2. 정의
부분 순서 집합 (P,\le) 의 임의의 두 원소 a,b\in P 에 대하여, 덮개 관계 <: 는 다음과 같이 정의된다.a<:b\iff aa<:b "는 "b 가 a 를 '''덮는다'''(cover영어 )"고 읽는다.부분 순서 집합 에서, '''원자'''는 최소 원소를 직접 덮는 원소를 의미한다. 즉, 최소 원소를 \bot 이라고 할 때, \bot <: a 를 만족하는 원소 a 가 원자이다.집합론 에서 원소 하나로 이루어진 집합인 싱글톤 개념을 순서론 적으로 일반화한 것으로 볼 수 있다.2. 1. 원자
최소 원소 '''0'''을 갖는 부분 순서 집합 에서, '''0'''을 직접 덮는 원소 ''a'', 즉 '''0''' <: ''a''인 원소 ''a''를 '''원자'''(atom|영어 )라고 한다. 여기서 <:는 덮개 관계를 나타낸다.집합론 에서 원소 하나로 이루어진 집합인 싱글톤 개념을 순서론 적으로 일반화한 것으로 이해할 수 있다.2. 1. 1. 원자 집합
'''그림 1''': 집합 {''x'', ''y'', ''z''}의 멱집합 은 "''부분 집합''" 순서로 정렬된 원자적이면서 원자성인 부분 순서 집합이다. 각 구성원 집합은 그 아래에 있는 모든 싱글톤 집합들의 합집합으로 얻을 수 있다. '''그림 2''': "''약수 ''" 순서로 정렬된 4의 격자는 원자적이다. 여기서 2는 유일한 원자이자 코원자이다. 그러나 가장 큰 원소인 4를 원자(2)의 최소 상한으로 표현할 수 없으므로 원자성 집합은 아니다. (P,\le) 가 다음 두 조건을 만족하면 '''원자 집합'''(atomic set|영어 )이라고 한다.최소 원소 \bot \in P 를 갖는다. \bot 이 아닌 임의의 원소 a \in P 에 대해, b \le a 를 만족하는 원자 b 가 존재한다.\bot (또는 '''0''')을 가진 부분 순서 집합에서, \bot 보다 큰 모든 원소 b (즉, b > \bot )가 그 아래에 원자 a 를 가지면, 다시 말해 b \ge a 이고 a 가 \bot 를 덮는(a \gtrdot \bot ) 원소 a 가 존재하면, 이 부분 순서 집합을 '''원자적'''(atomic)이라고 한다. 최소 원소를 가진 모든 유한 부분 순서 집합은 원자적이다. 그러나 일반적인 순서를 갖는 음이 아닌 실수 의 집합은 원자적이지 않으며, 원자 자체도 가지지 않는다.(P,\le) 가 다음 조건을 만족하면 '''상대적 원자 집합'''(relatively atomic set|영어 ) 또는 '''강하게 원자적'''(strongly atomic)이라고 한다.임의의 두 원소 a, b \in P 에 대해, 만약 a < b 이면 구간 [a, b] = \{c \in P \mid a \le c \le b\} 는 원자 집합이다. 이는 a < b 인 모든 a, b 에 대해 a \lessdot c \le b 를 만족하는 원소 c 가 존재한다는 의미와 같다. 여기서 \lessdot 는 덮개 관계를 나타낸다. 포셋 (poset)은 상대적으로 원자적이다.(P,\le) 가 다음 두 조건을 만족하면 '''원자성 집합'''(atomistic set|영어 )이라고 한다. (이 용어는 '원자적(atomic)'과 혼동하지 않도록 주의해야 한다.)최소 원소 \bot \in P 를 갖는다. 임의의 원소 a \in P 에 대해, a 는 그 아래에 있는 원자들의 집합 S_a 의 최소 상한(supremum)이다. 즉, a = \sup S_a 이다. 멱집합 예시는 원자적이면서 동시에 원자성 집합이다.집합론 에서의 싱글톤 개념을 추상적으로 일반화한 것으로 볼 수 있다(그림 1 참조). 원자성(atomistic property)은 비어 있지 않은 집합에서 원소를 선택하는 능력을 순서론 적 맥락에서 추상적으로 일반화한 개념을 제공한다.2. 1. 2. 상대적 원자 집합
부분 순서 집합 (P,\le) 가 다음 조건들을 만족시키면, '''상대적 원자 집합'''(relatively atomic set영어 )이라고 한다.임의의 원소 a,b\in P 에 대하여, a라면 구간 [a,b]=\{c\in P\colon a\le c\le b\} 는 원자 집합 이다. a인 원소 a, b 에 대해, a \lessdot c \le b 인 원소 c 가 존재할 때 '''상대적 원자 집합'''이라고도 한다. 여기서 \lessdot 는 덮개 관계를 나타낸다. 이는 모든 구간 [a, b] 가 원자 집합이라는 조건과 동치이다. 때로는 '''강하게 원자적'''(strongly atomic영어 )이라고도 불린다.원자 집합 이다. 모든 유한 포셋 은 상대적 원자 집합이다.2. 1. 3. 원자성 집합
부분 순서 집합 (P,\le) 가 다음 조건들을 만족시키면, '''원자성 집합'''(atomistic set영어 )이라고 한다.최소 원소 \bot\in P 를 갖는다. 임의의 원소 a\in P 에 대하여, \sup S_a=a 인, 원자 들의 집합 S_a 가 존재한다. 멱집합 은 부분 집합 관계를 순서로 가질 때 원자성 집합이 된다 (그림 1 참고). 각 부분 집합은 그 집합에 포함된 원소 하나짜리 집합들(싱글톤 집합, 이 경우 원자에 해당)의 합집합으로 표현될 수 있기 때문이다. 반면, 그림 2와 같이 세 개 이상의 원소를 가진 선형 순서 집합이나 4의 약수 격자는 원자성 집합이 아니다. 4의 약수 격자는 원자적 집합이지만, 가장 큰 원소인 4는 유일한 원자인 2의 상한으로 표현되지 않는다.집합론 의 싱글톤 집합을 추상화한 개념으로 볼 수 있으며, 원자성이라는 성질은 비어 있지 않은 집합에서 원소를 선택하는 능력과 유사한 개념을 순서론 적으로 일반화한 것으로 이해할 수 있다.2. 2. 공원자
반대로 최대 원소 \top 을 가진 부분 순서 집합에서는 '''공원자'''(coatom영어 )라는 개념과 관련 집합 개념들을 정의할 수 있다. 즉, 부분 순서 집합 (P,\le) 의 '''공원자'''는 그 반대 순서 집합 P^{\operatorname{op}}=(P,\ge) 의 원자이다. 마찬가지로, '''공원자 집합'''(coatomic set영어 ), '''상대적 공원자 집합'''(relatively coatomic set영어 ), '''공원자성 집합'''(coatomistic set영어 )은 그 반대 순서 집합이 각각 원자 집합, 상대적 원자 집합, 원자성 집합인 부분 순서 집합을 의미한다.'''코아톰'''(coatom)은 '''1''' 바로 아래에 있는 원소, 즉 '''1'''에 의해 덮이는(covered) 원소이다. 집합은 모든 원소 ''b'' < '''1''' 에 대해, ''b'' ≤ ''c'' 인 코아톰 ''c''가 존재하면 '''코아토믹'''(coatomic)하다고 한다. (즉, '''1'''보다 작은 모든 원소는 어떤 코아톰 아래에 있다.) 집합은 모든 원소가 코아톰들의 집합의 최대 하한(infimum)으로 표현될 수 있으면 '''코아토미스틱'''(coatomistic)하다고 한다.
3. 성질
0 을 가진 부분 순서 집합 에서, 0 보다 큰 모든 원소 ''b''에 대해 ''b'' 아래에 원자 ''a''가 존재할 때, 즉 ''b'' ≥ ''a'' :> 0 인 원소 ''a''가 존재하면 (여기서 :>는 덮개 관계를 나타낸다), 그 부분 순서 집합을 원자적(atomic) 이라고 한다. 0 을 가진 모든 유한 부분 순서 집합은 원자적이다. 그러나 일반적인 순서로 정렬된 음이 아닌 실수 집합은 원자적이지 않으며, 실제로 원자가 없다.상대적으로 원자적(relatively atomic) 또는 강하게 원자적(strongly atomic) 이라고 한다. 최소 원소를 갖는 모든 상대적으로 원자적인 부분 순서 집합은 원자적(atomic)이다. 모든 유한 부분 순서 집합(포셋)은 상대적으로 원자적이므로, 최소 원소를 갖는 유한 부분 순서 집합은 원자적(atomic)이다.0 을 가진 부분 순서 집합에서 모든 원소가 원자 집합의 최소 상한이면, 그 부분 순서 집합을 원자적(atomistic) 이라고 한다(이는 앞서 정의한 '원자적(atomic)'과는 다른 개념이므로 혼동하지 않도록 주의해야 한다). 예를 들어, 세 개의 원소를 가진 선형 순서는 원자적(atomistic)이지 않다(그림 2 참조).부분 순서 집합 의 원자는 집합론 의 싱글톤을 추상적으로 일반화한 개념으로 볼 수 있다(그림 1 참조). 원자성(atomicity, 원자적(atomic)인 속성)은 비어 있지 않은 집합에서 원소를 선택하는 능력을 순서론 적 맥락에서 추상적으로 일반화한 것이다.
4. 예
자연수 (음이 아닌 정수)의 전순서 집합 (\mathbb N,\le) 는 최소 원소 0을 가지며, 이 부분 순서 집합의 원자는 1밖에 없다. 이는 원자 집합이며, 상대적 원자 집합이며, 또한 원자성 집합이다. 보다 일반적으로, 모든 정렬 집합은 원자 집합이며, 상대적 원자 집합이며, 원자성 집합이다.양의 정수의 약수 관계 \mid 에 대한 격자 (\mathbb Z^+,\mid) 는 최소 원소 1을 가지며, 원자는 소수 이다. 이 집합은 역시 원자 집합이며, 상대적 원자 집합이지만 원자성 집합이 아니다. 예를 들어, 4는 원자들의 집합의 상한으로 나타낼 수 없다 (그림 2 참조). 집합 S 의 멱집합 (\mathcal P(S),\subseteq) 은 최소 원소 \varnothing 을 갖고, 원자들은 크기가 1인 부분 집합들(싱글톤)이다. 이 역시 원자 집합이며, 상대적 원자 집합이며, 원자성 집합이다 (그림 1 참조). 음이 아닌 실수의 전순서 집합 (\mathbb R_{\ge0},\le) 은 최소 원소 0을 갖지만, 원자를 갖지 않는다.
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