정칙 이차 미분

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 슈트레벨 미분
4. 아벨 미분과의 관계
5. 특이 유클리드 구조
6. 예
- 6.1. 상수 정칙 이차 미분
- 6.2. 2차 극 근처의 정칙 이차 미분
7. 역사
참조

1. 개요

정칙 이차 미분은 리만 곡면의 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면으로, 표준 좌표계를 정의하고 수직엽과 수평엽을 갖는다. 정칙 이차 미분의 공간은 층 코호몰로지로 표현되며, 복소 평면에서 f(z) dz²의 형태로 나타난다. 슈트레벨 미분은 특정 조건을 만족하는 유일한 정칙 이차 미분이며, 아벨 미분과 관련이 있다. 또한, 정칙 이차 미분은 특이 유클리드 구조를 정의하며, 상수 정칙 이차 미분과 2차 극 근처의 정칙 이차 미분 등의 예시가 있다. 이 개념은 쿠르트 슈트레벨에 의해 도입되었다.

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정칙 이차 미분

2. 정의

리만 곡면 $\Sigma$ 위의 '''정칙 이차 미분'''은 그 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다. 즉, 정칙 이차 미분의 공간은 다음과 같은 층 코호몰로지이다.^[2]

: $\operatorname H^0(\Sigma,K_\Sigma^{\otimes 2})$

여기서 $K_\Sigma$ 는 $\Sigma$ 의 표준 선다발이다. 즉, $\Sigma$ 의 국소 좌표를 $z$ 라고 하면, 정칙 이차 미분은 국소적으로

: $f(z)\,\mathrm dz^2$

의 꼴이다.

복소 평면의 영역 $U$ 에 있는 각 이차 미분은 $f(z) \,dz \otimes dz$ 로 쓸 수 있으며, 여기서 $z$ 는 복소 변수이고, $f$ 는 $U$ 에 대한 복소수 값을 갖는 함수이다.

이러한 "국소" 이차 미분은 $f$ 가 정칙 함수일 때에만 정칙이다. 일반적인 리만 곡면 $R$ 에 대한 차트 $\mu$ 와 $R$ 위의 이차 미분 $q$ 가 주어지면, 당김 $(\mu^{-1})^*(q)$ 는 복소 평면의 영역에서 이차 미분을 정의한다.

2. 1. 정칙 이차 미분

리만 곡면

\Sigma

위의 '''정칙 이차 미분'''은 그 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다. 즉, 정칙 이차 미분의 공간은 다음과 같은 층 코호몰로지이다.^[2]

:

\operatorname H^0(\Sigma,K_\Sigma^{\otimes 2})

여기서

K_\Sigma

는

\Sigma

의 표준 선다발이다. 즉,

\Sigma

의 국소 좌표를

z

라고 하면, 정칙 이차 미분은 국소적으로

:

f(z)\,\mathrm dz^2

의 꼴이다.

복소 평면의 영역

U

에 있는 각 이차 미분은

f(z) \,dz \otimes dz

로 쓸 수 있으며, 여기서

z

는 복소 변수이고,

f

는

U

에 대한 복소수 값을 갖는 함수이다.

이러한 "국소" 이차 미분은

f

가 정칙 함수일 때에만 정칙이다. 일반적인 리만 곡면

R

에 대한 차트

\mu

와

R

위의 이차 미분

q

가 주어지면, 당김

(\mu^{-1})^*(q)

는 복소 평면의 영역에서 이차 미분을 정의한다.

2. 2. 표준 좌표계

리만 곡면 Σ 위의 정칙 이차 미분 q(z) = f(z) dz²가 주어졌고, 임의의 점 z₀ ∈ Σ에 대하여 q|_z₀ ≠ 0이라면, z₀의 충분히 작은 근방 U ∋ z₀에 다음과 같은 국소 좌표계를 정의할 수 있다.

:w: U → C

:w: z₁ ↦ ∫_z₀^z₁√q = ∫_z₀^z₁√(f(z)) dz

이를 q로부터 정의되는 표준 좌표계(瓢樽座標系, canonical coordinate^영어)라고 한다.

{z ∈ Σ: q|_z ≠ 0}에서, 리만 계량

:|f(z)| dz d̅z = |f(z)| (dx² + dy²)

를 정의할 수 있다 (z = x + iy). 이 리만 계량의 리만 곡률은 0이다.

복소 평면의 영역 U에 있는 각 이차 미분은 f(z) dz ⊗ dz로 쓸 수 있으며, 여기서 z는 복소 변수이고, f는 U에 대한 복소수 값을 갖는 함수이다. 이러한 "국소" 이차 미분은 f가 정칙 함수일 때에만 정칙이다. 일반적인 리만 곡면 R에 대한 차트 μ와 R 위의 이차 미분 q가 주어지면, 당김 (μ⁻¹)* (q)는 복소 평면의 영역에서 이차 미분을 정의한다.

2. 3. 수직엽과 수평엽

주어진 리만 곡면 Σ와 그 위의 점 z₀, 그리고 Σ\{z₀} 위의 정칙 이차 미분 q에 대해, 수직엽과 수평엽을 정의할 수 있다.

연속 미분 가능 곡선 γ$(a,b)$→ Σ에 대하여 다음 두 조건을 고려한다.

㉠ 모든 t∈(a,b)에 대해, q|_γ(t)(γ̇(t), γ̇(t)) ∈ ℝ⁺ ⊂ ℂ
㉡ 모든 t∈(a,b)에 대해, q|_γ(t)(γ̇(t), γ̇(t)) ∈ ℝ⁻ ⊂ ℂ

이 조건들은 매개 변수 재정의에 대해 불변이며, Σ의 부분 집합으로 취급할 수 있다.

조건 ㉠을 만족하는 극대 원소인 부분 집합을 q의 수평엽(水平葉, horizontal leaf^영어)이라고 한다. 조건 ㉡을 만족하는 극대 원소인 부분 집합을 q의 수직엽(垂直葉, vertical leaf^영어)이라고 한다.

3. 성질

리만 곡면 $\Sigma$ 위의 정칙 이차 미분의 벡터 공간은 그 타이히뮐러 공간의 공변접공간과 표준적으로 동형이다.

리만 곡면 $\Sigma$ 위의 정칙 이차 미분 $q$ 의 수직엽들의 족은 리만 곡면 $\{z\in\Sigma\colon q|_z\ne0\}$ 의 (실수) 여차원 1의 엽층을 이루며, $q$ 의 수평엽들의 족 역시 마찬가지다.

3. 1. 슈트레벨 미분

종수 g의 연결 콤팩트 리만 곡면 Σ와 그 속의 유한 집합 {z₁, ..., zₙ} ⊆ Σ, 그리고 각 zᵢ에 대한 양의 실수 tᵢ ∈ ℝ⁺가 주어졌을 때, 다음 조건들을 만족시키는 유일한 정칙 이차 미분이 존재하며, 이를 슈트레벨 미분이라고 한다.^[2]

q는 각 zᵢ 근처에서, 국소적으로 다음과 같이 2차 극을 갖는다.
:q(z) = O(1) / (z - zᵢ)² (dz)²
q의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간이 아닌 것들의 합집합은 르베그 측도 0인 닫힌집합이다.
q의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간인 것 γ ⊆ M은 항상 어떤 zᵢ ∈ {z₁, ..., zₙ}을 한 번 휘감는 폐곡선이며, 다음 조건을 만족시킨다. (여기서, 제곱근의 분지는 이 적분이 양수가 되게 택한다.)
:tᵢ = ∮_γ √q

4. 아벨 미분과의 관계

리만 곡면 위의 아벨 미분 ω에 대해, ω ⊗ ω는 이차 미분이다.

5. 특이 유클리드 구조

복소 평면의 영역에서 정칙 이차 미분 $q = f(z) \,dz \otimes dz$ 는 연관된 리만 계량 $|f(z)|(dx^2 + dy^2)$ 를 가지며, 이 계량의 곡률은 0이다. 따라서 정칙 이차 미분은 $f(z) = 0$ 인 $z$ 의 집합의 여집합 위에 평탄한 계량을 정의한다. 정칙 이차 미분 q는 영점의 여집합 위에 리만 계량 |q|를 결정한다.

6. 예

6. 1. 상수 정칙 이차 미분

비콤팩트 리만 곡면인 복소평면

\mathbb C

위의 상수 정칙 이차 적분

:

q=\mathrm dz^2

을 생각하자. 이는 영점을 갖지 않는다.

이 경우, 수평엽의 조건은

:

\dot\gamma^2\in\mathbb R^+\subsetneq\mathbb C

인 것이다. 즉,

\dot\gamma\in\mathbb R\setminus\{0\}

이어야 한다. 이에 따라, 수평엽들은 수평선들이다.

:

\mathbb R+\mathrm it\qquad(t\in\mathbb R)

마찬가지로, 수직엽의 조건은

:

\dot\gamma^2\in\mathbb R^-\subsetneq\mathbb C

인 것이다. 즉,

\dot\gamma\in\mathrm i\mathbb R\setminus\{0\}

이어야 한다. 이에 따라, 수직엽들은 수직선들이다.

:

\mathrm i\mathbb R+t\qquad(t\in\mathbb R)

이들은 물론 각각 복소평면의 엽층을 이룬다.

보다 일반적으로, 임의의 리만 곡면

\Sigma

및 임의의

z\in\Sigma

및 임의의 정칙 이차 적분

q

에 대하여, 만약

q|_z\ne0

이라면,

z

의 충분히 작은 근방

U\ni z

에서

q\restriction U

는 (표준 좌표계에서) 상수 정칙 이차 미분이 되며, 표준 좌표계에서 수평엽과 수직엽은 위와 같이 (복소구조로 정의되는 등각 계량에 대하여) 서로 직교한다.^[2]

6. 2. 2차 극 근처의 정칙 이차 미분

복소평면 위의 정칙 이차 미분

:

q=\frac{\mathrm dz^2}{z^2}

를 생각하자. 그렇다면, 수평엽의 조건은

:

\dot\gamma(z)\in z\mathbb R

이므로, 수평엽은 원점에서 시작하는 반직선

:

t\mapsto t\exp(\mathrm i\theta)\qquad(\theta\in\mathbb R)

이다. 마찬가지로, 수직엽의 조건은

:

\dot\gamma(z)\in\mathrm iz\mathbb R

이므로, 수직엽은 원점을 중심으로 하는 원

:

t\mapsto r\exp(\mathrm it)\qquad(r\in\mathbb R^+)

의 꼴이다.

$\mathrm dz^2/z^2$ 의 수평엽(푸른 반직선)과 수직엽(붉은 원)

7. 역사

정칙 이차 미분, 특히 슈트레벨 미분은 스위스의 수학자 쿠르트 슈트레벨/Kurt Strebel^de(1921~2013)이 도입하였다.

참조

_[1] 서적 Quadratic differentials Springer-Verlag 1984
_[2] 논문 Ribbon graphs, quadratic differentials on Riemann surfaces, and algebraic curves defined over ℚ̄ 1998

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