정각도법
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1. 개요
정각도법은 지도 투영법의 한 종류로, 작은 도형의 각도를 실제 지형과 동일하게 유지하는 특징을 가진다. 이를 통해 지도상에서 도형의 모양을 비교적 정확하게 표현하며, 좁은 범위 내에서는 길이의 비율도 보존된다. 정각 도법은 메르카토르 도법, 람베르트 정각 원뿔 도법 등이 있으며, 지도 제작 시 축척의 왜곡을 최소화하고 각도 정보를 정확하게 표현하는 데 활용된다. 대한민국에서는 지형도, 해도, 일기도 등 다양한 분야에서 사용되며, UTM 좌표계와 같은 국가 기본 좌표계에도 적용된다.
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2. 정각성 (Properties)
지도 투영법에서 정각성이란, 작은 도형의 각도가 원래 도형과 같은 각도로 지도에 표시되는 것을 의미한다. 따라서 작은 도형은 지구상의 실제 모양과 지도에 투영된 모양이 거의 닮음이 된다. 좁은 범위에서는 등각사상으로 근사할 수 있으며, 티소의 지시 타원으로 보면 올바른 원으로 표시된다.[1]
정각도법은 지도상의 모든 점에서 정각성이 성립하는 투영법이다. 작은 도형은 지구상의 도형과 올바른 형태로 표현되며, 길이의 비율도 보존된다. 하지만 이는 “작은 도형”에 한정되며, 큰 도형에서는 왜곡이 발생할 수 있다. 정각도법에서 작은 도형은 그 이미지와 유사하지만, 축척은 위치에 따라 달라지며, 이는 왜곡의 원인이 된다. 지구 표면 전체를 그릴 때 축척이 무한대가 되는 점이 나타나기도 한다.
정각도법에서는 각도가 정확하게 유지되므로, 위선과 자오선은 지도에서 직교한다. 하지만 경선과 위선이 직교한다고 해서 모두 정각도법인 것은 아니다.
2. 1. 국소적 정각성
투영법을 정의하는 중심점이나 표준선 근방에서만 정각이 되는 지도 투영법도 많다(몰바이데 투영법에서는 중앙 경선상의 북위 및 남위 40도 44분의 2점 주변). 그러나 투영법의 중심에서 벗어나면 형태가 왜곡될 수 있다.[4]
3. 정각 도법의 특징
지도상의 모든 점에서 정각성(正角性)이 성립하는 투영법이다. 즉, 지도상 어떤 점에서든 작은 도형이라면 지구상의 도형이 올바른 형태로 표현된다. 작은 도형 내에서는 길이의 비율도 보존된다. 티소의 지시 타원으로 보면, 모두 올바른 원으로 표시된다.[1]
하지만, 이는 “작은 도형”에 한정되며, 큰 도형에서도 올바른 형태로 투영된다고는 보장할 수 없다. 구면에서는 “세 각이 모두 90도인 정삼각형”도 존재할 수 있는데, 이를 평면 지도에 “정확하게” 그리는 것은 불가능하다. 정각도법으로 이 삼각형을 그리면, 세 각은 모두 90도이지만 변이 곡선이 되거나, 무한원점을 포함하는 형태가 된다. 적도 역시 “북극 주위의 원” 또는 “지구 둘레를 따르는 직선”으로 볼 수 있지만, 한 장의 지도에서 이 둘을 동시에 표현하는 것은 불가능하다.
정각도법에서는 작은 도형의 닮음비가 모든 점에서 유지되지만, 축척은 각 점에서 달라진다. 지도상의 위치에 따른 축척의 차이가 정각도법에서 “왜곡”을 일으킨다. 티소의 지시 타원으로 보면, 정각도법에서는 모두 올바른 원이 되지만, 원의 크기는 위치에 따라 달라진다. 지구 표면 전체를 그릴 경우, 축척이 무한대가 되는 점이 나타나기도 한다.
정각도법에서는 각도가 정확하게 유지되므로, 경선과 위선이 직교한다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 적도를 표준 위선으로 하는 원통도법은 경선 방향의 축척과 위선 방향의 축척이 다른 경우가 있으며, 이 경우에도 경선과 위선은 직교하지만, 다른 각도는 유지되지 않는다.
오일러와 가우스에 의하면, 정각 지도 투영은 등면적일 수 없으며, 등면적 지도 투영은 정각적일 수 없다.[1]
4. 정각 도법의 예
- 메르카토르 도법 (정각 원통도법)
- 정규 메르카토르 도법 (모든 등각 항로가 지도 상에서 직선으로 표시됨)
- 횡단 메르카토르 도법
- 가우스-크뤼거 좌표계 (이 도법은 타원체의 중앙 자오선에서 길이를 보존함)
- 사선 메르카토르 도법
- 우주 사선 메르카토르 도법 (거의 정각성을 유지하면서 지구 자전을 고려한 위성 궤도를 위한 사선 메르카토르 도법의 수정된 도법)
- 람베르트 정각 원뿔 도법
- 사선 정각 원뿔 도법 (이 도법은 때때로 아메리카 대륙이나 일본 열도와 같이 길쭉한 지역에 사용됨)
- 평사도법 (정각 방위도법, 대원과 소원이 원 또는 직선으로 표시됨)
- GS50 도법 (이 도법은 복소수에 대한 다항식으로 조정된 입체투영으로 만들어짐)
- 리트로 도법 (정각 역방위도법)
- 라그랑주 도법 (다원추 도법이며, 람베르트 정각 원뿔 도법과 뫼비우스 변환의 합성)
- 오귀스트 외접사이클로이드 도법 (원 안의 구의 라그랑주 도법과 3차 복소수 다항식의 합성)
- 아이젠롤 도법 (특정 조건에서 전구의 축척 변화 최소화)
- 타원 함수의 응용
- 피어스 퀸컨셜 도법 (이 도법은 네 개의 특이점을 제외하고 지구를 정각적으로 정사각형으로 투영함)
- 사면체에 대한 리 정각 투영
- 지형도 등 정확도가 요구되는 경우, 회전타원체에서 구면으로의 등각 사상 후, 구면에서 평면으로의 정각도법 적용 (가우스 정각 이중 투영)
5. 정각 도법의 이용
정각 도법은 지도상의 모든 점에서 작은 도형의 형태와 길이 비율이 유지되는 성질을 가지고 있어, 중축척이나 대축척 지도에 주로 사용된다.
정각 도법이 아니더라도 도법 중심 부근의 좁은 범위에서는 거의 정확한 형태로 그릴 수 있다. 컴퓨터 발달 이전에는 계산이 비교적 간단한 비정각 도법(횡축 정거 원통 도법 등)을 사용하기도 했으나, 이러한 지도를 여러 장 이어 붙이면 지구의 둥근 모양이 복원되어 평평한 하나의 지도가 되지 않는다. 따라서 여러 지도를 편집하거나, 경계를 중심으로 새 지도를 만들거나, 중심에서 벗어난 부분을 확대할 때는 다시 투영해야 한다.
인터넷 상의 끊김 없는(seamless) 지도는 사실상 하나의 거대한 메르카토르 도법이지만, 그 일부를 확대하여 사용함으로써 정각성을 유지하고 연속적인 스크롤을 가능하게 한다. 어떤 지점을 중심으로 가져와도 정각인 지도가 되지만, 멀리 떨어진 두 지점 간의 길이와 면적을 비교할 때는 주의해야 한다.
유니버설 횡단 메르카토르 도법이나 일본의 일본의 평면직각좌표계는 축척 변화와 시ームレス성(끊김 없는)의 균형을 이룬 도법이라고 할 수 있다.[5]
5. 1. 소축척에서의 이용
해도나 항공도처럼 진행 방향의 각도가 중요한 분야에서는 정각도법을 사용한다. 일기도의 기압처럼 분포뿐 아니라 기울기와 그 방향도 고려해야 하는 경우에도 정각도법을 사용한다.세계지도 수준에서는 장소에 따른 축척의 차이가 크고, 무한대가 되는 점도 있어 다른 도법이 사용되는 경우도 많다. 하지만 동반구와 서반구로 나눈 평사도법, 북극·남극에 발산점을 둔 메르카토르 도법 등 정각도법으로 만든 세계지도도 역사적으로 많다.[1]
비교적 넓은 범위를 정각도법으로 그리면 축척의 변화가 커져 길이와 면적을 단순히 비교하기 어려워진다. 하지만 경위도선이 있으면 "자오선호 길이 1도 = 약 111km"를 참고하는 등 비교할 수 있다. 정각이 아닌 경우에는 같은 지점에 있는 같은 길이라도 방향에 따라 지도상의 길이가 변하므로 이러한 비교는 할 수 없다.[2]
적도 기준의 메르카토르 도법이나 극중심의 평사도법은 동위도에서 동축척이 되므로, 위도별 축척이 표시되어 있는 경우도 많다. 사축 정각 원추도법 등 축척 계수의 변화 방식이 알기 어려운 도법에서는 축척 계수를 나타낸 보충도를 넣는 경우도 있다.[3]
참조
[1]
논문
1778
[2]
논문
In the Quest for Scale-optimal Mappings
https://dl.acm.org/d[...]
2024-02-29
[3]
웹사이트
Miller Oblated Stereographic Projection
https://www.jasondav[...]
[4]
문서
ここでいう「形の歪み」とは、平行四辺形状に傾けたり、縦だけ引き延ばしたような歪み方である。全ての方向に均等に拡大したり回転しただけのものは相似であり、「形の歪み」には含まれない。
[5]
간행물
Systèmes de projections
http://www.ign.fr/si[...]
Institut Geographique National
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