맨위로가기

정규 함수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

정규 함수는 순서수를 다루는 함수로, 순증가 함수이면서 순서 위상에 대해 연속 함수인 자기 함수를 의미한다. 정규 함수는 임의로 큰 고정점을 가지며, 이를 통해 도함수와 베블런 위계와 같은 개념을 정의할 수 있다. 오즈월드 베블런이 1908년 정규 함수 개념과 베블런 고정점 정리를 도입했다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 집합론 - 퍼지 집합
    퍼지 집합은 각 원소가 0과 1 사이의 소속도를 가지며, 소속 함수를 통해 정의되고, 여집합, 합집합, 교집합 등의 연산을 수행하며, 퍼지 논리, 퍼지 수, 엔트로피 등의 개념과 L-퍼지 집합, 직관적 퍼지 집합 등으로 확장된다.
  • 집합론 - 무한 집합
    무한 집합은 유한 집합이 아니며, 자연수보다 큰 크기를 가지고 자신의 진부분집합과 일대일 대응을 가지며, 가산 무한 집합과 비가산 무한 집합으로 나뉜다.
정규 함수

2. 정의

집합론적 문제를 피하기 위하여, 비가산 도달 불가능한 기수 \kappa를 고르자. (만약 모임 이론을 사용한다면 \kappa=\operatorname{Ord}로 놓을 수 있다. 여기서 \operatorname{Ord}는 모든 순서수들의 모임이다.)

2. 1. 정규 함수의 조건

자기 함수

:f\colon\kappa\to\kappa

가 다음 조건을 만족시키면 '''정규 함수'''라고 한다.

  • 순증가 함수이다. 즉, 임의의 두 순서수 \alpha<\beta<\kappa에 대하여, f(\alpha)이다.
  • 순서 위상에 대하여 연속 함수이다. 즉, 극한 순서수 \alpha<\kappa에 대하여, f(\alpha)=\textstyle\sup_{\beta<\alpha}f(\beta)이다.

3. 성질

정규 함수는 몇 가지 중요한 성질을 가진다. 기본적으로 정규 함수 f는 순서수 \alpha에 대해 항상 f(\alpha) \ge \alpha를 만족하며,[1] 상한에 대해 연속적인 성질, 즉 비어 있지 않은 순서수 집합 S에 대해 f(\sup S) = \sup f(S)를 만족한다.

또한, 모든 정규 함수는 정규 함수의 고정점 보조정리에 따라 임의로 큰 고정점을 가지며, 이를 이용하여 정규 함수의 '''도함수'''를 정의할 수 있다.[2] 이러한 도함수 개념은 베블렌 함수와 같은 더 복잡한 함수 계층을 구성하는 데 사용된다.

자세한 내용은 아래 하위 섹션에서 다룬다.

3. 1. 기본 성질

정규 함수는 다음 기본 성질들을 만족시킨다.

  • 임의의 순서수 ''α''에 대해, ''f''(''α'') ≥ ''α''이다.[1]
  • 임의의 비어 있지 않은 순서수 집합 ''S''에 대해, ''f''(sup ''S'') = sup ''f''(''S'')가 성립한다. 여기서 sup ''S''는 집합 ''S''의 상한이며, sup ''f''(''S'')는 { ''f''(''s'') | ''s'' ∈ ''S'' }의 상한을 의미한다. 이 성질은 정규 함수가 극한 순서수에서 연속적임을 보여준다.

3. 2. 도함수와 베블런 고정점 정리

'''베블런 고정점 정리'''(Veblen fixed-point theorem영어)에 따르면, 정규 함수 f의 고정점들의 모임의 상한은 \kappa이다. 모든 정규 함수 f는 임의의 순서수 \alpha에 대해 f(\alpha) \ge \alpha를 만족하며,[1] 정규 함수의 고정점 보조정리에 따라 임의로 큰 고정점을 가진다. 또한, 비어 있지 않은 순서수 집합 S에 대해 f(\sup S) = \sup f(S)가 성립한다.

이 정리에 따라, 정규 함수 f의 '''도함수'''(derivative영어) f'\colon\kappa\to\kappa를 정의할 수 있다. 여기서 f'(\alpha)는 f의 \alpha번째 고정점을 나타낸다. 정규 함수의 도함수 역시 정규 함수라는 중요한 성질을 갖는다.[2]

도함수가 다시 정규 함수이므로, 이 과정을 반복하여 모든 유한 순서수 n에 대해 n계 도함수 f^{(n)}을 정의할 수 있다 (f^{(n+1)} = (f^{(n)})'). 더 나아가, 극한 순서수 \alpha에 대해서도, 그보다 작은 차수의 모든 도함수들의 공통 고정점들의 집합

:\bigcap_{\beta<\alpha}\left\{\gamma<\kappa\colon f^{(\beta)}(\gamma)=\gamma\right\}

은 \kappa와 순서 동형이다. 따라서 이 집합의 원소들을 순서대로 열거하여 f^{(\alpha)}(\gamma)를 공통 고정점 집합의 \gamma번째 원소로 정의할 수 있다.

이렇게 모든 초한 순서수 \alpha에 대해 도함수 f^{(\alpha)}를 정의할 수 있으며, 이 초한 함수열 (f^{(\alpha)})_{\alpha \in \mathrm{Ord}}을 f의 '''베블런 위계'''(Veblen hierarchy영어)라고 부른다.

특히, 순서수 \delta에 대하여 정규 함수 \alpha \mapsto \delta^\alpha에 대한 베블런 위계를 '''\delta진 베블런 위계'''(base-\delta Veblen hierarchy영어)라고 한다. 만약 특별히 함수를 명시하지 않고 "베블런 위계"라고 하면, 보통 \alpha \mapsto \omega^\alpha 함수의 베블런 위계를 의미한다. 정규 함수의 계층 구조에 대한 더 자세한 내용은 베블렌 함수 문서에서 다룬다.

4. 예

다음과 같은 함수들은 정규 함수이다.


  • 임의의 순서수 \beta에 대하여, 함수 f(\alpha) = \beta + \alpha는 정규 함수이다. 예를 들어 f(\alpha) = 1 + \alpha는 가장 간단한 정규 함수 중 하나이다(서수 산술 참조). 하지만 함수 f(\alpha) = \alpha + 1은 극한 서수에서 연속적이지 않으므로 정규 함수가 아니다.
  • 임의의 순서수 \beta \ge 1에 대하여, 함수 f(\alpha) = \beta \cdot \alpha는 정규 함수이다.
  • 임의의 순서수 \beta \ge 2에 대하여, 함수 f(\alpha) = \beta^\alpha는 정규 함수이다.
  • 알레프 수 함수 f(\alpha) = \aleph_\alpha는 정규 함수이다.
  • 베트 수 함수 f(\alpha) = \beth_\alpha는 정규 함수이다.


알레프 수 함수와 베트 수 함수는 서수와 기수를 연결하는 중요한 예시이다. 이 두 함수가 정규 함수인 이유는 도달 불가능한 기수가 이 함수들의 고정점이기 때문이다.[3][4]

5. 역사

정규 함수의 개념과 베블런 고정점 정리는 오즈월드 베블런이 1908년에 도입하였다.[5] 베블런은 정규 함수를 "연속 증가 함수"(continuous increasing functioneng)라고 불렀다.[5]

참조

[1] 서적
[2] 서적
[3] 서적 The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings Springer-Verlag 2003
[4] 서적 Introduction to cardinal arithmetic https://archive.org/[...]
[5] 논문 Continuous increasing functions of finite and transfinite ordinals 1908-07


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com