이십면체

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1. 개요
2. 정 이십면체
- 2.1. 볼록 정 이십면체
- 2.2. 큰 이십면체
3. 별모양 이십면체
- 3.1. 주목할 만한 별모양
4. 사각뿔 정이십면체 대칭
5. 기타 이십면체
참조

1. 개요

이십면체는 30개의 모서리, 20개의 정삼각형 면, 12개의 꼭짓점을 가지는 다면체로, 볼록 정이십면체와 큰 이십면체 두 가지 형태가 있다. 볼록 정이십면체는 5개의 정 플라톤 다면체 중 하나이며, 큰 이십면체는 케플러-푸앵소 다면체 중 하나이다. 이 외에도 별모양 이십면체, 사각뿔 정이십면체 대칭을 갖는 다면체, 능면체 이십면체, 각기둥 및 쌍뿔, 존슨의 다면체 등 다양한 종류가 존재한다.

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이십면체
기본 정보
정이십면체
종류	델타다면체, 존슨 다면체 (J20)
성질
면	20개의 정삼각형
모서리	30개
꼭짓점	12개
면-정점	5
정점-면	5
카이랄성	비 카이랄
대칭군	Ih (order 120)
회전군	I (order 60)
쌍대다면체	정십이면체
특징	볼록, 면-추이적
슐레플리 기호	{3, 5}
위소프 기호	{5, 3}
콘웨이 다면체 표기법	A
면의 수	F = 20
모서리의 수	E = 30
꼭짓점의 수	V = 12
오일러 지표	χ = 2
공식
면적 (A)	5√3 a2
부피 (V)	(5/12)(3+√5) a3
반지름 (r)	a/2√(10+2√5) ≈ 0.418 a
외접구 반지름 (R)	a/4√(10+2√5) ≈ 0.809 a

2. 정 이십면체

정 이십면체는 20개의 정삼각형 면으로 이루어진 볼록 다면체로, 이십면체 대칭을 갖는다. 슐레플리 기호는 {3, 5}이며, 쌍대다면체는 정십이면체이다. 정 이십면체라고 불릴 수 있는 물체는 볼록한 형태 외에 비볼록한 형태인 '''큰 이십면체'''도 있다.

2. 1. 볼록 정 이십면체

볼록 정이십면체는 흔히 '''정이십면체'''라고 부르며, 플라톤 다면체 중 하나이다. 슐레플리 기호는 {3, 5}로, 20개의 삼각형 면으로 이루어져 있으며 각 꼭짓점 주위에 5개의 면이 모인다.

쌍대 다면체는 정십이면체 {5, 3}이며, 각 꼭짓점 주위에 세 개의 정오각형 면을 갖는다.

2. 2. 큰 이십면체

큰 이십면체는 케플러-푸앵소 다면체 중 하나이며, 슐레플리 기호는 {3, 5/2}이다. 정삼각형 면을 가지지만, 꼭짓점 도형이 별 오각형이므로 면이 서로 교차한다.

3. 별모양 이십면체

별모양은 다면체의 면이나 모서리를 연장하여 새로운 다면체를 만드는 과정이다. 콕세터(Coxeter) 등은 그의 저서 ''59개의 이십면체''에서 정이십면체의 별모양 59개를 열거했다.

3. 1. 주목할 만한 별모양

별모양은 다면체의 면이나 모서리를 연장하여 새로운 다면체를 형성하도록 하는 과정이다. 이 과정은 대칭적으로 수행되어 결과 도형이 원래 도형의 전체 대칭성을 유지한다.

콕세터(Coxeter) 등은 저서 ''59개의 이십면체''에서 정이십면체의 이러한 별모양 59개를 열거했다. 이 중 다수는 각 20개 면 평면에 하나의 면을 가지고 있으며, 따라서 이십면체이기도 하다. 큰 이십면체가 그 중 하나이다. 다른 별모양은 각 평면에 둘 이상의 면을 갖거나 더 간단한 다면체의 화합물을 형성한다. 이것들은 엄밀히 말하면 이십면체는 아니지만, 종종 그렇게 불린다.

{| class="wikitable"

|-

! 이십면체의 주목할 만한 별모양

|-

|

정	균일 쌍대			정 화합물			정 스타	기타
--	--	--		--	--	--	--	--	--

|-

| 이십면체에 대한 별모양 과정은 다면체 및 화합물과 관련된 여러 개의 이십면체 대칭을 만든다.

|}

4. 사각뿔 정이십면체 대칭

정이십면체는 사각뿔 정이십면체 대칭(T_h)으로 왜곡될 수 있으며, '스너브 팔면체', '스너브 사각사면체' 등으로 불린다.^[1]^[3]^[2] 이는 교대된 잘린 팔면체로 볼 수 있다. 정사면체 대칭(T_d)은 20개의 삼각형 면에서 기하학적 왜곡을 허용한다.

콕세터 다이어그램	(사각뿔 정이십면체)
슐래플리 기호	s{3,4}
면	20개의 삼각형:
모서리	30개 (짧은 변 6개 + 긴 변 24개)
꼭짓점	12개
대칭군	T_h, [3⁺,4], (3*2), 차수 24
회전군	T_d, [3,3]⁺, (332), 차수 12
쌍대다면체	사각뿔 정이십면체
속성	볼록
전개도

정 이십면체는 사각뿔 정이십면체 대칭에서 6개의 정사각형 면이 대각선으로 이등분된 깎은 정육면체와 위상적으로 동일하며, 깎은 정육면체와 정이십면체 사이의 운동학적 변환이 존재한다.

사각뿔 정이십면체 대칭은 (3*2), [3⁺,4] 기호를 가지며, 차수는 24이다. 정사면체 대칭은 (332), [3,3]⁺ 기호를 가지며, 차수는 12이다.

4. 1. 데카르트 좌표계

정 이십면체의 12개 꼭짓점 데카르트 좌표계는 (2, 1, 0) 형태의 좌표 순환 순열 및 부호 반전으로 정의된 벡터로 정의할 수 있다. 이 좌표는 교대된 꼭짓점이 삭제된 잘린 팔면체를 나타낸다.^[3]

이 구조는 정이십면체 형태에서 ''스너브 사면체''라고 불리며, 여기서 ''ϕ''는 황금비인 벡터 (''ϕ'', 1, 0)에서 시작하여 동일한 연산을 수행하여 생성된다.^[3]

4. 2. 예센의 이십면체

예센의 이십면체(때로는 "예센의 직교 이십면체"라고도 함)는 12개의 이등변삼각형 면이 직각 이각을 갖도록 배열되어 비볼록 다면체이다.

이것은 큐브와 가위 합동인데, 이는 큐브를 작은 다면체 조각으로 잘라 재배열하여 큐브를 만들 수 있다는 것을 의미한다.

4. 3. 깎은 정육면체

정규 이십면체는 피리토헤드럴 대칭성을 가진, 대각선으로 6개의 정사각형 면이 이등분된 깎은 정육면체와 위상적으로 동일하다. 피리토헤드럴 대칭성을 가진 이십면체는 깎은 정육면체, 정규 이십면체, 예센의 이십면체, 그리고 이중 덮개 정팔면체를 포함하는 무한한 다면체 집합을 구성한다. 이 집합의 구성원 간에는 순환 운동 변환이 존재한다.

정팔면체, 유사이십면체, 깎은 정육면체 사이의 진행. 깎은 정육면체는 모서리(면은 제외)가 굳어 있어도 이런 식으로 구부러질 수 있다.

5. 기타 이십면체

주름잡힌 이십면체는 20개의 합동 마름모로 이루어진 존노에드로이다. 마름모 삼십면체에서 10개의 중간 면을 제거하여 만들 수 있다.

이 외에도 피라미드, 각기둥, 반각기둥, 쌍뿔, 사다리꼴 다면체 등 다양한 이십면체가 존재한다.^[4]

5. 1. 능면체 이십면체

주름잡힌 이십면체는 20개의 합동 마름모로 이루어진 존노에드로이다. 10개의 중간 면을 제거하여 마름모 삼십면체에서 파생될 수 있다. 모든 면이 합동이지만, 주름잡힌 이십면체는 면-추이적이지 않다.

5. 2. 각기둥 및 쌍뿔

피라미드: 밑면 1개와 측면 19개로 총 20개의 면을 가진다.
각기둥: 밑면 2개와 측면 18개로 총 20개의 면을 가진 18면 각기둥이다.
반각기둥: 9개 면 2세트와 양쪽 끝 2개를 더해 총 20개의 면을 가진다.
쌍뿔: 10개 면 2세트로 총 20개의 면을 가진다.
사다리꼴 다면체: 10개 면 2세트로 총 20개의 면을 가진다.

5. 3. 존슨의 다면체

몇몇 존슨의 다면체는 이십면체이다.^[4]

J22	J35	J36	J59	J60	J92
돌출된 삼각 돔 회전체	돌출된 삼각 직이중컵	돌출된 삼각 회전이중컵	평행 이중 증강 십이면체	메타 이중 증강 십이면체	삼각 둔구 회전체

16개의 삼각형 3개의 정사각형 1개의 육각형	8개의 삼각형 12개의 정사각형	8개의 삼각형 12개의 정사각형	10개의 삼각형 10개의 오각형	10개의 삼각형 10개의 오각형	13개의 삼각형 3개의 정사각형 3개의 오각형 1개의 육각형

참조

_[1] 논문 Symmetry of the Pyritohedron and Lattices 2016-12-01
_[2] 서적 Connections: The Geometric Bridge Between Art and Science https://books.google[...] World Scientific
_[3] 웹사이트 Fool's Gold http://math.ucr.edu/[...] 2011-09-11
_[4] 웹사이트 Icosahedron http://mathworld.wol[...]

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