쌍곡삼각형

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1. 개요

쌍곡삼각형은 유클리드 기하학이 아닌 쌍곡 기하학에서 정의되는 삼각형으로, 세 개의 변과 세 개의 각을 갖는다. 이 삼각형은 유클리드 기하학의 삼각형과 유사한 성질을 가지면서도, 각의 합이 180° 미만이고 면적에 상한이 있다는 독특한 특징을 갖는다. 쌍곡삼각형은 이상점을 가질 수 있으며, 이 경우 오메가 삼각형과 같은 특수한 형태를 띤다. 쌍곡삼각형은 쌍곡선 함수를 사용하여 삼각법 공식을 구성하며, 직각삼각형과 일반적인 삼각형에 대한 다양한 삼각법 관계가 존재한다.

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쌍곡삼각형
정의
정의	쌍곡 공간에서 세 개의 서로 다른 점과 그 점들을 잇는 세 개의 선분으로 이루어진 도형
속성
각의 합	항상 180°보다 작음
면적	각 결손에 비례함
닮음	쌍곡 삼각형은 서로 닮을 수 없음 (각이 같으면 합동)
종류	예각삼각형 직각삼각형 둔각삼각형
넓이
공식	K = π - (α + β + γ) 여기서 K는 넓이, α, β, γ는 각도를 라디안으로 나타낸 것임
특징	각의 합이 작을수록 넓이가 커짐
관련 개념
관련 개념	쌍곡기하학 삼각형 구면삼각형 쌍곡선

2. 정의

쌍곡삼각형은 서로 공선이 아닌 세 점과 그 점들을 연결하는 세 개의 선분으로 구성된다.^[1]

3. 성질

쌍곡삼각형은 유클리드 기하학의 삼각형과 유사하게 내접원을 가지지만, 모든 쌍곡삼각형이 외접원을 갖는 것은 아니다. 꼭짓점이 호로사이클 또는 하이퍼사이클 위에 놓일 수도 있다.

구면 기하학 또는 타원 기하학의 삼각형과 유사한 성질도 갖는다. 예를 들어, 각의 합이 같은 두 삼각형은 면적이 같으며, 삼각형의 면적과 내접원의 반지름에는 상한이 있다. 또한, 대응하는 각이 같은 두 삼각형은 합동이다. 즉, 모든 닮은 삼각형은 합동이다.

반면, 구면 또는 타원 기하학의 삼각형과 반대되는 성질도 있다. 쌍곡삼각형의 각의 합은 항상 180°보다 작으며, 삼각형의 면적은 각의 합이 180°에서 부족한 정도(각 결손)에 비례한다.

다른 기하학에서는 찾기 힘든 독특한 성질도 있다. 어떤 쌍곡삼각형은 꼭짓점 중 하나 이상이 이상점이거나 모든 꼭짓점이 호로사이클 또는 한쪽 하이퍼사이클 위에 놓여 외접원을 갖지 않는다. 또한, 모든 쌍곡삼각형은 '얇다'는 특징을 가지는데, 이는 δ-쌍곡 공간의 기초가 된다.

3. 1. 각의 합과 면적

쌍곡삼각형의 각의 합은 유클리드 기하학의 삼각형과 달리 항상 180°보다 작다. 이는 구면 기하학이나 타원 기하학의 삼각형과도 다른 성질이다.

쌍곡삼각형의 면적은 각의 합이 180°에서 부족한 정도, 즉 각 결손(180° - (α + β + γ))에 정비례한다. 따라서 각의 합이 같은 두 쌍곡삼각형은 항상 같은 면적을 갖는다. 또한, 쌍곡삼각형의 면적에는 상한이 존재한다.

3. 2. 내접원과 외접원

모든 쌍곡삼각형은 내접원을 가지지만, 모든 쌍곡삼각형이 외접원을 갖는 것은 아니다. 내접원의 반지름에는 상한이 있다.

일부 쌍곡삼각형은 외접원을 갖지 않는데, 이는 꼭짓점 중 적어도 하나가 이상점이거나, 모든 꼭짓점이 호로사이클 또는 한쪽 하이퍼사이클 위에 놓여 있을 때이다.

3. 3. 합동과 닮음

두 삼각형은 유한 개의 선 반사의 곱으로 대응될 때 합동이다. 또한, 대응하는 각이 같은 두 삼각형은 합동이다. 이는 모든 닮은 삼각형은 합동이라는 것을 의미한다.

3. 4. 얇은 삼각형

쌍곡삼각형은 얇다. 변 위의 한 점에서 다른 두 변까지의 최대 거리 δ가 있다. 이 원리는 δ-쌍곡 공간을 낳았다.

4. 이상점을 가진 삼각형

삼각형의 정의는 꼭짓점이 이상 경계에 있는 경우까지 일반화될 수 있으며, 이때 변은 평면 내에 유지된다. 만약 한 쌍의 변이 ''극한 평행''(즉, 그들 사이의 거리가 이상점으로 향할수록 0에 접근하지만 교차하지 않음)이라면, 그들은 '''이상 꼭짓점'''에서 만나게 되며, 이는 ''오메가 점''으로 표현된다.

이렇게 극한 평행한 한 쌍의 변은 0 각도를 형성한다고 말할 수 있다.

유클리드 기하학에서는 서로 다른 직선 위에 놓인 변을 가진 0 각도의 삼각형은 불가능하다. 하지만 접원의 경우에는 이러한 0 각도가 가능하다.

하나의 이상 꼭짓점을 가진 삼각형은 '''오메가 삼각형'''이라고 불린다. 이상 꼭짓점을 가진 특별한 삼각형들에 대해서는 하위 문서를 참고하라.

4. 1. 이상 꼭짓점

삼각형의 정의는 꼭짓점이 이상 경계에 있는 경우까지 일반화될 수 있으며, 이때 변은 평면 내에 유지된다. 만약 한 쌍의 변이 ''극한 평행''(즉, 그들 사이의 거리가 이상점으로 향할수록 0에 접근하지만 교차하지 않음)이라면, 그들은 '''이상 꼭짓점'''에서 만나게 되며, 이는 ''오메가 점''으로 표현된다.

이렇게 극한 평행한 한 쌍의 변은 0 각도를 형성한다고 말할 수 있다.

유클리드 기하학에서는 서로 다른 직선 위에 놓인 변을 가진 0 각도의 삼각형은 불가능하다. 하지만 접원의 경우에는 이러한 0 각도가 가능하다.

하나의 이상 꼭짓점을 가진 삼각형은 '''오메가 삼각형'''이라고 불린다.

4. 2. 오메가 삼각형

삼각형의 정의는 꼭짓점이 이상 경계에 위치하는 경우까지 확장될 수 있으며, 이때 변은 평면 내에 존재해야 한다. 만약 한 쌍의 변이 극한 평행(즉, 두 변 사이의 거리가 이상점으로 갈수록 0에 가까워지지만 서로 만나지 않음) 상태라면, 이 변들은 '''이상 꼭짓점'''에서 만나게 되는데, 이를 '''오메가 점'''이라고 한다.

이렇게 극한 평행한 두 변은 각도가 0인 각을 형성한다고 말할 수 있다.

유클리드 기하학에서는 서로 다른 직선 위에 있는 변들로 0 각도를 가진 삼각형을 만드는 것이 불가능하다. 하지만 접원의 경우에는 이러한 0 각도가 가능하다.

하나의 이상 꼭짓점을 가진 삼각형을 '''오메가 삼각형'''이라고 부른다.

4. 3. 특수한 이상 삼각형

쌍곡 기하학에서는 삼각형의 정의를 확장하여 꼭짓점이 이상점, 즉 무한히 먼 경계에 위치하는 경우도 다룰 수 있다. 만약 삼각형의 두 변이 극한 평행(두 변 사이의 거리가 이상점으로 갈수록 0에 가까워지지만 서로 만나지는 않는 상태)이라면, 이 두 변은 이상 꼭짓점 또는 오메가 점이라고 불리는 이상점에서 만난다고 정의한다.

이렇게 이상 꼭짓점에서 만나는 두 변이 이루는 각도는 0으로 간주된다. 이는 서로 다른 직선 위에 놓인 변을 가진 삼각형의 각도가 0이 될 수 없는 유클리드 기하학과는 다른 특징이다. (유클리드 기하학에서는 접하는 원의 경우에만 0 각도가 가능하다.)

하나의 꼭짓점만 이상점인 삼각형을 오메가 삼각형이라고 부른다.

이상 꼭짓점을 가지는 다양한 종류의 특수한 삼각형들이 존재한다.

4. 3. 1. 평행 삼각형

하나의 이상점을 꼭짓점으로 가지는 삼각형을 '''오메가 삼각형'''이라고 부른다.

오메가 삼각형의 특별한 경우로, 한 꼭짓점이 이상점이고 다른 한 각이 직각인 삼각형이 있다. 이 삼각형에서 세 번째 각의 크기는 직각인 꼭짓점과 세 번째 각의 꼭짓점을 잇는 변의 길이에 대한 평행각과 같다.

4. 3. 2. 슈바이카르트 삼각형

두 꼭짓점이 이상점이고 나머지 각이 직각인 삼각형은 페르디난트 카를 슈바이카르트가 1818년에 묘사한 최초의 쌍곡선 삼각형 중 하나이다.

4. 3. 3. 이상 삼각형

삼각형의 정의는 꼭짓점이 이상점, 즉 무한히 먼 경계에 위치하는 경우까지 확장될 수 있다. 만약 삼각형의 두 변이 극한 평행(두 변 사이의 거리가 이상점으로 갈수록 0에 가까워지지만 서로 만나지는 않는 상태)이라면, 이 두 변은 이상 꼭짓점 또는 오메가 점이라고 불리는 이상점에서 만난다고 정의한다. 이러한 이상 꼭짓점에서 형성되는 각도는 0도로 간주된다.

유클리드 기하학에서는 서로 다른 직선 위에 놓인 변을 가진 삼각형의 각도가 0이 될 수 없지만, 쌍곡 기하학에서는 가능하다.

세 꼭짓점 모두가 이상점인 특별한 삼각형을 이상 삼각형이라고 부른다. 이상 삼각형은 세 각의 크기의 합이 0이며, 이는 쌍곡 기하학에서 가능한 가장 큰 삼각형이다.

5. 표준화된 가우스 곡률

쌍곡삼각형의 각과 변 사이의 관계는 구면 삼각법의 관계와 유사하다. 예를 들어 구면 기하학과 쌍곡 기하학 모두의 길이 척도는 고정된 각을 가진 정삼각형의 한 변의 길이로 정의될 수 있다.

길이 척도는 절대 길이 (구면 기하학에서의 거리 관계와 유사한 특수한 길이 단위)로 길이를 측정할 때 가장 편리하다. 이 길이 척도를 선택하면 공식이 더 간단해진다.^[2]

푸앵카레 상반평면 모형의 관점에서 절대 길이는 미소 계량 $ds=\frac$

{\operatorname{Im}(z)}에 해당하며, 푸앵카레 원반 모형에서는

ds=\frac{2|dz|}{1-|z|^2}

에 해당한다.

쌍곡면의 (상수이며 음수인) 가우스 곡률 K의 관점에서 절대 길이의 단위는 다음 길이에 해당한다.

:

R=\frac{1}{\sqrt{-K}}

.

쌍곡 삼각형에서 각 ''A'', ''B'', ''C'' (각각 해당 문자로 표시된 변의 반대편)의 합은 평각보다 엄격하게 작다. 평각의 크기와 삼각형 각도의 합의 차이를 삼각형의 결손이라고 한다. 쌍곡 삼각형의 면적은 결손에 R의 제곱을 곱한 것과 같다.

:

(\pi-A-B-C) R^2

.

이 정리는 요한 하인리히 람베르트에 의해 처음 증명되었으며,^[3] 지라르의 정리와 구면 기하학에서 관련이 있다.

6. 삼각법

아래에 제시된 모든 공식에서 변 ''a'', ''b'', ''c''는 절대 길이로 측정되어야 하며, 이는 평면의 가우스 곡률 ''K''가 −1이 되도록 하는 단위이다. 즉, ''R''의 값은 1과 같아야 한다.

쌍곡삼각형에 대한 삼각 함수 공식은 쌍곡선 함수 sinh, cosh, tanh에 의존한다.

6. 1. 직각삼각형의 삼각법

만약 ''C''가 직각이라면 다음과 같은 관계가 성립한다:

각 ''A''의 '''사인'''은 각의 마주보는 변(''a'')의 '''쌍곡선 사인'''을 빗변(''c'')의 '''쌍곡선 사인'''으로 나눈 값과 같다.

\sin A = \frac{\sinh a}{\sinh c}

각 ''A''의 '''코사인'''은 각에 인접한 변(''b'')의 '''쌍곡선 탄젠트'''를 빗변(''c'')의 '''쌍곡선 탄젠트'''로 나눈 값과 같다.

\cos A = \frac{\tanh b}{\tanh c}

각 ''A''의 '''탄젠트'''는 마주보는 변(''a'')의 '''쌍곡선 탄젠트'''를 인접한 변(''b'')의 '''쌍곡선 사인'''으로 나눈 값과 같다.

\tan A = \frac{\tanh a}{\sinh b}

각 A에 인접한 변(''b'')의 '''쌍곡선 코사인'''은 각 ''B''의 '''코사인'''을 각 ''A''의 '''사인'''으로 나눈 값과 같다.

\cosh b = \frac{\cos B}{\sin A}

빗변(''c'')의 '''쌍곡선 코사인'''은 다른 두 변(''a'', ''b'')의 '''쌍곡선 코사인'''의 곱과 같다.

\cosh c = \cosh a \cosh b

빗변(''c'')의 '''쌍곡선 코사인'''은 또한 두 각(''A'', ''B'')의 '''코사인'''의 곱을 두 각의 '''사인'''의 곱으로 나눈 값과 같다.^[4] 즉, 두 각의 코탄젠트의 곱과 같다.

\cosh c = \frac{\cos A \cos B}{\sin A \sin B} = \cot A \cot B

6. 1. 1. 각 사이의 관계

다음과 같은 방정식도 성립한다:^[5]

:

\cos A = \cosh a \sin B

:

\sin A = \frac{\cos B}{\cosh b}

:

\tan A = \frac{\cot B}{\cosh c}

:

\cos B = \cosh b \sin A

:

\cosh c = \cot A \cot B

6. 1. 2. 넓이

직각쌍곡삼각형의 넓이는 다음과 같다.

:

\textrm{Area} = \frac{\pi}{2} - \angle A - \angle B

또는

:

\textrm{Area}= 2 \arctan (\tanh (\frac{a}{2})\tanh (\frac{b}{2}) )

^[6]

임의의 쌍곡삼각형의 넓이는 다음과 같다.

:

\textrm{Area} = {\pi} - \angle A - \angle B - \angle C

6. 1. 3. 평행각

오메가 삼각형에서 직각을 갖는 경우는 삼각형의 평행각을 살펴보는 데 유용한 구성을 제공한다.

이 경우 각도 ''B'' = 0이고, 변 ''a''와 ''c''는 무한대(

\infty

)가 된다. 쌍곡탄젠트 함수의 극한값

\textrm{tanh}(\infty )= 1

을 이용하면, 각도 ''A''와 인접변 ''b'' 사이에 다음과 같은 관계식이 성립한다:^[1]

\cos A = \textrm{tanh}(b)

6. 1. 4. 정삼각형

직각삼각형의 삼각법 공식을 이용하면, 변의 길이가 ''s''이고 모든 각의 크기가 ''A''인 정삼각형에서 변의 길이와 각 사이의 관계를 알 수 있다. (정삼각형은 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 삼각형이다.)

이 관계는 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다.

:

\cos A= \frac{\textrm{tanh}(\frac12 s) }{\textrm{tanh} (s)}

:

\cosh( \frac12 s)= \frac{\cos(\frac12 A)}{\sin( A)}= \frac{1}{2 \sin(\frac12 A)}

6. 2. 일반적인 삼각형의 삼각법

C가 직각이든 아니든, 다음 관계가 성립한다.

쌍곡 코사인 법칙은 다음과 같다.

:

\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b \cos C,

이의 쌍대 정리는

:

\cos C= -\cos A\cos B+\sin A\sin B \cosh c,

또한 '사인 법칙'이 존재한다.

:

\frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c},

그리고 네 부분 공식이 있다.

:

\cos C\cosh a=\sinh a\coth b-\sin C\cot B

이것은 구면 삼각법의 유사한 공식과 같은 방식으로 유도된다.

참조

_[1] 웹사이트 Hyperbolic geometry http://www.maths.gla[...] University of Glasgow
_[2] 서적 Visual Complex Analysis https://books.google[...] Oxford University Press
_[3] 서적 Foundations of Hyperbolic Manifolds https://books.google[...] Springer
_[4] 서적 The foundations of geometry and the non-Euclidean plane https://archive.org/[...] Springer 1998-01-01
_[5] 서적 Lobachevskian geometry Mir Publishers
_[6] 웹사이트 Area of a right angled hyperbolic triangle as function of side lengths https://math.stackex[...] 2015-10-11

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