순서 위상

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. Topology and ordinals
- 5.1. Ordinals as topological spaces
- 5.2. Ordinal-indexed sequences
참조

1. 개요

순서 위상은 원순서 집합으로부터 유도되는 위상으로, 열린 반직선들의 교집합을 기저로 갖는다. 하위상, 상위상, 하극한 위상, 상극한 위상 등 다양한 변형이 존재하며, 전순서 집합의 부분 집합에 유도된 순서 위상과 부분 공간 위상을 비교할 수 있다. 순서 위상을 갖는 전순서 집합은 완비 정규 하우스도르프 공간이며, 유한 전순서 집합의 순서 위상은 이산 위상이 된다. 또한, 순서 위상은 선형 연속체, 완비 격자, 파라콤팩트 공간과 같은 위상적 성질을 결정하는 데 사용되며, 순서수에도 부여되어 위상 공간을 형성한다.

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순서 위상
정의
한국어 명칭	순서 위상
영어 명칭	Order topology
설명	임의의 순서 집합에 정의되는 위상수학적 위상
관련 개념
상위 개념	위상 공간
하위 개념	구간
관련 성질	하우스도르프 공간
정의
정의 방법	순서 집합의 열린 구간들을 기저로 생성
열린 구간	(a, b) = {x ∈ X \| a < x < b} (a, b ∈ X)
열린 반직선	(-∞, a) = {x ∈ X \| x < a} (a ∈ X) (a, ∞) = {x ∈ X \| a < x} (a ∈ X)
전체 집합	(-∞, ∞) = X
성질
하우스도르프 성질	순서 위상을 갖는 모든 순서 집합은 하우스도르프 공간임
분리공리	순서 위상을 갖는 모든 순서 집합은 완전 정규 공간임
예시
실수 집합	표준적인 순서 위상은 일반적인 유클리드 위상과 동일
자연수 집합	이산 위상과 동일
참고 문헌
참고 문헌	I. L. Lynn, Linearly orderable spaces, Proceedings of the American Mathematical Society 13(3):454–456, 1962

2. 정의

원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 이 주어졌다고 할 때, 이로부터 유도되는 동치 관계는 다음과 같다.

: $x\sim y\iff x\lesssim y\lesssim x$

이에 대한 동치류는 다음과 같이 나타낸다.

: $[x]_\sim=\{y\in X\colon x\sim y\}$

$X$ 위의 '''열린 반직선'''(open ray^영어)은 다음과 같이 표기한다.

: $\mathop\uparrow a\setminus[a]_\sim=\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a=\{b\in X\colon a\lesssim b\not\lesssim a\}$

: $\mathop\downarrow a\setminus[a]_\sim=\mathop\downarrow a\setminus\mathop\uparrow a=\{b\in X\colon b\lesssim a\not\lesssim b\}$

여기서 $\mathop\uparrow$ 는 상폐포이며, $\mathop\downarrow$ 는 하폐포이다.

2. 1. 순서 위상

원순서 집합

(X,\lesssim)

이 주어졌다고 하자. 여기서 유도되는 동치 관계는 다음과 같이 표기한다.

:

x\sim y\iff x\lesssim y\lesssim x

이에 대한 동치류는 다음과 같다.

:

[x]_\sim=\{y\in X\colon x\sim y\}

X

위의 '''열린 반직선'''(open ray^영어)은 다음과 같이 표기한다.

:

\mathop\uparrow a\setminus[a]_\sim=\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a=\{b\in X\colon a\lesssim b\not\lesssim a\}

:

\mathop\downarrow a\setminus[a]_\sim=\mathop\downarrow a\setminus\mathop\uparrow a=\{b\in X\colon b\lesssim a\not\lesssim b\}

여기서

\mathop\uparrow

는 상폐포이며,

\mathop\downarrow

는 하폐포이다.

X

위에, 다음 집합족을 부분 기저로 갖는 위상을 '''순서 위상'''이라고 한다.

:

\{\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a\}_{a\in X}\cup\{\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b\}_{b\in X}

즉,

X

의 기저는 다음과 같은 꼴이다.

:

(\mathop\uparrow a_1\setminus\mathop\downarrow a_1)\cap\cdots\cap(\mathop\uparrow a_m\setminus\mathop\downarrow a_m)\cap(\mathop\downarrow b_1\setminus\mathop\uparrow b_1)\cap\cdots\cap(\mathop\downarrow b_n\setminus\mathop\uparrow b_n)\qquad(m,n\in\mathbb N,\;a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_n\in X)

(여기서, 0개의 부분 집합들의 교집합은

X

전체이다.)

만약

X

가 격자라면,

X

의 순서 위상의 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\{(\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a)\cap(\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b)\}_{a,b\in X}\cup\{\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a\}_{a\in X}\cup\{\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b\}_{b\in X}\cup\{X\}

다음과 같이 구간 표기법을 사용한다.

:

(a,\infty)=\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a

:

(-\infty,b)=\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b

:

(a,b)=(a,\infty)\cap(-\infty,b)

:

(-\infty,\infty)=X

:

(\infty,b)=(a,-\infty)=(\infty,-\infty)=\varnothing

이를 적용하면, 다음과 같다.

:

\{(a,b)\}_{a,b\in X\sqcup\{\pm\infty\}}

만약

X

가 유계 격자라면,

X

의 순서 위상의 한 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\{(a,b)\}_{a,b\in X}

2. 2. 하위상과 상위상

(X, \lesssim)

위의 '''하위상'''(lower topology^영어) 또는 '''좌위상'''(left topology^영어)은

\{X\setminus\mathop\uparrow b\}_{a\in X}

를 부분 기저로 갖는 위상이다. 만약

X

가 전순서 집합이라면, 이 부분 기저의 원소는 열린 반직선

X\setminus\mathop\uparrow b=\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b=(-\infty,b)

들이다.

마찬가지로,

(X, \lesssim)

위의 '''상위상'''(upper topology^영어) 또는 '''우위상'''(right topology^영어)은

\{X\setminus\mathop\downarrow a\}_{a\in X}

를 부분 기저로 갖는 위상이다. 만약

X

가 전순서 집합이라면,

X\setminus\mathop\downarrow a=\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a=(a,\infty)

이다.

2. 3. 하극한 위상과 상극한 위상

하극한 위상(lower limit topology^영어) 또는 하 조르겐프라이 위상(lower Sorgenfrey topology^영어)은 다음 부분 기저로 생성된다.

:

이를 구간 표기법으로 쓰면 다음과 같다.

:

만약

X

가 격자이거나,

X

의 반대 순서 집합이 나무라면, 위 부분 기저는

X

의 하극한 위상의 기저를 이룬다. 만약

X

가 격자이며, 최대 원소를 가지지 않는다면, 다음 집합족 역시

X

의 하극한 위상의 기저를 이룬다.

:

마찬가지로,

(X,\lesssim)

위의 상극한 위상(upper limit topology^영어) 또는 상 조르겐프라이 위상(upper Sorgenfrey topology^영어)은 다음 부분 기저를 갖는다.

:

즉,

:

만약

X

가 격자이거나 나무라면, 이는 상극한 위상의 기저를 이룬다. 만약

X

가 최소 원소를 갖지 않는 격자라면, 상극한 위상은 다음과 같은 기저를 갖는다.

:

3. 성질

순서 위상을 준 전순서 집합은 항상 완비 정규 하우스도르프 공간이며,^[4] 완비 가산 파라콤팩트 공간이며, 완비 직교 콤팩트 공간이다.^[3]

유한 전순서 집합 위의 순서 위상은 이산 위상이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[4]

선형 연속체이다.
순서 위상을 가했을 때, 연결 공간이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[4]

완비 격자이다.
순서 위상을 가했을 때, 콤팩트 공간이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[5]

순서 위상을 가했을 때, 파라콤팩트 공간이다.
순서 위상을 가했을 때, 메타콤팩트 공간이다.

4. 예

유한 집합 $\{a,b\}$ 의 멱집합 위에 정의된 순서 위상을 살펴보자. 이 경우, 열린집합은 다음과 같이 7개이다.

\left\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}

\left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}

\left\{\{a\},\{b\},\varnothing\right\}

\left\{\{a\},\{b\}\right\}

\left\{\{a,b\}\right\}

\{\varnothing\}

\varnothing

$\{a,b\}$ 의 멱집합 위의 상위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.

\left\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}

\left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}

\left\{\{a,b\}\right\}

\varnothing

$\{a,b\}$ 의 멱집합 위의 하위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.

\left\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}

\left\{\varnothing,\{a\},\{b\}\right\}

\left\{\varnothing\right\}

\varnothing

집합 X 위의 동치 관계는 (자명한) 원순서를 이룬다. 이 경우, 이에 대한 순서 위상, 상위상, 하위상은 모두 비이산 위상이다.

실수체 $ \mathbb R $, 유리수체 $ \mathbb Q $, 정수환 $ \mathbb Z $와 자연수 집합 $ \mathbb N $ 위의 표준적 위상은 순서 위상이다. (단, $ \mathbb Z $와 $ \mathbb N $의 경우 이는 이산 위상이다.)

초실수체 $ {}^*\mathbb R $에도 순서 위상을 줄 수 있다. 이 경우 $ {}^*\mathbb R $는 완전 분리 공간이 된다.

실수체 $ \mathbb R $ 위에 하극한 위상을 부여하여 만든 위상 공간을 '''조르겐프라이 직선'''(Sorgenfrey line|조르겐프라이 직선^영어)이라고 한다. 조르겐프라이 직선은 다음 성질들을 만족시킨다.

완전 정규 하우스도르프 공간이며, 린델뢰프 공간이다. (따라서, 파라콤팩트 공간이다.)
분해 가능 공간이며, 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다. (따라서, 거리화 가능 공간이 아니다.)
완전 분리 공간이다.

두 조르겐프라이 직선의 곱공간은 '''조르겐프라이 평면'''(Sorgenfrey plane|조르겐프라이 평면^영어)이라고 한다. 이는 정규 공간이 아니며, 파라콤팩트 공간이 아니고, 린델뢰프 공간이 아니다.

다음과 같은 몇 가지 순서 위상 변형이 존재한다.

''X'' 상의 '''오른쪽 순서 위상'''은 $ (a,\infty)=\{x\in X\mid x>a\} $ 형태의 모든 구간과 집합 ''X''를 기저로 갖는 위상이다.
''X'' 상의 '''왼쪽 순서 위상'''은 $ (-\infty,a)=\{x\in X\mid x

왼쪽 및 오른쪽 순서 위상은 일반 위상수학에서 반례를 제시하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 유계 집합에 대한 왼쪽 또는 오른쪽 순서 위상은 하우스도르프 공간이 아닌 콤팩트 공간의 한 예시를 제공한다.

왼쪽 순서 위상은 많은 집합론적 목적을 위해 불 대수에서 사용되는 표준 위상이다.

순서수 α는 정렬 집합이므로, 여기에 순서 위상을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다. 이 경우, α의 극한점은 α보다 작은 극한 순서수이다.

순서 위상을 주었을 때, 모든 순서수는 완전 분리 공간이다. 최초의 비가산 순서수 ω₁은 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이 아니고, 완전 정규 공간도 아니다. ω₁+1은 제1 가산 공간·제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이지만, 완전 정규 공간은 아니다. ω₁+1은 ω의 스톤-체흐 콤팩트화이자 알렉산드로프 콤팩트화이다.

임의의 순서수 ''λ''에 대해, 다음과 같은 순서수 공간을 고려할 수 있다.

[0,λ) = {α | α < λ}
[0,λ] = {α | α ≤ λ}

자연 순서 위상과 함께 이러한 공간을 '''순서 공간'''이라고 한다. ''λ''가 무한 순서수인 경우가 주로 흥미로운데, 유한 순서수의 경우 순서 위상은 단순히 이산 위상이기 때문이다.

''λ'' = ω (최초의 무한 순서수)일 때, 공간 [0,ω)는 일반적인 위상을 가진 '''N'''이고, [0,ω]는 '''N'''의 일점 컴팩트화이다.

''λ'' = ω₁ (모든 가산 순서수의 집합이자 최초의 비가산 순서수)인 경우는 특히 흥미롭다. 원소 ω₁은 [0,ω₁)의 극한점이지만, [0,ω₁)의 원소로 구성된 어떤 수열도 ω₁을 극한으로 갖지 않는다. 특히, [0,ω₁]은 제1 가산 공간이 아니다. 그러나 부분 공간 [0,ω₁)는 제1 가산 공간인데, 가산 국소 기저가 없는 [0,ω₁]의 유일한 점은 ω₁이기 때문이다.

[0,ω₁) 또는 [0,ω₁]은 분리 가능 공간이나 제2 가산 공간이 아니다. [0,ω₁]은 컴팩트 공간인 반면, [0,ω₁)은 수열 컴팩트 공간이자 가산 컴팩트 공간이지만, 컴팩트 공간이나 파라콤팩트 공간은 아니다.

전순서 집합

(X,\le)

의 부분 집합

Y\subseteq X

위에는 두 가지 위상을 생각할 수 있다.

#

(X,\le)

위에 순서 위상을 주었을 때,

Y

위의 부분 공간 위상

#

(Y,\le\restriction Y)

위의 순서 위상

전자는 후자보다 더 섬세한 위상이지만, 일반적으로 일치하지는 않는다. 예를 들어 실수의 순서체

\mathbb R

의 부분 집합

(0,1)\cup[2,3)

에서,

[2,3)

는 전자의 위상에 대하여 열린집합이지만, 후자의 위상에 대한 열린집합이 아니다.^[1]

만약

Y

가 순서 볼록 집합이라면, 이 두 위상은 서로 일치한다.^[1]

Y

가 전순서 집합인

X

의 부분 집합이라면,

Y

는

X

로부터 전순서를 상속받는다. 따라서 집합

Y

는 순서 위상을 가지며, 이를 '''유도된 순서 위상'''이라고 한다.

X

의 부분 집합인

Y

는 또한 부분 공간 위상을 갖는다. 부분 공간 위상은 항상 유도된 순서 위상보다 세밀하며, 일반적으로 같지는 않다.^[2]

예를 들어, 유리수 집합의 부분 집합인 ''Y'' = {−1} ∪ {1/''n'' }_{''n''∈'''N'''}를 고려해 보자. 부분 공간 위상에서 단일 집합 {−1}은 ''Y''에서 열려 있지만, 유도된 순서 위상에서는 −1을 포함하는 모든 열린 집합이 공간의 유한 개를 제외한 모든 원소를 포함해야 한다.^[2]

''Y'' = {−1} ∪ {1/''n''}_{''n''∈'''N'''}의 부분 공간 위상은 ''Y''에 유도된 순서에 의해 생성되지 않지만, ''Y''에 대한 순서 위상이다. 부분 공간 위상에서 모든 점은 고립되어 있으므로(즉, 모든 ''y'' ∈ ''Y''에 대해 단일 집합 {''y''}는 ''Y''에서 열려 있음), 부분 공간 위상은 ''Y''에 대한 이산 위상(''Y''의 모든 부분 집합이 열려 있는 위상)이며, 임의의 집합에 대한 이산 위상은 순서 위상이다. ''Y''에 이산 위상을 생성하는 전순서를 정의하기 위해, −1을 ''Y''의 가장 큰 원소로 정의하고 다른 점에 대해서는 동일한 순서를 유지하여 ''Y''에 유도된 순서를 수정한다. 이 새로운 순서(예를 들어 ₁)에서 모든 ''n'' ∈ '''N'''에 대해 1/''n'' ₁ −1을 갖는다. 그러면 ₁에 의해 생성된 ''Y''에 대한 순서 위상에서 ''Y''의 모든 점은 ''Y''에서 고립되어 있다.^[2]

어떤 전순서도 ''Z''에 대한 부분 공간 위상을 생성하지 않도록 선형 순서 위상 공간 ''X''의 부분 집합 ''Z''를 정의할 수 있다. 즉, 위상이 순서 위상인 공간의 부분 공간 위상임에도 불구하고 부분 공간 위상은 순서 위상이 아닌 경우가 존재한다.^[2]

실수선에서

Z = \{-1\} \cup (0,1)

로 두자. ''Z''에 대한 부분 공간 위상이 ''Z''에 유도된 순서 위상과 같지 않음을 보일 수 있고, ''Z''에 대한 부분 공간 위상이 ''Z''에 대한 어떤 순서 위상과도 같을 수 없음을 보일 수 있다.^[2]

어떤 엄격한 전순서 <이 ''Z''에 존재하여 <에 의해 생성된 순서 위상이 ''Z''에 대한 부분 공간 위상과 같다고 가정하자(여기서는 <가 ''Z''에 유도된 순서라고 가정하지 않고, 부분 공간 위상을 생성하는 임의의 전순서를 가정한다).^[2]

''M'' = ''Z'' \ {−1} = (0,1)로 두면, ''M''은 연결 공간이므로 <에 관하여 자기 자신에 대해 조밀하고 틈이 없다. 만약 −1이 ''Z''의 가장 작은 원소도 가장 큰 원소도 아니라면,

(-\infty,-1)

과

(-1,\infty)

는 ''M''을 분리하며, 이는 모순이다. 일반성을 잃지 않고, −1이 ''Z''의 가장 작은 원소라고 가정한다. {−1}은 ''Z''에서 열려 있으므로, 구간 (−1,''p'')가 공집합이 되도록 ''M''에 어떤 점 ''p''가 존재한다. 따라서 ''p''는 ''M''의 최소값이다. 그러면 ''M'' \ {''p''} = (0,''p'') ∪ (''p'',1)은 실수선에서 상속된 부분 공간 위상에 대해 연결되어 있지 않다. 반면에, ''Z''의 순서 위상에서 상속된 ''M'' \ {''p''}의 부분 공간 위상은 <에 의해 유도된 ''M'' \ {''p''}의 순서 위상과 일치하며, ''M'' \ {''p''}에 틈이 없고 조밀하므로 연결되어 있다. 이것은 모순이다.^[2]

4. 1. 유한 집합

finite set|유한 집합^영어

\{a,b\}

의 멱집합 위에 정의된 순서 위상을 생각해 보자. 이 경우, 열린집합은 다음과 같이 7개이다.

\left\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}

\left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}

\left\{\{a\},\{b\},\varnothing\right\}

\left\{\{a\},\{b\}\right\}

\left\{\{a,b\}\right\}

\{\varnothing\}

\varnothing

$\{a,b\}$ 의 멱집합 위의 상위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.

\left\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}

\left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}

\left\{\{a,b\}\right\}

\varnothing

$\{a,b\}$ 의 멱집합 위의 하위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.

\left\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}

\left\{\varnothing,\{a\},\{b\}\right\}

\left\{\varnothing\right\}

\varnothing

4. 2. 자명한 순서

집합 X 위의 동치 관계는 (자명한) 원순서를 이룬다. 이 경우, 이에 대한 순서 위상 · 상위상 · 하위상은 모두 비이산 위상이다.

4. 3. 순서체

실수체 $ \mathbb R $, 유리수체 $ \mathbb Q $, 정수환 $ \mathbb Z $와 자연수 집합 $ \mathbb N $ 위의 표준적 위상은 순서 위상이다. ($ \mathbb Z $와 $ \mathbb N $의 경우 이는 이산 위상이다.)

초실수체 $ {}^*\mathbb R $에도 순서 위상을 줄 수 있다. 이 경우 $ {}^*\mathbb R $는 완전 분리 공간이 된다.

실수체 $ \mathbb R $ 위에 하극한 위상을 부여하여 만든 위상 공간을 '''조르겐프라이 직선'''(Sorgenfrey line^영어)이라고 한다. 조르겐프라이 직선은 다음 성질들을 만족시킨다.

완전 정규 하우스도르프 공간이며, 린델뢰프 공간이다. (따라서, 파라콤팩트 공간이다.)
분해 가능 공간이며, 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다. (따라서, 거리화 가능 공간이 아니다.)
완전 분리 공간이다.

두 조르겐프라이 직선의 곱공간은 '''조르겐프라이 평면'''(Sorgenfrey plane^영어)이라고 한다. 이는 정규 공간이 아니며, 파라콤팩트 공간이 아니고, 린델뢰프 공간이 아니다.

다음과 같은 몇 가지 순서 위상 변형이 존재한다.^[2]

''X'' 상의 '''오른쪽 순서 위상'''은 $ (a,\infty)=\{x\in X\mid x>a\} $ 형태의 모든 구간과 집합 ''X''를 기저로 갖는 위상이다.
''X'' 상의 '''왼쪽 순서 위상'''은 $ (-\infty,a)=\{x\in X\mid x

왼쪽 및 오른쪽 순서 위상은 일반 위상수학에서 반례를 제시하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 유계 집합에 대한 왼쪽 또는 오른쪽 순서 위상은 하우스도르프 공간이 아닌 콤팩트 공간의 한 예시를 제공한다.

왼쪽 순서 위상은 많은 집합론적 목적을 위해 불 대수에서 사용되는 표준 위상이다.

4. 4. 순서수의 위상

순서수 α는 정렬 집합이므로, 여기에 순서 위상을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다. 이 경우, α의 극한점은 α보다 작은 극한 순서수이다.

순서 위상을 주었을 때, 모든 순서수는 완전 분리 공간이다. 최초의 비가산 순서수 ω₁은 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이 아니고, 완전 정규 공간도 아니다. ω₁+1은 제1 가산 공간·제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이지만, 완전 정규 공간은 아니다. ω₁+1은 ω의 스톤-체흐 콤팩트화이자 알렉산드로프 콤팩트화이다.

임의의 순서수 ''λ''에 대해, 다음과 같은 순서수 공간을 고려할 수 있다.

[0,λ) = {α | α < λ}
[0,λ] = {α | α ≤ λ}

자연 순서 위상과 함께 이러한 공간을 '''순서 공간'''이라고 한다. ''λ''가 무한 순서수인 경우가 주로 흥미로운데, 유한 순서수의 경우 순서 위상은 단순히 이산 위상이기 때문이다.

''λ'' = ω (최초의 무한 순서수)일 때, 공간 [0,ω)는 일반적인 위상을 가진 '''N'''이고, [0,ω]는 '''N'''의 일점 컴팩트화이다.

''λ'' = ω₁ (모든 가산 순서수의 집합이자 최초의 비가산 순서수)인 경우는 특히 흥미롭다. 원소 ω₁은 [0,ω₁)의 극한점이지만, [0,ω₁)의 원소로 구성된 어떤 수열도 ω₁을 극한으로 갖지 않는다. 특히, [0,ω₁]은 제1 가산 공간이 아니다. 그러나 부분 공간 [0,ω₁)는 제1 가산 공간인데, 가산 국소 기저가 없는 [0,ω₁]의 유일한 점은 ω₁이기 때문이다.

[0,ω₁) 또는 [0,ω₁]은 분리 가능 공간이나 제2 가산 공간이 아니다. [0,ω₁]은 컴팩트 공간인 반면, [0,ω₁)은 수열 컴팩트 공간이자 가산 컴팩트 공간이지만, 컴팩트 공간이나 파라콤팩트 공간은 아니다.

4. 5. 전순서 집합의 부분 집합

전순서 집합

(X,\le)

의 부분 집합

Y\subseteq X

위에는 두 가지 위상을 생각할 수 있다.

#

(X,\le)

위에 순서 위상을 주었을 때,

Y

위의 부분 공간 위상

#

(Y,\le\restriction Y)

위의 순서 위상

전자는 후자보다 더 섬세한 위상이지만, 일반적으로 일치하지는 않는다. 예를 들어 실수의 순서체

\mathbb R

의 부분 집합

(0,1)\cup[2,3)

에서,

[2,3)

는 전자의 위상에 대하여 열린집합이지만, 후자의 위상에 대한 열린집합이 아니다.^[1]

만약

Y

가 순서 볼록 집합이라면, 이 두 위상은 서로 일치한다.^[1]

Y

가 전순서 집합인

X

의 부분 집합이라면,

Y

는

X

로부터 전순서를 상속받는다. 따라서 집합

Y

는 순서 위상을 가지며, 이를 '''유도된 순서 위상'''이라고 한다.

X

의 부분 집합인

Y

는 또한 부분 공간 위상을 갖는다. 부분 공간 위상은 항상 유도된 순서 위상보다 세밀하며, 일반적으로 같지는 않다.^[2]

예를 들어, 유리수 집합의 부분 집합인 ''Y'' = {−1} ∪ {1/''n'' }_{''n''∈'''N'''}를 고려해 보자. 부분 공간 위상에서 단일 집합 {−1}은 ''Y''에서 열려 있지만, 유도된 순서 위상에서는 −1을 포함하는 모든 열린 집합이 공간의 유한 개를 제외한 모든 원소를 포함해야 한다.^[2]

''Y'' = {−1} ∪ {1/''n''}_{''n''∈'''N'''}의 부분 공간 위상은 ''Y''에 유도된 순서에 의해 생성되지 않지만, ''Y''에 대한 순서 위상이다. 부분 공간 위상에서 모든 점은 고립되어 있으므로(즉, 모든 ''y'' ∈ ''Y''에 대해 단일 집합 {''y''}는 ''Y''에서 열려 있음), 부분 공간 위상은 ''Y''에 대한 이산 위상(''Y''의 모든 부분 집합이 열려 있는 위상)이며, 임의의 집합에 대한 이산 위상은 순서 위상이다. ''Y''에 이산 위상을 생성하는 전순서를 정의하기 위해, −1을 ''Y''의 가장 큰 원소로 정의하고 다른 점에 대해서는 동일한 순서를 유지하여 ''Y''에 유도된 순서를 수정한다. 이 새로운 순서(예를 들어 ₁)에서 모든 ''n'' ∈ '''N'''에 대해 1/''n'' ₁ −1을 갖는다. 그러면 ₁에 의해 생성된 ''Y''에 대한 순서 위상에서 ''Y''의 모든 점은 ''Y''에서 고립되어 있다.^[2]

어떤 전순서도 ''Z''에 대한 부분 공간 위상을 생성하지 않도록 선형 순서 위상 공간 ''X''의 부분 집합 ''Z''를 정의할 수 있다. 즉, 위상이 순서 위상인 공간의 부분 공간 위상임에도 불구하고 부분 공간 위상은 순서 위상이 아닌 경우가 존재한다.^[2]

실수선에서

Z = \{-1\} \cup (0,1)

로 두자. ''Z''에 대한 부분 공간 위상이 ''Z''에 유도된 순서 위상과 같지 않음을 보일 수 있고, ''Z''에 대한 부분 공간 위상이 ''Z''에 대한 어떤 순서 위상과도 같을 수 없음을 보일 수 있다.^[2]

어떤 엄격한 전순서 <이 ''Z''에 존재하여 <에 의해 생성된 순서 위상이 ''Z''에 대한 부분 공간 위상과 같다고 가정하자(여기서는 <가 ''Z''에 유도된 순서라고 가정하지 않고, 부분 공간 위상을 생성하는 임의의 전순서를 가정한다).^[2]

''M'' = ''Z'' \ {−1} = (0,1)로 두면, ''M''은 연결 공간이므로 <에 관하여 자기 자신에 대해 조밀하고 틈이 없다. 만약 −1이 ''Z''의 가장 작은 원소도 가장 큰 원소도 아니라면,

(-\infty,-1)

과

(-1,\infty)

는 ''M''을 분리하며, 이는 모순이다. 일반성을 잃지 않고, −1이 ''Z''의 가장 작은 원소라고 가정한다. {−1}은 ''Z''에서 열려 있으므로, 구간 (−1,''p'')가 공집합이 되도록 ''M''에 어떤 점 ''p''가 존재한다. 따라서 ''p''는 ''M''의 최소값이다. 그러면 ''M'' \ {''p''} = (0,''p'') ∪ (''p'',1)은 실수선에서 상속된 부분 공간 위상에 대해 연결되어 있지 않다. 반면에, ''Z''의 순서 위상에서 상속된 ''M'' \ {''p''}의 부분 공간 위상은 <에 의해 유도된 ''M'' \ {''p''}의 순서 위상과 일치하며, ''M'' \ {''p''}에 틈이 없고 조밀하므로 연결되어 있다. 이것은 모순이다.^[2]

5. Topology and ordinals

Topology and ordinals^영어 절은 순서수에 순서 위상을 부여하여 위상 공간으로 다루는 방법을 설명한다.

순서 위상을 갖춘 모든 순서수는 완전 분리 공간이다. 최초의 비가산 순서수 ω₁은 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이 아니고, 완전 정규 공간도 아니다. ω₁+1은 제1 가산 공간·제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이지만, 완전 정규 공간은 아니다. ω₁+1은 ω의 스톤-체흐 콤팩트화이자 알렉산드로프 콤팩트화이다.^[1]

모든 서수에는 순서 위상을 부여하여 위상 공간으로 볼 수 있다. 위상 공간으로서 모든 서수는 하우스도르프 공간이며, 더 나아가 정규 공간이다. 또한 완전 비연결 공간, 흩어진 공간, 영차원 공간이다.^[3]

위상 공간 ω₁과 그 후속 서수 ω₁+1은 비가산 위상 공간의 예시로 자주 사용된다.

5. 1. Ordinals as topological spaces

순서수 α는 정렬 집합이므로, 여기에 순서 위상을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다. 이 경우, α의 극한점은 α보다 작은 극한 순서수이다.

순서 위상을 주었을 때, 모든 순서수는 완전 분리 공간이다. 최초의 비가산 순서수 ω₁은 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이 아니고, 완전 정규 공간도 아니다. ω₁+1은 제1 가산 공간·제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이지만, 완전 정규 공간은 아니다. ω₁+1은 ω의 스톤-체흐 콤팩트화이자 알렉산드로프 콤팩트화이다.^[1]

모든 서수에는 순서 위상을 부여하여 위상 공간으로 볼 수 있다. 서수 α의 극한점 집합은 정확히 α보다 작은 극한 서수의 집합이다. α보다 작은 후속 서수(및 0)는 α에서 고립점이다. 특히 유한 서수와 ω는 이산 공간이지만, 그보다 큰 서수는 이산 공간이 아니다. 서수 α가 위상 공간으로서 콤팩트 공간이 되는 것은 α가 후속 서수 또는 0인 경우뿐이다.^[2]

위상 공간으로서 모든 서수는 하우스도르프 공간이며, 더 나아가 정규 공간이다. 또한 완전 비연결 공간, 흩어진 공간, 영차원 공간이다.^[3]

위상 공간 ω₁과 그 후속 서수 ω₁+1은 비가산 위상 공간의 예시로 자주 사용된다. 위상 공간 ω₁+1에서, 원소 ω₁은 부분 집합 ω₁의 폐포에 속하지만, ω₁의 원소로 이루어진 수열은 ω₁을 극한으로 갖지 않는다.^[4]

공간 ω₁은 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간은 아니며, ω₁+1은 콤팩트 공간임에도 불구하고 이 두 속성을 모두 갖지 않는다.^[5]

5. 2. Ordinal-indexed sequences

순서수-색인 수열은 수열 개념의 일반화이다. ''X''의 원소로 이루어진 ''α''-색인 수열은 ''α''에서 ''X''로의 함수를 의미하며, 초한 수열(transfinite sequence)이라고도 불린다. 일반적인 수열은 ''α'' = ω (최초의 무한 순서수)인 경우에 해당한다.

만약 ''X''가 위상 공간이라면, ''X''의 원소로 이루어진 ''α''-색인 수열이 극한 ''x''로 수렴한다는 것은, ''x''의 임의의 근방 ''U''에 대해, 모든 ''ι'' ≥ ''β''에서 ''x''_''ι''가 ''U''에 속하는 순서수 ''β'' < ''α''가 존재한다는 것을 의미한다.

순서수-색인 수열은 위상 공간에서 극한을 결정하는 데 일반적인 수열보다 더 강력하다. 예를 들어, 최초의 비가산 순서수 ω₁은 ω₁+1의 극한점이다. ω₁은 ω₁보다 작은 모든 순서수를 자기 자신으로 매핑하는 ω₁-색인 수열의 극한이지만, 일반적인 수열의 극한은 될 수 없다. 일반적인 수열의 극한은 그 원소들의 합집합보다 작거나 같고, 이는 가산 집합들의 가산 합집합이므로, 그 자체로 가산적이기 때문이다.

하지만, 순서수-색인 수열은 일반적으로 그물이나 필터를 대체할 만큼 강력하지 않다. 예를 들어, 티호노프 판 (곱공간

(\omega_1+1)\times(\omega+1)

)에서, 모서리 점

(\omega_1,\omega)

는 열린 부분 집합

\omega_1\times\omega

의 극한점이지만, 순서수-색인 수열의 극한은 아니다.

참조

_[1] 논문 Linearly orderable spaces 1962
_[2] 문서 Steen & Seebach, p. 74
_[3] 논문 Kelley’s conjecture and preorthocompactness 1987
_[4] 서적 Counterexamples in Topology Springer-Verlag 1978
_[5] 논문 Linearly ordered topological spaces 1970

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