진성 반도체

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1. 개요
2. 밴드 간 전이
- 2.1. 직접 전이
- 2.2. 간접 전이
3. 캐리어 밀도
4. 페르미 준위
5. 캐리어 이동도
6. 전하 운반자 (Electrons and holes)
- 6.1. 반도체 전류 (Semiconductor current)
7. 도핑의 영향
8. 응용 분야
참조

1. 개요

진성 반도체는 불순물이 거의 없는 반도체로, 캐리어 밀도가 낮아 재료 자체의 특성에 의해 결정된다. 띠간 전이, 직접 전이와 간접 전이 현상을 보이며, 캐리어 밀도는 온도에 따라 변화한다. 진성 반도체 내의 전류는 전자와 정공의 흐름으로 구성되며, 페르미 준위는 밴드갭 중앙에 위치한다. 낮은 캐리어 밀도로 인해 도핑을 통해 캐리어 밀도를 조절하는 불순물 반도체에 비해 활용 분야가 제한적이다.

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진성 반도체
기본 정보
종류	반도체
설명	불순물이 첨가되지 않은 순수한 반도체
언어별 명칭
영어	intrinsic semiconductor
일본어	真性半導体
한국어	진성 반도체

2. 밴드 간 전이

전자가 에너지를 얻어 가전자대에서 전도대로 이동하거나, 전도대에 있는 전자가 에너지를 방출하여 가전자대로 이동하는 것을 띠간 전이(inter-band transition)라고 한다. 가전자대 꼭대기와 전도대 바닥의 파수 벡터가 (거의) 일치하면 직접 전이(direct transition), 그렇지 않으면 간접 전이(indirect transition)라고 한다.^[2]

2. 1. 직접 전이

광흡수에 의해 띠간 전이가 일어날 때, 원자가띠에 있는 전자의 파수 벡터를 '''k_v''', 전도띠로 전이한 전자의 파수 벡터를 '''k_c''', 빛의 파수 벡터를 '''k'''라고 하면, 다음과 같은 식이 성립한다.

:

\boldsymbol{k}_v - \boldsymbol{k}_c + \boldsymbol{k} = \boldsymbol{G}_m

여기서 '''G_m'''는 역격자 벡터이다. '''k_c'''와 '''k_v'''가 브릴루앙 영역 내에 있고, 빛의 파수 벡터의 크기 '''|k|'''가 '''|G_m|'''에 비해 충분히 작으면,

\boldsymbol{k}_v - \boldsymbol{k}_c + \boldsymbol{k}

가 브릴루앙 영역 외부에 위치하는 일은 없으므로,

\boldsymbol{G}_m = 0

으로 둘 수 있다. 따라서, 다음과 같은 식이 유도된다.

:

\boldsymbol{k}_v + \boldsymbol{k} = \boldsymbol{k}_c

이 식은 전자와 빛(광자)의 운동량 보존 법칙에 해당한다. 빛의 파장 λ이 단위세포의 변의 길이 a에 대해 충분히 길 때, 빛의 파수 벡터의 크기

|\boldsymbol{k}| =2\pi/\lambda

는 브릴루앙 영역의 크기(

2\pi/a

)에 비해 충분히 작아 무시할 수 있다. 따라서, 다음과 같이 근사할 수 있다.

:

\boldsymbol{k}_v \simeq \boldsymbol{k}_c

이와 같이 전이 전후에서 전자의 파수 벡터가 거의 변하지 않는 띠간 전이를 직접 전이라고 한다^[2].

2. 2. 간접 전이

간접 전이의 경우, 가전자대(價電子帶)의 꼭대기와 전도대(傳導帶)의 바닥의 파수 벡터가 다르기 때문에, 빛만으로는 운동량 보존 법칙이 성립하지 않고, 띠간 천이(밴드간 천이)에 포논의 흡수·방출도 관련된다. 빛의 각진동수를 ω, 포논의 각진동수와 파수 벡터를 ω_p와 '''k_p'''로 하고, 가전자대 및 전도대의 전자의 에너지를 E_v 및 E_c로 하면, 간접 전이의 에너지 보존 법칙과 운동량 보존 법칙은, 포논 흡수를 수반하는 경우,

:

E_v +\hbar\omega + \hbar\omega_p = E_c

:

\boldsymbol{k}_v + \boldsymbol{k} + \boldsymbol{k}_p = \boldsymbol{k}_c

포논 방출을 수반하는 경우,

:

E_v +\hbar\omega - \hbar\omega_p = E_c

:

\boldsymbol{k}_v + \boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}_p = \boldsymbol{k}_c

를 만족한다.^[2] 포논의 에너지는 약 30meV 정도인 반면, 띠 간격(밴드 갭) E_g는 약 1eV 정도이기 때문에,^[3] 에너지 보존 법칙에는 광자의 에너지가 주로 관련되어 있다. 포논의 파수 벡터는 브릴루앵 영역 전 영역에 걸쳐 있기 때문에, 가전자대와 전도대의 전자의 파수 벡터가 일치할 필요는 없다.

3. 캐리어 밀도

이 절에서는 진성 반도체의 캐리어 밀도를 유도한다.^[4]

진성 반도체에서 캐리어 밀도를 유도하기 위해, 가전자대와 전도대의 에너지 분산을 단순화한다. 가전자대와 전도대 모두 하나의 밴드로 구성되고, 각각의 유효 질량에 이방성이 없다고 가정한다. 즉, 포물선 근사를 적용한 에너지 분산을 고려한다.

전도대:

$E(k) = E_c +\frac{\hbar^2}{2m_e^*}\left (k_x^2 + k_y^2 +k_z^2 \right )$

가전자대:

$E(k) = E_v -\frac{\hbar^2}{2m_h^*}\left (k_x^2 + k_y^2 +k_z^2 \right )$

여기서 $E_c$ 는 전도대의 바닥 에너지, $E_v$ 는 가전자대의 꼭대기 에너지, $m_e^*$ 는 전도대에서의 전자의 유효 질량, $m_h^*$ 는 가전자대에서의 정공의 유효 질량이다.

반도체의 캐리어 밀도의 제곱은 전자 밀도 $n_e$ 와 정공 밀도 $n_h$ 의 곱과 같으므로

$n_en_h=4\left ( \frac{k_BT}{2\pi\hbar^2} \right )^3\left ( m_e^*m_h^*\right )^{3/2}\mathrm{e}^{-(E_c-E_v)/k_BT}=N_cN_v \mathrm{e}^{-E_g/k_BT}=n_i^2$

가 된다. 여기서 $E_g = E_c - E_v$ 는 밴드갭 에너지이다. 진성 반도체에서는 전하를 띠는 것은 전자와 정공뿐이므로, 전기적 중성 조건에 의해 $n_e = n_h$ 가 성립한다. 따라서 진성 반도체의 캐리어 밀도는

$n_i=n_e=n_h=2\left ( \frac{k_BT}{2\pi\hbar^2} \right )^\frac{3}{2}\left ( m_e^*m_h^*\right )^\frac{3}{4}e^{-\frac{E_g}{2k_BT}}=\left(N_cN_v \right)^\frac{1}{2} e^{-\frac{E_g}{2k_BT}}$

가 되며, $n_i$ 를 '''진성 캐리어 밀도'''(intrinsic carrier concentration 또는 intrinsic carrier density)라고 한다.

3. 1. 진성 캐리어 밀도 ( $n_i$ )

도핑된 경우는 도펀트의 밀도로 캐리어 밀도가 정해지지만, 진성 반도체는 불순물 밀도가 아니고 재질 자체가 캐리어 밀도를 결정한다. 이 캐리어 밀도를 진성 캐리어 밀도 (

n_i

)라고 한다. 이 진성 캐리어 밀도는 매우 낮은 값 (～10¹⁰ /cm³)이다. 이것은 일반적인 도핑으로 얻을 수 있는 캐리어 밀도보다 약 10 자리수만큼 낮은 값이기에, 일반적인 반도체를 사용하는 경우에는 도핑을 하는 경우가 많다.

진성 반도체의 양공 밀도

p

와 전자 밀도

n

는

n=p=n_i= \sqrt {N_CN_V}

의 관계가 성립된다. (

N_C

는 전도띠 전자 밀도이고

N_V

는 원자가띠 양공 밀도임)

진성 반도체에서 캐리어 밀도를 유도하기 위해, 가전자대와 전도대의 에너지 분산을 단순화한다. 가전자대와 전도대 모두 하나의 밴드로 구성되고, 각각의 유효 질량에 이방성이 없다고 가정한다. 즉, 포물선 근사를 적용한 에너지 분산을 고려한다.

전도대:

E(k) = E_c +\frac{\hbar^2}{2m_e^*}\left (k_x^2 + k_y^2 +k_z^2 \right )

가전자대:

E(k) = E_v -\frac{\hbar^2}{2m_h^*}\left (k_x^2 + k_y^2 +k_z^2 \right )

여기서

E_c

는 전도대의 바닥 에너지,

E_v

는 가전자대의 꼭대기 에너지,

m_e^*

는 전도대에서의 전자의 유효 질량,

m_h^*

는 가전자대에서의 정공의 유효 질량이다.

반도체의 캐리어 밀도의 제곱은 전자 밀도

n_e

와 정공 밀도

n_h

의 곱과 같으므로

n_en_h=4\left ( \frac{k_BT}{2\pi\hbar^2} \right )^3\left ( m_e^*m_h^*\right )^{3/2}\mathrm{e}^{-(E_c-E_v)/k_BT}=N_cN_v \mathrm{e}^{-E_g/k_BT}=n_i^2

가 된다. 여기서

E_g = E_c - E_v

는 밴드갭 에너지이다. 진성 반도체에서는 전하를 띠는 것은 전자와 정공뿐이므로, 전기적 중성 조건에 의해

n_e = n_h

가 성립한다. 따라서 진성 반도체의 캐리어 밀도는

n_i=n_e=n_h=2\left ( \frac{k_BT}{2\pi\hbar^2} \right )^\frac{3}{2}\left ( m_e^*m_h^*\right )^\frac{3}{4}e^{-\frac{E_g}{2k_BT}}=\left(N_cN_v \right)^\frac{1}{2} e^{-\frac{E_g}{2k_BT}}

가 되며,

n_i

를 '''진성 캐리어 밀도'''(intrinsic carrier concentration 또는 intrinsic carrier density)라고 한다.

3. 2. 전자 밀도 및 정공 밀도

도핑된 반도체의 캐리어 밀도는 도펀트의 밀도로 결정되지만, 진성 반도체는 재료 자체가 캐리어 밀도를 결정한다. 이 캐리어 밀도를 진성 캐리어 밀도(

n_i

)라고 하며, 매우 낮은 값(～10¹⁰ /cm³)을 가진다. 이는 일반적인 도핑으로 얻을 수 있는 캐리어 밀도보다 약 10자리수만큼 낮은 값이기 때문에, 일반적인 반도체는 도핑을 하는 경우가 많다.^[5]

진성 반도체의 양공(정공) 밀도

p

와 전자 밀도

n

는

n=p=n_i= \sqrt {N_CN_V}

의 관계를 갖는다. 여기서

N_C

는 전도띠 유효 상태 밀도이고,

N_V

는 원자가띠 유효 상태 밀도이다.^[5]

진성 반도체에서 캐리어 밀도를 유도하기 위해, 가전자대와 전도대의 에너지 분산을 단순화한다. 가전자대와 전도대 모두 하나의 밴드로 구성되고, 각각의 유효 질량에 이방성이 없다고 가정한다. 즉, 포물선 근사를 적용한 에너지 분산을 고려한다.^[5]

전도대와 가전자대에서의 에너지 분산은 다음과 같다.

E(k) = E_c +\frac{\hbar^2}{2m_e^*}\left (k_x^2 + k_y^2 +k_z^2 \right )

E(k) = E_v -\frac{\hbar^2}{2m_h^*}\left (k_x^2 + k_y^2 +k_z^2 \right )

여기서

E_c

는 전도대의 바닥 에너지,

E_v

는 가전자대의 꼭대기 에너지,

m_e^*

는 전도대에서의 전자의 유효 질량,

m_h^*

는 가전자대에서의 정공의 유효 질량이다.^[5]

각 띠의 상태 밀도는 자유 전자 모델의 상태 밀도에서 전자의 질량을 각 유효 질량으로 치환하고, 에너지의 원점을

E_c

및

E_v

로 이동시킨 것이다.

전도대와 가전자대에서의 상태밀도는 다음과 같다.

D_c(E) = \frac{V}{2\pi^2}\left ( \frac{2m_e^*}{\hbar^2} \right )^{3/2} \left ( E - E_c \right)^{1/2}

D_v(E) = \frac{V}{2\pi^2}\left ( \frac{2m_h^*}{\hbar^2} \right )^{3/2}\left ( E_v - E \right)^{1/2}

온도

T

일 때, 전자가 에너지

E

상태를 점유할 확률은 페르미 분포 함수

f_F(E, T)

로 주어진다. 반대로, 정공이 에너지

E

상태를 점유할 확률은 전자가 그 상태를 점유하지 않을 확률과 같다. 따라서, 전도대 전자의 분포 함수

f_e(E, T)

와 원자가대 정공의 분포 함수

f_h(E, T)

는 각각 다음과 같다.^[5]

f_e(E, T) = f_F(E, T) = \frac{1}{\mathrm{e}^{E-E_f/k_BT}+1}\approx \mathrm{e}^{-(E-E_f)/k_BT}

f_h(E, T) = 1 - f_e(E, T) = \frac{1}{\mathrm{e}^{E_f-E/k_BT}+1}\approx \mathrm{e}^ {-(E_f-E)/k_BT}

여기서

E_f

는 페르미 준위이다. 전자의 분포 함수에서

E - E_f \gg k_BT

이면, 페르미 분포 함수는 볼츠만 분포로 근사할 수 있다. 정공의 분포 함수에서도 마찬가지이며, 근사 조건은

E_f - E \gg k_BT

이다.^[5]

반도체의 전기 전도를 담당하는 캐리어는 전도대에 있는 전도 전자와 가전자대에 생긴 정공이다. 전자 밀도

n_e

와 정공 밀도

n_h

는 각각의 상태 밀도와 분포 함수의 곱을 적절한 적분 범위에서 적분하고, 점유 부피로 나누어 구할 수 있다.^[5]

n_e=\frac{1}{V}\int_{E_c}^{\infty} D_c(E)f_e(E, T)\mathrm{d}E

n_h=\frac{1}{V}\int_{-\infty}^{E_v} D_v(E)f_h(E, T)\mathrm{d}E

이것들을 실제로 계산하면,

n_e\approx\frac{1}{2\pi^2}\left ( \frac{2m_e^*}{\hbar^2} \right )^{3/2}\int_{E_c}^{\infty} (E-E_c)^{1/2} \mathrm{e}^{-(E-E_f)/k_BT}\mathrm{d}E=2\left ( \frac{m_e^*k_BT}{2\pi\hbar^2} \right )^{3/2} \mathrm{e}^{-(E_c-E_f)/k_BT}=N_c \mathrm{e}^{-(E_c-E_f)/k_BT}

n_h\approx\frac{1}{2\pi^2}\left ( \frac{2m_h^*}{\hbar^2} \right )^{3/2}\int_{-\infty}^{E_v} (E_v-E)^{1/2} \mathrm{e}^{-(E_f-E)/k_BT}\mathrm{d}E=2\left ( \frac{m_h^*k_BT}{2\pi\hbar^2} \right )^{3/2} \mathrm{e}^{-(E_f-E_v)/k_BT}=N_v \mathrm{e}^{-(E_f-E_v)/k_BT}

이 된다.

N_c

는 전도대의 유효 상태 밀도,

N_v

는 가전자대의 유효 상태 밀도이다.^[5]

3. 3. 온도 의존성

가전자대와 전도대의 유효 상태 밀도는 온도에 의존하는 양이지만, 근사적으로 무시할 수 있으므로, 본질 캐리어 밀도는 다음과 같다.

n_i\propto \mathrm{e}^{-E_g/2k_BT}

위 식에서 Band gap|밴드갭^영어 ''E_g''의 절반을 활성화 에너지로 하는 온도 의존성을 나타낸다. 따라서, 온도의 역수에 대해 본질 캐리어 밀도의 자연로그를 플롯하면 직선을 얻을 수 있다(아레니우스 식). 그 그래프의 기울기로부터 밴드갭 에너지를 실험적으로 추정할 수 있다.

4. 페르미 준위

도핑된 경우에 페르미 준위는 도너 준위나 억셉터 준위 근처에 존재하지만, 진성 반도체는 띠틈의 띠 중앙에 위치한다. 전도띠의 에너지를 ''E_C'', 원자가띠의 에너지를 ''E_V'', 전자와 양공의 유효질량을 ''m_e'', ''m_h''라고 했을 때 진성 반도체의 페르미 준위의 에너지 ''E_i''는 다음과 같이 표현된다.

:''E_i''= {{''E_C''+''E_V''} \over 2}+ {1 \over 2}kT ln {''N_V'' \over ''N_C''}={{''E_C''+''E_V''} \over 2}+ {3 \over 4}kT ln {''m_h'' \over ''m_e''}

진성 반도체의 페르미 준위는 ''n_e'' = ''n_h''이므로 다음과 같이 표현된다.

:''E_f''= )={{''E_c''+''E_v''} \over 2}+ {3 \over 4}k_BT ln ({{''m_h''^*} \over ''m_e''^*})

이 식에서 두 번째 항은 첫 번째 항에 비해 작기 때문에, 진성 반도체의 페르미 준위는 밴드갭의 거의 중앙에 위치한다.

5. 캐리어 이동도

진성 반도체는 불순물 도핑이 되지 않았기 때문에 캐리어는 이온화 불순물 산란의 영향을 받지 않는다. 그렇기에 도핑되었을 때와 비교해서 매우 빠른 이동도를 나타낸다. 하지만 앞서 말했듯이 진성 반도체는 캐리어 밀도가 매우 낮기 때문에 용도 또한 한정된다. 이종접합 구조에 의한 2차원 전자 기체를 이용한 반도체 소자(예를 들어, HEMT)와 같은 용도가 있다.

6. 전하 운반자 (Electrons and holes)

절대영도보다 높은 온도의 실리콘과 같은 진성 반도체에서는 일부 전자가 띠 간격을 넘어 전도띠로 여기되어 전하 흐름을 지지할 수 있다. 순수한 실리콘에서 전자가 띠 간격을 넘어갈 때, 규칙적인 실리콘 격자에 전자 공백 또는 "정공"을 남긴다. 외부 전압의 영향으로 전자와 정공 모두 재료를 가로질러 이동할 수 있다. n형 반도체에서는 도펀트가 추가 전자를 제공하여 전도도를 증가시키고, p형 반도체에서는 도펀트가 추가적인 정공을 생성하여 전도도를 증가시킨다. 다양한 고체 전자 장치의 핵심은 p-n 접합의 동작이다.

6. 1. 반도체 전류 (Semiconductor current)

진성 반도체 내를 흐르는 전류는 전자 전류와 정공 전류로 구성된다. 즉, 결정격자 위치에서 벗어나 전도띠로 이동한 전자들이 물질 내를 이동할 수 있다. 또한, 다른 전자들은 빈 자리를 채우기 위해 결정격자 위치 사이를 이동할 수 있는데, 이러한 추가적인 메커니즘은 정공 전도라 불린다. 이는 마치 정공들이 자유 전자의 이동과 반대 방향으로 물질을 가로질러 이동하는 것처럼 보이기 때문이다.

진성 반도체 내 전류 흐름은 에너지 상태 밀도에 영향을 받는데, 이는 다시 전도대 내 전자 밀도에 영향을 준다. 이 전류는 온도에 크게 의존한다.

7. 도핑의 영향

절대영도보다 높은 온도의 실리콘과 같은 진성 반도체에서는 일부 전자가 띠 간격을 넘어 전도대로 여기(excitation)되며, 이 전자들은 전하 흐름을 지지할 수 있다. 순수한 실리콘에서 전자가 띠 간격을 넘어갈 때, 규칙적인 실리콘 격자에 전자 공백 또는 "정공(hole)"을 남긴다. 외부 전압의 영향 하에 전자와 정공 모두 재료를 가로질러 이동할 수 있다. n형 반도체에서는 도펀트가 추가 전자를 제공하여 전도도를 극적으로 증가시킨다. p형 반도체에서는 도펀트가 추가적인 공백 또는 정공을 생성하여 마찬가지로 전도도를 증가시킨다. 그러나 다양한 고체 전자 장치의 핵심은 p-n 접합의 동작이다.

진성 반도체의 경우 캐리어 밀도가 매우 낮아, 도핑된 불순물 반도체(외인성 반도체)의 캐리어 밀도보다 약 10배 가까이 낮다. 또한, 캐리어 밀도는 도핑된 불순물의 종류와 농도에 따라 선택적으로 조절할 수 있다. 즉, 반도체의 전기 전도도를 인위적으로 제어할 수 있다. 이것이 불순물 반도체가 전자 기기, 나아가 사회에서 귀하게 여겨지는 이유이다.^[6]

8. 응용 분야

진성 반도체는 불순물 도핑이 되지 않아 캐리어가 이온화 불순물 산란의 영향을 받지 않는다. 따라서 도핑된 반도체에 비해 매우 빠른 이동도를 보인다. 그러나 캐리어 밀도가 매우 낮아 활용 분야는 제한적이다. 탄소 구조에 의한 2차원 전자 가스를 이용한 반도체 소자(예: HEMT)가 그 예이다.

참조

_[1] 서적 半導体工学シリーズ２半導体の物理改訂版培風館 1991
_[2] 서적 入門固体物性基礎からデバイスまで共立出版 1997
_[3] 서적 裳華房テキストシリーズ物理学固体物理学裳華房 2002
_[4] 서적 初歩から学ぶ固体物理学講談社 2017
_[5] 텍스트
_[6] 서적 固体物理学改訂新版 21世紀物質科学の基礎シュプリンガー・ジャパン、丸善出版 2012

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