초직관 논리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 통사론적 정의
- 2.2. 의미론적 정의
3. 성질 및 예시
4. 의미론
- 4.1. 헤이팅 대수 의미론
- 4.2. 크립키 의미론
5. 양상 논리와의 관계
참조

1. 개요

초직관 논리는 직관 논리의 통사론적 체계를 확장한 것으로, 직관 논리의 공리를 포함하며 전건 긍정의 형식과 치환에 대해 닫혀 있다. 이 논리는 추가적인 조건을 만족하면 중간 논리가 되며, 헤이팅 대수와 크립키 의미론을 통해 정의될 수 있다. 초직관 논리는 직관 논리를 최소 원소, 고전 명제 논리를 최대 원소로 하는 격자를 형성하며, 다양한 예시가 존재한다. 또한, 초직관 논리는 괴델-타르스키 번역을 통해 양상 논리로 번역될 수 있다.

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초직관 논리

2. 정의

초직관 논리는 직관 논리의 공리에 특정 공리들을 추가하여 확장한 논리 체계이다. 초직관 논리는 가산 개의 변수 집합 ''p''_''i''를 갖는 명제 공식의 집합으로 표현된다.

2. 1. 통사론적 정의

초직관 논리 ''L''은 다음 조건을 만족하는 정식들의 집합이다.

# 직관 논리의 모든 공리들은 ''L''에 속한다.

# ( 추론 규칙 모드스 포넨스에 대한 닫힘) P와 Q가 정식이며 P와 P→Q가 ''L''에 속한다면, Q도 ''L''에 속한다.

# (치환에 대한 닫힘) 명제 변수 p, q, r, ...에 대하여 F(p, q, r, ...)가 ''L''에 속하는 정식이고 G₁, G₂, G₃, ...가 임의의 정식이라면, F(G₁, G₂, G₃, ...)도 ''L''에 속하는 정식이다.

2. 2. 의미론적 정의

헤이팅 대수 ''H''가 주어지면, ''H''에서 유효한 명제 논리식 집합은 중간 논리이다. 반대로, 중간 논리가 주어지면, 린덴바움-타르스키 대수를 구성할 수 있으며, 이는 헤이팅 대수가 된다.

직관주의적 크립키 프레임 ''F''는 부분 순서 집합이며, 크립키 모델 ''M''은

\{x\mid M,x\Vdash p\}

가 ''F''의 상집합이 되도록 하는 평가를 갖는 크립키 프레임이다. ''F''에서 유효한 명제 논리식 집합은 중간 논리이다. 중간 논리 ''L''이 주어지면, 모델의 논리가 ''L''이 되도록 하는 크립키 모델 ''M''을 구성할 수 있다(이 구성을 ''표준 모델''이라고 한다). 이 속성을 가진 크립키 프레임은 존재하지 않을 수 있지만, 일반 프레임은 항상 존재한다.

3. 성질 및 예시

초직관 논리는 직관 논리를 최소 원소로, 고전 논리학을 최대 원소로 하는 유계 완비 격자를 형성한다. 다양한 초직관 논리들이 존재하며, 그 수는 연속체만큼 많다. 대표적인 초직관 논리는 다음과 같다.

논리 이름	기호	정의
직관 논리	IPC	기본 체계
고전 논리학	CPC	IPC + p ∨ ¬p = IPC + ¬¬p → p = IPC + ((p → q) → p) → p (퍼스의 법칙)
약한 배중률 논리학 (얀코프 논리학 또는 드 모르간 논리학^[2])	KC	IPC + ¬p ∨ ¬¬p
괴델-더밋 논리학	LC, G	IPC + (p → q) ∨ (q → p)
크라이젤-퍼트넘 논리학	KP	IPC + (¬p → (q ∨ r)) → ((¬p → q) ∨ (¬p → r))
스콧 논리학	SL	IPC + ((¬¬p → p) → (p ∨ ¬p)) → (¬¬p ∨ ¬p)
스메타니치 논리학	SmL	IPC + (¬q → p) → (((p → q) → p) → p)
유계 기수 논리학	BC_n	$\textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j$
유계 폭(width) 논리학 (유계 반사슬 논리학)	BW_n, BA_n	$\textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j\ne i}p_j\to p_i\bigr)$
유계 깊이(depth) 논리학	BD_n	IPC + p_n ∨ (p_n → (p_n−1 ∨ (p_n−1 → ... → (p₂ ∨ (p₂ → (p₁ ∨ ¬p₁)))...)))
유계 최대폭(top width) 논리학	BTW_n	$\textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j$
유계 분지(branching) 논리학	T_n, BB_n	$\textstyle\mathbf{IPC}+\bigwedge_{i=0}^n\bigl(\bigl(p_i\to\bigvee_{j\ne i}p_j\bigr)\to\bigvee_{j\ne i}p_j\bigr)\to\bigvee_{i=0}^np_i$
괴델 n치 논리학	G_n	LC + BC_n−1 = LC + BD_n−1

이러한 초직관 논리들은 유계 완비 격자를 형성하며, 직관 논리가 최소 원소이고, 고전 논리학이 최대 원소이다. 스메타니치 논리학('''SmL''')은 이 격자에서 유일한 공원자(coatom)이다.

4. 의미론

연속체만큼 많은 중간 논리들이 존재하며, 이들 중 많은 수가 분리 속성(DP)을 가진다. 초직관 논리와 중간 논리는 완비 격자를 형성하며, 직관 논리가 최소 원소이고, 불일치 논리(초직관 논리의 경우) 또는 고전 논리(중간 논리의 경우)가 최대 원소이다. 고전 논리는 초직관 논리 격자에서 유일한 코원자이며, 중간 논리 격자 또한 유일한 코원자를 가지는데, 이는 '''SmL'''이다.

중간 논리를 연구하는 데 사용되는 도구는 크립키 의미론과 같이 직관 논리에 사용되는 도구와 유사하다. 예를 들어, 괴델-더밋 논리는 전순서의 관점에서 간단한 의미론적 특성을 갖는다. 특정 중간 논리는 의미론적 설명을 통해 제공될 수 있다.

다른 논리는 다음 중 하나 이상의 공리를 추가하여 제공되는 경우가 많다.

직관 논리 (일반적으로 직관 명제 계산 '''IPC'''로 표시)

예시는 다음과 같다.

고전 논리 ('''CPC''', '''Cl''', '''CL'''):

:= (이중 부정 제거, DNE)

:= (Consequentia mirabilis)

:= (배중률, PEM)

위의 일반화된 변형 (그러나 실제로 직관 논리에 대한 동등한 원리)은 각각 다음과 같다.

:= (역 대우 원리)

:= (피어스 원리 PP, Consequentia mirabilis와 비교)

:= (Consequentia mirabilis를 일반화하는 또 다른 체계)

:= (폭발의 원리를 통해 PEM에서 파생됨)

스메타니치 논리 ('''SmL'''):

:= (조건 PP)

괴델-더밋 논리 (더밋 1959) ('''LC''' 또는 '''G''', 아래의 확장을 참조):

:= (디르크 젠틀리의 원리, DGP, 또는 선형성)

:= (전제 독립 IP의 한 형태)

:= (일반화된 4번째 드 모르간 법칙)

제한 깊이 2 ('''BD'''_''2'', 아래의 일반화를 참조):

:=

얀코프의 논리 (1968) 또는 드 모르간 논리 ('''KC'''):

:= (약한 PEM)

:= (약한 DGP)

:= (IP의 한 형태의 변형, 부정 포함)

:= (4번째 드 모르간 법칙)

스콧의 논리 ('''SL'''):

:= (조건 WPEM)

크라이젤–퍼트넘 논리 ('''KP'''):

:= (IP의 한 형태의 다른 변형, 부정 포함)

이 목록은 대부분 어떠한 정렬도 아니다. 예를 들어, '''LC'''는 '''SmL'''의 모든 정리를 증명하지 못하는 것으로 알려져 있지만, '''BD'''_''2''와 직접적으로 강도를 비교하지 않는다. 마찬가지로, '''KP'''는 '''SL'''과 비교되지 않는다. 각 논리에 대한 등식 목록도 완전하지 않다. 예를 들어, WPEM 및 드 모르간 법칙과 같이, 결합을 사용하는 여러 형태의 DGP를 표현할 수 있다.

(¬¬''p'' ∨ ¬''p'') ∨ (¬¬''p'' → ''p'')는 WPEM의 추가 약화이며, '''IPC'''의 정리가 아니다.

모든 직관 논리를 당연하게 여길 때, 등식은 폭발에 의존한다. 예를 들어, 단순한 최소 논리에서는, 원리 PEM이 이미 Consequentia mirabilis와 동등하지만, 더 강한 DNE, PP를 의미하지 않으며 DGP와 비교할 수 없다.

제한 깊이 논리 ('''BD'''_''n''):

:

괴델 ''n''-값 논리 ('''G'''_''n''):

:'''LC''' + '''BD'''_''n''−1

:= '''LC''' + '''BC'''_''n''−1

제한 기수 논리 ('''BC'''_''n''):

:

\textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j

제한 상단 폭 논리 ('''BTW'''_''n''):

:

\textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j

제한 폭 논리 (오노 1972) ('''BW'''_''n'', '''BA'''_''n''):

:

\textstyle\mathbf{IPC}+\bigvee_{i=0}^n\bigl(\bigwedge_{j\ne i}p_j\to p_i\bigr)

제한 분기 논리 (가베이 & 드 용, 1974) ('''T'''_''n'', '''BB'''_''n''):

:

\textstyle\mathbf{IPC}+\bigwedge_{i=0}^n\bigl(\bigl(p_i\to\bigvee_{j\ne i}p_j\bigr)\to\bigvee_{j\ne i}p_j\bigr)\to\bigvee_{i=0}^np_i

실현 가능성 논리
메드베데프의 유한 문제 논리 ('''LM''', '''ML'''): 의미론적으로 $\langle\mathcal P(X)\setminus\{X\},\subseteq\rangle$ 형태의 모든 프레임의 논리로 정의됨, 여기서 ''X''는 유한 집합 ("최대가 없는 부울 하이퍼큐브")이고, 재귀적으로 공리화될 수 없는 것으로 알려져 있음

명제 논리 '''SL'''과 '''KP'''는 분리 속성 DP를 가지고 있다. 클리니 실현 가능성 논리와 강한 메드베데프의 논리 또한 이를 가지고 있다. 격자에서 DP를 가진 유일한 최대 논리는 없다.

일관된 이론이 WPEM을 검증하지만 PEM을 가정할 때 독립적인 명제를 갖는 경우 DP를 가질 수 없다.

4. 1. 헤이팅 대수 의미론

초직관 논리의 명제들의 린덴바움-타르스키 대수는 헤이팅 대수를 이루며, 반대로 주어진 헤이팅 대수에 대하여 이를 린덴바움-타르스키 대수로 하는 초직관 논리 이론을 정의할 수 있다. 따라서 주어진 초직관 논리에 대하여 적절한 성질을 만족시키는 헤이팅 대수를 사용하여 의미론을 정의할 수 있다.

만약 이 헤이팅 대수가 불 대수라면 이렇게 얻어지는 논리는 고전 논리이고, 반면 이 헤이팅 대수가 자유 헤이팅 대수라면 이렇게 얻어지는 논리는 직관 논리이다. 헤이팅 대수 ''H''가 주어지면, ''H''에서 유효한 명제 논리식 집합은 중간 논리이다. 반대로 중간 논리가 주어지면 린덴바움-타르스키 대수를 구성할 수 있으며, 이는 헤이팅 대수가 된다.

4. 2. 크립키 의미론

양상 논리와 직관 논리처럼, 초직관 명제 논리의 의미론은 크립키 모형으로 정의할 수 있다.^[1]

헤이팅 대수 ''H''가 주어지면, ''H''에서 유효한 명제 논리식 집합은 중간 논리이다.^[1] 반대로, 중간 논리가 주어지면, 린덴바움-타르스키 대수를 구성할 수 있으며, 이는 헤이팅 대수가 된다.^[1]

직관주의적 크립키 프레임 ''F''는 부분 순서 집합이며, 크립키 모델 ''M''은

\{x\mid M,x\Vdash p\}

가 ''F''의 상집합이 되도록 하는 평가를 갖는 크립키 프레임이다.^[1] ''F''에서 유효한 명제 논리식 집합은 중간 논리이다.^[1] 중간 논리 ''L''이 주어지면, 모델의 논리가 ''L''이 되도록 하는 크립키 모델 ''M''을 구성할 수 있다(이 구성을 ''표준 모델''이라고 한다).^[1] 이 속성을 가진 크립키 프레임은 존재하지 않을 수 있지만, 일반 프레임은 항상 존재한다.^[1]

5. 양상 논리와의 관계

초직관 논리는 양상 논리로 번역할 수 있는데, 이를 '''괴델-타르스키 번역'''이라고 한다.

M을 어떤 양상 논리 체계라고 하면, 이 번역에 의해,

C(M) := {A | T(A) ∈ M}

은 어떤 초직관 논리 체계가 되는데, 이때 M을 C(M)의 양상 동반원이라고 한다.

몇 가지 예는 다음과 같다.

'''IPC''' = C('''S4''')
'''KC''' = C('''S4.2''')
'''LC''' = C('''S4.3''')
'''CPC''' = C('''S5''')

이 대응은 유일하지 않을 수 있다. 즉, 어떤 초직관 논리에 대해 여러 양상 동반원이 있을 수 있다.

참조

_[1] 간행물 Intermediate logic SpringerEOM
_[2] 논문 Constructive Logic and the Medvedev Lattice Notre Dame J. Formal Logic 2006

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