시에르핀스키 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 특수화 전순서
3. 성질
4. 연속 함수와 시에르핀스키 공간
5. 대수기하학에서의 응용
- 5.1. 이산 값매김환의 스펙트럼
참조

1. 개요

시에르핀스키 공간은 두 점 {0, 1}에 위상 {∅, {1}, {0, 1}}을 부여하여 만들어지는 위상 공간이다. 이 공간은 콜모고로프 공간이지만 T1 공간은 아니며, 콤팩트 공간이자 제2 가산 공간이다. 시에르핀스키 공간은 닫힌 점 0과 열린 점 1을 가지며, 연속 함수, 특성 함수, 범주론, 대수기하학 등 다양한 수학 분야에서 활용된다. 특히, 이산 값매김환의 스펙트럼으로 나타나며, 열린 점과 닫힌 점은 각각 일반점과 특수점에 대응된다.

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위상 공간은 집합과 그 위에 정의된 위상 구조로 이루어진 수학적 공간으로, 열린집합, 닫힌집합, 근방 등의 개념을 통해 점들의 상대적인 위치 관계를 형식화하며, 해석학, 기하학, 대수학 등 다양한 분야에서 사용된다.
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시에르핀스키 공간
기본 정보
유형	위상 공간
속성	T0 공간 T4 공간 R0 공간 R1 공간 콜모고로프 공간 알렉산드로프 공간 스콧 영역
정의
정의	시에르핀스키 공간은 두 개의 점, 0과 1을 갖는 위상 공간이며, 열린 집합은 공집합, {1}, {0, 1}이다.
특성
일반적 특성	시에르핀스키 공간은 유한하므로 제1 가산 공간이며, 따라서 순차 공간이다. 시에르핀스키 공간은 콤팩트하고 연결되어 있지만, 하우스도르프 공간이 아니다. 1은 {1}이 열려 있으므로 열린 점이고, 0은 {0}이 닫혀 있으므로 닫힌 점이다. 상수 함수가 아닌 시에르핀스키 공간으로의 모든 연속 함수 f는 1을 포함하는 연결 성분에 상수이다.
분리 공리	시에르핀스키 공간은 T0 공간이자 T4 공간이다. T0 공간이므로 R0 공간이기도 하다.
스콧 영역	시에르핀스키 공간은 스콧 영역이다. 스콧 영역은 스콧 연속 함수를 정의할 수 있는 위상 공간이다.
활용
활용	시에르핀스키 공간은 위상수학에서 다양한 용도로 사용된다. 예를 들어, 점 x를 포함하는 집합 A의 지시 함수는 x에서 1이고 그렇지 않으면 0인 A에서 시에르핀스키 공간 {0, 1}으로의 함수이다. 이 함수는 A가 열린 경우에만 연속적이다. 시에르핀스키 공간은 전산학에서 스콧-지속 함수의 이론에서 값의 도메인을 나타내는 데 사용된다.

2. 정의

'''시에르핀스키 공간'''은 두 개의 점을 갖는 집합 S|S^영어={0,1} 위에 위상을 부여한 것으로, 그 위상은 다음과 같다.

: $\mathcal T=\{\varnothing,\{1\},\{0,1\}\}$

이 집합 S|S^영어와 위상 $\mathcal T$ 의 쌍 $(S,\mathcal T)$ 는 위상 공간을 이룬다.

2. 1. 기본 정의

집합 {0, 1}과 열린 집합 {}, {1}, {0, 1}로 구성된 위상 공간이다. 닫힌 집합은 {}, {0}, {0, 1}이다. 단일 집합 {0}은 닫혀 있고 집합 {1}은 열려 있다. 여기서 $\varnothing = \{ \, \}$은 공집합이다.

폐포 연산자는 다음으로 결정된다.

:\overline{\{0\}} = \{0\}, \qquad \overline{\{1\}} = \{0,1\}.

특수화 전순서에 의해서도 고유하게 결정된다. 시에르핀스키 공간의 경우 이 전순서는 실제로 부분 순서이며 다음으로 주어진다.

:0 \leq 0, \qquad 0 \leq 1, \qquad 1 \leq 1.

2. 2. 특수화 전순서

유한 위상 공간은 특수화 전순서에 의해서도 고유하게 결정된다. 시에르핀스키 공간의 경우 이 전순서는 실제로 부분 순서이며 다음과 같이 주어진다.

: 0 ≤ 0, 0 ≤ 1, 1 ≤ 1

3. 성질

시에르핀스키 공간은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

콜모고로프 공간이지만, T1 공간은 아니다.
정칙 공간이 아니며, 따라서 거리화 가능 공간이 아니다.
완비 정규 공간이지만, 완전 정규 공간은 아니다.
경로 연결 공간이며, 따라서 연결 공간이다.
기본군을 비롯한 모든 호모토피 군이 자명군이다.
이산 값매김환의 스펙트럼과 위상동형이다. 이 경우, 닫힌 점 0은 유일한 극대 아이디얼에, 일반점 1은 영 아이디얼에 대응한다.
자기 자신으로 가는 연속 함수는 항등 함수와 0과 1로 가는 상수 함수뿐이다.
따라서 시에르핀스키 공간의 위상 동형 사상군은 자명군이다.

시에르핀스키 공간은 유한 특정점 위상(특정점 1)과 유한 제외점 위상(제외점 0)의 특별한 경우이므로, 이 두 종류의 위상 중 하나 또는 둘 모두와 많은 성질을 공유한다.

3. 1. 분리 공리

콜모고로프 공간이지만, T1 공간은 아니다.
정규 (또는 완전 정규 공간)가 아니지만, 진리 공허적으로 정규이고 완전 정규이다.
점 0과 1은 ''S''|시에르핀스키 공간^영어에서 위상적으로 구별 가능하다. 따라서 ''S''는 콜모고로프(T₀) 공간이다.
''S''는 점 1이 닫혀 있지 않으므로 T₁이 아니다. 따라서 ''S''는 하우스도르프 공간이거나, n|n^영어 ≥ 1에 대한 T_''n''이 아니다.
''S''는 점 1과 서로소인 닫힌 집합 이 근방으로 분리될 수 없으므로 정규 (또는 완전 정규)가 아니다. (또한 T₀가 존재할 경우 정규성은 하우스도르프임을 의미한다.)
''S''는 서로소인 닫힌 집합 ∅|∅^한국어과 이 함수에 의해 정확하게 분리될 수 없으므로 완전 정규가 아니다. 실제로, 모든 그러한 함수가 상수 함수이므로, 은 임의의 연속 함수 S|S^영어 → ℜ|ℜ^영어의 영집합이 될 수 없다.

3. 2. 연결성

시에르핀스키 공간은 비어있지 않은 모든 열린 집합이 1을 포함하므로 과연결 공간이며, 비어있지 않은 모든 닫힌 집합이 0을 포함하므로 초연결 공간이다.
따라서 시에르핀스키 공간은 연결 공간이자 경로 연결 공간이다.
시에르핀스키 공간에서 0에서 1로 가는 경로는 함수 $f(0) = 0$ 및 $t > 0$ 에 대해 $f(t) = 1$ 로 주어진다. 함수 $f : I \to S$ 는 $f^{-1}(1) = (0, 1]$ 이 ''I''에서 열려 있으므로 연속이다.
모든 유한 위상 공간과 마찬가지로 시에르핀스키 공간은 국소 경로 연결 공간이다.

3. 3. 콤팩트성

T₀ 공간의 콤팩트 부분 집합이 닫혀 있을 필요는 없음을 보여주는 예시이다. 시에르핀스키 공간 ''S''의 콤팩트 부분 집합 {1}은 닫혀 있지 않다.^[4]

모든 유한 위상 공간과 마찬가지로 시에르핀스키 공간은 콤팩트 공간이면서 제2 가산 공간이다. ''S''는 0의 유일한 열린 근방이므로, ''S''의 모든 열린 덮개는 ''S'' 자체를 포함해야 한다. 따라서 ''S''의 모든 열린 덮개는 단일 집합 {''S''}.으로 구성된 열린 부분 덮개를 갖는다.

따라서 ''S''는 완전 정규 공간이다.^[4]

3. 4. 수렴성

S^영어 내의 모든 수열은 점 0으로 수렴한다. 이는 0의 유일한 근방이 S^영어 자체이기 때문이다. S^영어 내의 수열이 1로 수렴하는 것은 그 수열이 0과 같은 항을 유한 개만 포함할 경우에 한한다(즉, 수열이 결국 1만 포함하는 경우). 점 1은 S^영어 내의 수열의 점열인데, 이는 수열이 무한히 많은 1을 포함할 경우에 한한다.

'''예시'''
*(0,0,0,0,…)의 점열은 1이 아니다.
*(0,1,0,1,0,1,…)의 점열은 1이지만, 극한은 아니다.
*수열 (1,1,1,1,…)은 0과 1 모두에 수렴한다.

3. 5. 거리화 가능성

시에르핀스키 공간 ''S''는 모든 유사 거리 공간이 완전 정규 공간이지만 정규 공간조차 아니므로 거리화 가능하거나 유사 거리화 가능하지 않다. ''S''는 반 거리 (또는 유사-준 거리)

d(0, 1) = 0

및

d(1,0) = 1

에 의해 생성된다.

3. 6. 호모토피

기본군을 비롯한 모든 호모토피 군은 자명군이다.

3. 7. 기타 성질

콜모고로프 공간이다.
T1 공간이 아니다.
정칙 공간이 아니다. (따라서 거리화 가능 공간이 아니다.)
완비 정규 공간이다.
완전 정규 공간이 아니다.
경로 연결 공간이다. (따라서 연결 공간이다.)
기본군을 비롯한 모든 호모토피 군이 자명군이다.
이산 값매김환의 스펙트럼과 위상동형이다. 이 경우, 닫힌 점 0은 유일한 극대 아이디얼에, 일반점 1은 영 아이디얼에 대응한다.
자기 자신으로 가는, ''S''에서 정의된 연속 함수는 항등 함수와 0과 1로 가는 상수 함수뿐이다.
따라서 ''S''의 위상 동형 사상군은 자명군이다.

4. 연속 함수와 시에르핀스키 공간

위상 공간 ''X''에서 시에르핀스키 공간으로 가는 연속 함수는 ''X''의 열린 집합과 일대일 대응 관계를 갖는다. 이러한 관계는 특성 함수를 통해 구체적으로 나타나며, 범주론적으로도 설명할 수 있다.^[5]^[6] 또한, 시에르핀스키 공간으로 가는 연속 함수들의 집합은 주어진 위상 공간에 초기 위상을 유도하며, 이 초기 위상은 공간을 T₀ 공간으로 만드는 성질을 갖는다.

4. 1. 특성 함수와의 관계

임의의 집합 ''X''에서 집합

\{0, 1\}

로 가는 모든 함수들의 집합은 일반적으로

2^X

로 표기한다. 이러한 함수들은 정확히 ''X''의 특성 함수이다. 각 함수는 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

\chi_U(x) = \begin{cases}1 & x \in U \\ 0 & x \not\in U\end{cases}

여기서 ''U''는 ''X''의 부분 집합이다. 다시 말해, 함수들의 집합

2^X

는 ''X''의 멱집합인

P(X)

와 전단사 관계에 있다. ''X''의 모든 부분 집합 ''U''는 그 특성 함수

\chi_U

를 가지며, ''X''에서

\{0, 1\}

로 가는 모든 함수는 이러한 형태를 갖는다.

이제 ''X''가 위상 공간이고,

\{0, 1\}

이 시에르핀스키 위상을 갖는다고 가정하자. 그러면 함수

\chi_U : X \to S

는

\chi_U^{-1}(1)

이 ''X''에서 열려 있을 때와, 그리고 그 때만 연속이다. 그러나 정의에 따르면

:

\chi_U^{-1}(1) = U.

따라서

\chi_U

는 ''U''가 ''X''에서 열려 있을 때와, 그리고 그 때만 연속이다.

C(X, S)

를 ''X''에서 ''S''로 가는 모든 연속 사상의 집합으로 하고,

T(X)

를 ''X''의 위상(즉, 모든 열린 집합의 집합)으로 하자. 그러면 열린 집합

U

를

\chi_U

로 보내는

T(X)

에서

C(X, S)

로의 전단사 함수가 존재한다.

:

C(X, S) \cong \mathcal{T}(X)

즉,

2^X

를

P(X)

와 동일시하면 연속 사상의 부분 집합

C(X, S) \subseteq 2^X

는 정확히

X

의 위상

T(X) \subseteq P(X)

이다.

이의 특히 주목할 만한 예는 부분 순서 집합에 대한 스코트 위상이며, 여기서 시에르핀스키 공간은 특성 함수가 방향족 결합을 보존할 때 열린 집합에 대한 분류 공간이 된다.^[5]

4. 2. 범주론적 설명

위의 구성은 범주론의 언어를 사용하여 깔끔하게 설명할 수 있다. 위상 공간의 범주에서 집합의 범주로 가는 반변 공변자

T : \mathbf{Top} \to \mathbf{Set}

가 있는데, 이 공변자는 각 위상 공간

X

에 그 열린 집합의 집합

T(X)

를 할당하고, 각 연속 함수

f : X \to Y

에 역상 맵

f^{-1} : \mathcal{T}(Y) \to \mathcal{T}(X).

를 할당한다.

이 진술은 다음과 같이 바뀐다: 공변자

T

는

(S, \{1\})

에 의해 표현 가능 공변자로 표현되며, 여기서

S

는 시에르핀스키 공간이다. 즉,

T

는 자연 동형이며, 자연 동형은 보편 원소

\{1\} \in T(S)

에 의해 결정되는 Hom 함자

\operatorname{Hom}(-, S)

와 같다. 이것은 층의 개념으로 일반화된다.^[6]

4. 3. 초기 위상

임의의 위상 공간 ''X''는 시에르핀스키 공간으로 가는 연속 함수들의 집합에 의해 유도된 초기 위상을 갖는다. ''X''의 위상을 더 조밀하게 만들기 위해 열린 집합을 제거하면, 그 집합의 특성 함수는 불연속이 된다. 따라서 ''X''는 이 함수들이 연속이 되도록 하는 가장 조밀한 위상을 갖는다.

함수들의 집합이 ''X''에서 점을 분리하는 것은 ''X''가 T₀ 공간일 때뿐이다. 두 점

x

와

y

가 있을 때, 어떤 열린 집합 ''U''가 정확히 두 점 중 하나만 포함하는 경우에만 그 집합의 특성 함수에 의해 두 점이 분리된다. 이는

x

와

y

가 위상적으로 구별 가능하다는 것과 같다.

따라서 ''X''가 T₀ 공간이면, ''X''를 시에르핀스키 공간들의 곱 공간의 부분 공간으로 매장할 수 있다. 이때 각 열린 집합 ''U''에 대해 하나의 시에르핀스키 공간 사본이 대응된다. 매장 사상은 다음과 같이 주어진다.

:

e(x)_U = \chi_U(x)

T₀ 공간의 부분 공간과 곱은 T₀ 공간이므로, 어떤 위상 공간이 T₀ 공간인 것은 이 위상 공간이 시에르핀스키 공간의 거듭제곱의 부분 공간과 동형인 경우뿐이다.

5. 대수기하학에서의 응용

대수기하학에서 시에르핀스키 공간은 이산 값매김환의 스펙트럼과 위상동형이다.

5. 1. 이산 값매김환의 스펙트럼

대수기하학에서 시에르핀스키 공간은 이산 값매김환

R

의 스펙트럼

\operatorname{Spec}(R)

으로 나타난다. 여기서

\Z_{(p)}

는 소수 아이디얼에 의해 생성된 소수

p

에서의 정수의 국소화이다. 영 아이디얼에서 유래하는

\operatorname{Spec}(R)

의 일반점은 열린 점 1에 해당하며, 유일한 극대 아이디얼에서 유래하는

\operatorname{Spec}(R)

의 특수점은 닫힌 점 0에 해당한다.

참조

_[1] 문서 # Assuming nlab refers to a document or entry on nLab Sierpinski space https://ncatlab.org/[...]
_[2] 논문 #가정 Mathematical Structures for Semantics https://web.archive.[...]
_[3] 서적 Synthetic topology of data types and classical spaces Elsevier
_[4] 문서 # 해당 유형을 정확히 알 수 없으므로 일반적인 문서로 설정 Steen and Seebach incorrectly list the Sierpiński space as not being fully normal (or fully T4 in their terminology).
_[5] 문서 # Assuming nlab refers to a document or entry on nLab Scott topology https://ncatlab.org/[...]
_[6] 서적 Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory Springer-Verlag Universitext

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