일반점

3. 성질

콜모고로프 공간의 경우, 일반점은 (만약 존재한다면) 유일하다.

두 개 이상의 점을 갖는 하우스도르프 공간은 일반점을 가질 수 없다.

하나 이상의 일반점을 갖는 공간은 항상 기약 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

모든 정역 스킴integral scheme^영어은 유일한 일반점을 갖는다. 정역의 스펙트럼의 경우, 이 일반점은 영 아이디얼에 대응한다. 위상 공간 ''X''의 일반점은 폐포가 ''X'' 전체인 점, 즉 ''X''에서 조밀한 점이다.^[1]

이 용어는 대수적 집합의 부분 다양체 집합에 대한 자리스키 위상의 경우에서 유래한다. 대수적 집합이 기약적일 때(즉, 두 개의 진부분 대수적 부분 집합의 합집합이 아닐 때) 그리고 오직 그럴 때만 부분 다양체의 위상 공간은 일반점을 갖는다.

4. 예시

• 하우스도르프 공간에서 일반점을 갖는 유일한 공간은 단일 집합이다.
• 모든 정수 스킴은 (고유한) 일반점을 갖는다. 아핀 정수 스킴(즉, 정역의 소 스펙트럼)의 경우, 일반점은 소 아이디얼 (0)과 연관된 점이다.

5. 역사

앙드레 베유는 그의 저서 ''대수기하학의 기초''에서 일반점 개념을 다루었지만, 그의 접근 방식은 독특했다. 체 ''K'' 위의 대수적 다양체 ''V''에 대해, 베유는 ''V''의 ''일반점''을 ''K''뿐만 아니라 무한히 많은 미지수를 포함하는 대수적으로 닫힌 체인 보편 영역 Ω의 값을 갖는 모든 점의 집합으로 정의했다. 이러한 접근 방식은 ''V''의 위상(즉, ''K''-자리스키 위상)을 직접 다루지 않고도 작동했는데, 이는 특수화가 모두 체 수준에서 논의될 수 있었기 때문이다 (1930년대에 유행했던 평가 이론적 접근 방식과 유사하다).

하지만 이 방식은 일반적인 점들이 지나치게 많다는 단점이 있었다. 제2차 세계 대전 직후 상파울루에서 베유의 동료였던 오스카 자리스키는 일반점이 유일해야 한다고 주장했다. (이는 위상수학적으로 표현하면, 베유의 방식은 콜모고로프 공간을 만들지 못하고, 자리스키는 콜모고로프 몫의 관점에서 생각한 것이다.)

1950년대의 급격한 기초 이론 변화로 인해 베유의 접근 방식은 구식이 되었다. 그러나 1957년부터 시작된 스킴 이론에서 일반점은 다시 ''자리스키식''으로 돌아왔다. 예를 들어, ''R''이 이산 값 매달린 환일 때, ''Spec''(''R'')은 두 개의 점, 즉 (0)의 소 아이디얼에서 유래하는 일반점과 유일한 극대 아이디얼에서 나오는 '''닫힌 점''' (또는 '''특수 점''')으로 구성된다. ''Spec''(''R'')으로의 사상에서 특수 점 위의 올은 '''특수 올'''이라고 불리며, 이는 p를 법으로 한 축소, 모노드로미 이론, 퇴화 이론 등에서 중요한 개념이다. '''일반 올'''은 마찬가지로 일반점 위의 올을 의미한다. 퇴화 기하학은 주로 일반 올에서 특수 올로의 이동, 즉 매개변수의 특수화가 문제에 미치는 영향을 다룬다. (이산 값 매달린 환의 경우, 관련된 위상 공간은 위상수학에서 말하는 시에르핀스키 공간이다. 다른 국소 환들은 고유한 일반점과 특수 점을 가지지만, 일반적인 차원을 나타내기 때문에 더 복잡한 스펙트럼을 갖는다. 이산 값 매달린 환의 경우는 이러한 목적에서 복소수 단위 원판과 매우 유사하다.)

6. 퇴화 기하학에서의 응용

앙드레 베유는 그의 저서 ''대수기하학의 기초''에서 일반점을 중요하게 다루었지만, 다른 접근 방식을 사용했다. 체 ''K'' 위의 대수적 다양체 ''V''에 대해, ''V''의 ''일반점''은 ''K''뿐만 아니라 무한한 양의 새로운 미지수를 포함하는 대수적으로 닫힌 체인 보편 영역 Ω의 값을 갖는 점들의 집합이었다. 이 방식은 ''V''의 위상(즉, ''K''-자리스키 위상)을 직접 다루지 않고도 작동했는데, 이는 특수화가 모두 체 수준에서 논의될 수 있었기 때문이다(1930년대에 유행했던 평가 이론적 접근 방식과 유사하다).

하지만 이 방식은 일반점이 매우 많다는 단점이 있었다. 제2차 세계 대전 직후 상파울루에서 베유의 동료였던 오스카 자리스키는 일반점이 유일해야 한다고 주장했다. (이는 위상수학 용어로 다시 표현할 수 있는데, 베일의 아이디어는 콜모고로프 공간을 제공하지 못하고, 자리스키는 콜모고로프 몫의 관점에서 생각했다.)

1950년대의 기초 변화 속에서 베일의 접근 방식은 구식이 되었다. 그러나 1957년부터의 스킴 이론에서 일반점은 다시 ''자리스키식''으로 돌아왔다. 예를 들어, ''R''이 이산 값 매달린 환인 경우, ''Spec''(''R'')은 두 점, 즉 (0)의 소 아이디얼에서 나오는 일반점과 고유한 극대 아이디얼에서 나오는 '''닫힌 점''' 또는 '''특수 점'''으로 구성된다. ''Spec''(''R'')로의 사상에 대해, 특수 점 위의 올은 '''특수 올'''이며, 이는 p를 법으로 한 축소, 모노드로미 이론 및 퇴화에 관한 다른 이론에서 중요한 개념이다. '''일반 올'''은 일반점 위의 올이다. 퇴화 기하학은 대체로 일반 올에서 특수 올로의 이동, 즉 매개변수의 특수화가 문제에 어떻게 영향을 미치는지에 관한 것이다. (이산 값 매달린 환의 경우 문제의 위상 공간은 위상수학자들의 시에르핀스키 공간이다. 다른 국소 환은 고유한 일반점과 특수 점을 갖지만, 일반적인 차원을 나타내므로 더 복잡한 스펙트럼을 갖는다. 이산 값 매달린 환의 경우는 이러한 목적을 위해 복소수 단위 원판과 매우 유사하다.)