다.

이상 삼각형의 몇 가지 특징은 다음과 같다.

모든 이상 삼각형은 서로 합동이다.
이상 삼각형의 내각은 모두 0이다.
모든 이상 삼각형은 무한한 둘레를 갖는다.
모든 이상 삼각형의 면적은 $-\pi / K$ 이며, 여기서 K는 평면의 (항상 음수인) 곡률이다.^[4]

3. 2. 이상 사각형 (Ideal Quadrilaterals)

사각형의 모든 꼭짓점이 이상점이면, 그 사각형은 이상 사각형이다.

모든 이상 삼각형은 서로 합동이지만, 모든 볼록 이상 사각형이 합동인 것은 아니다. 예를 들어, 두 대각선이 교차하는 각도에서 서로 다를 수 있다. 그럼에도 불구하고 모든 볼록 이상 사각형은 다음과 같은 공통적인 속성을 갖는다.

볼록 이상 사각형의 내각은 모두 0이다.
모든 볼록 이상 사각형은 무한한 둘레를 갖는다.
모든 볼록 이상 사각형의 면적은 $-2 \pi / K$ 이며, 여기서 K는 평면의 (항상 음수인) 곡률이다.

3. 2. 1. 이상 정사각형 (Ideal Square)

대각선이 서로 수직을 이루는 이상 사변형은 이상 정사각형을 형성한다.

이것은 페르디난트 카를 슈바이카르트가 "별 기하학"이라고 부른 그의 메모에서 사용되었으며, 이는 쌍곡 기하학의 가능성을 인정한 최초의 출판물 중 하나였다.^[5]

4. 쌍곡 기하학 모형에서의 표현 (Representations in Models of Hyperbolic Geometry)

이상점과 다른 점 또는 두 이상점 사이의 쌍곡 거리는 무한대이다.

호로사이클과 호로볼의 중심은 이상점이며, 같은 중심을 가진 두 호로사이클은 동심원 관계에 있다.

쌍곡 평면을 나타내는 클라인 원반 모형이나 푸앵카레 원반 모형과 같은 특정 모델에서는 이상점이 해당 모델 공간의 경계에 위치한다. 예를 들어, 이 두 원반 모형에서는 이상점이 단위 원(2차원) 또는 단위 구(고차원) 위에 존재하며, 이는 도달할 수 없는 경계를 형성한다. 또한, 동일한 쌍곡선을 이 두 모형에 투영할 경우, 각각의 선은 동일한 두 개의 이상점을 통과하게 된다. 즉, 두 모형에서 이상점의 위치는 일치한다.

4. 1. 클라인 원반 모형 (Klein Disk Model)

쌍곡 평면의 클라인 원반 모형과 푸앵카레 원반 모형에서 이상점은 단위 원 (쌍곡 평면의 경우) 또는 단위 구 (더 높은 차원의 경우) 위에 위치한다. 이는 쌍곡 평면의 도달할 수 없는 경계에 해당한다.

동일한 쌍곡선을 클라인 원반 모형과 푸앵카레 원반 모형에 각각 투영하면, 두 모형 모두에서 해당 선은 동일한 두 개의 이상점을 통과한다. 즉, 두 모형에서 이상점은 같은 위치에 존재한다.

열린 단위 원판 안의 서로 다른 두 점 ''p''와 ''q''가 주어졌을 때, 이 두 점을 연결하는 유일한 직선은 단위 원과 두 개의 이상점 ''a''와 ''b''에서 만난다. 이때 점들은 ''a'', ''p'', ''q'', ''b''의 순서로 배열되며, 이는 거리 관계 |aq| > |ap| 와 |pb| > |qb| 를 만족하도록 정해진다. 그러면 ''p''와 ''q'' 사이의 쌍곡선 거리는 다음 공식으로 표현된다.

:

d(p,q) = \frac{1}{2} \log \frac{ \left| qa \right| \left| bp \right| }{ \left| pa \right| \left| bq \right| }

4. 2. 푸앵카레 원반 모형 (Poincaré Disk Model)

쌍곡 평면의 클라인 원반 모형과 푸앵카레 원반 모형에서 이상점은 단위 원 (쌍곡 평면의 경우) 또는 단위 구 (더 높은 차원의 경우) 위에 위치한다. 이는 쌍곡 평면에서 도달할 수 없는 경계를 나타낸다.^[1]

동일한 쌍곡선을 클라인 원반 모형과 푸앵카레 원반 모형에 각각 투영하면, 두 모형 모두 동일한 두 개의 이상점을 통과하게 된다. 즉, 두 모형에서 이상점은 같은 위치에 존재한다.^[1]

열린 단위 원 안에 있는 서로 다른 두 점 ''p''와 ''q''를 생각해보자. 이 두 점을 연결하는 원호 중 경계인 단위 원에 직교하는 유일한 원호가 존재한다. 이 원호는 단위 원과 두 개의 이상점 ''a''와 ''b''에서 만난다. 이때 점들의 순서는 ''a'', ''p'', ''q'', ''b'' 순서로 배열되어 |aq| > |ap| 이고 |pb| > |qb| 가 성립한다고 가정한다. 그러면 ''p''와 ''q'' 사이의 쌍곡선 거리는 다음과 같이 계산할 수 있다.^[1]

:

d(p,q) = \log \frac{ \left| qa \right| \left| bp \right| }{ \left| pa \right| \left| bq \right| }

여기서 거리는 각 선분 aq, ap, pb, qb의 길이를 따라 측정된 값이다.^[1]

4. 3. 푸앵카레 반평면 모형 (Poincaré Half-Plane Model)

푸앵카레 상반평면 모형에서 이상점은 경계 축 위의 점들이다. 또한 상반평면 모형에서는 표현되지 않는 또 다른 이상점이 있는데, 이는 양의 y축에 평행한 광선이 접근하는 점이다.

4. 4. 쌍곡면 모형 (Hyperboloid Model)

쌍곡면 모형에는 이상점이 없다.

참조

_[1] 서적 The geometric viewpoint : a survey of geometries https://archive.org/[...] Addison-Wesley 1998
_[2] 간행물 Non-euclidean geometries: the Cayley-Klein approach
_[3] 서적 Geometry with Geometry Explorer McGraw-Hill
_[4] 웹사이트 274 Curves on Surfaces, Lecture 5 http://math.berkeley[...] 2012
_[5] 서적 Non-Euclidean geometry : a critical and historical study of its developments https://archive.org/[...] Dover 1955

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com