배중률

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1. 개요
2. 역사
3. 배중률에 대한 비판과 논쟁
4. 한국 사회와 배중률
참조

1. 개요

배중률은 어떤 명제와 그 명제의 부정 중 적어도 하나는 반드시 참이라는 논리 원리이다. 아리스토텔레스는 이 원리를 제시했으며, 라이프니츠와 러셀 등에 의해 정식화되었다. 하지만, 직관주의 논리에서는 배중률을 받아들이지 않으며, 비구성적 증명에 대한 비판과 거짓말쟁이의 역설 등과 같은 논리적 문제로 인해 논쟁의 대상이 되기도 한다. 현대 논리학에서는 배중률을 실패로서의 부정 개념으로 대체하기도 한다.

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배중률
논리학
유형	정리
다른 이름	배중률
같이 보기	모순율, 긍정 긍정의 법칙, 이중 부정
설명
내용	어떤 진술과 그 진술의 부정은 동시에 거짓일 수 없다.
표현	임의의 명제 P에 대해, P 또는 (or) not-P는 참이다
수식	P ∨ ¬P
적용 가능성	고전 논리
적용 불가능성	직관 논리 다치 논리 퍼지 논리

2. 역사

아리스토텔레스는 애매함은 애매한 명칭을 쓸 때 생기는 것이지, '사실' 자체에는 애매함이 없다고 보았다. 그는 "같은 대상임과 동시에 같은 사건이 아님은 동시에 성립되지 않는다"고 여겼는데, 이를 명제논리로 나타내면 ¬(''P'' ∧ ¬ ''P'')가 된다. 이는 이중부정의 법칙(¬¬ ''''P'''' ⇔ ''P'')을 인정하면 현대에서 말하는 배중률(''P'' ∨ ¬ ''P'')과 같지만, 그렇지 않으면 의미가 달라진다. 전자는 어떤 명제가 동시에 참이면서 거짓일 수 없다고 주장하는 것이고, 후자는 어떤 명제가 참도 거짓도 아닌 것은 없다고 주장하는 것이다.^[4]

라틴어로는 "세 번째 명제가 배제되는 원리"라는 뜻의 Principium tertii exclusi^la 또는 "세 번째 명제(가능성)는 존재하지 않는다"라는 뜻의 Tertium non datur^la라고 하며, 영어로는 Law of excluded middle(배중률·배중원리·배중법) 또는 Law of the excluded third^영어(배제되는 제3자의 원리^[18], 제3자 거절의 원리^[19])라고 불린다.

배중률은 임의의 명제 P에 대해 그것이 성립하거나 성립하지 않거나 둘 중 하나이며, 그 중간은 없다고 말하는 논리학의 법칙이다. 는 항상 참(항진)이라는 주장으로 볼 수 있다.^[20] "모든 명제는 참 또는 거짓 둘 중 하나의 진리값을 가진다"는 Principle of bivalence|한국어 발음표기=이치 원리^영어와 직관적으로 같게 느껴지며, 고전 논리학에서는 동등하게 취급되지만 양상 논리학에서는 다르다(이중 부정 제거 참조).

고전적 논리 체계에서는 동일률, 무모순율과 함께 사고의 세 가지 원칙을 이룬다.^[21] 하지만 논리 체계에 따라서는 이중 부정 제거나 퍼스의 법칙 등 다른 주장이 공리로 채택되기도 한다.

직관주의 논리에서는 배중률이 공리로 채택되지 않으며, 직관주의 논리의 정리도 아니다. 즉, 배중률은 직관주의 논리에서 증명할 수 없다. 하지만 배중률의 이중 부정( )이나 삼중 부정 제거( ) 등은 직관주의 논리에서도 증명 가능하므로, 배중률이 부정되어 있는 것은 아니다.

오류의 일종인 잘못된 이분법을 "배중의 오류"(the fallacy of the excluded middle)라고 부르기도 하지만,^[22]^[23] 각각의 정의대로 이들은 서로 다른 개념이다.

2. 1. 아리스토텔레스

아리스토텔레스는 무모순율에 대해 논하면서, 두 개의 모순되는 명제(즉, 한 명제가 다른 명제의 부정) 중 하나는 참이고 다른 하나는 거짓이어야 한다고 주장했다.^[5] 그는 또한 ''형이상학'' 4권에서 이를 원칙으로 언급하며, 모든 경우에 긍정하거나 부인해야 하고,^[6] 모순의 두 부분 사이에는 아무것도 있을 수 없다고 말했다.^[7]

아리스토텔레스는 모호성이 모호한 이름의 사용에서 발생할 수 있지만 사실 자체에는 존재할 수 없다고 썼다.

"동일한 것이 존재하고 존재하지 않는 것은 불가능하다"는 아리스토텔레스의 주장은 명제 논리에서 ~(P ∧ ~P)로 작성될 수 있다. 현대의 이른바 고전 논리에서 이 진술은 배중률 (P ∨ ~P)과 동등하며, 아리스토텔레스의 주장에서 부정의 분배를 통해 이루어진다. 전자는 어떤 진술도 ''둘 다'' 참이자 거짓일 수 없다고 주장하는 반면, 후자는 어떤 진술이 ''둘 중 하나'' 참이거나 거짓이어야 한다고 요구한다.

그러나 아리스토텔레스는 또한 "모순되는 것들이 동시에 동일한 대상에 대해 참일 수 없으므로, 반대되는 것들도 동시에 동일한 대상에 속할 수 없다"고 썼다. 그는 이어서 "모순 사이에는 중간이 있을 수 없으며, 하나의 대상에 대해 우리는 어떤 술어를 긍정하거나 부인해야 한다"고 제안한다. 아리스토텔레스의 전통 논리의 맥락에서 이것은 배중률, 즉 P ∨ ~P에 대한 놀랍도록 정확한 진술이다.

그러나 ''해석에 관하여''에서 아리스토텔레스는 미래 우연성의 경우, 해상 전투에 대한 논의에서 배중률을 부정하는 것처럼 보인다.

2. 2. 라이프니츠

라이프니츠는 "모든 판단은 참 또는 거짓이다"라는 간결한 형태로 배중률을 정식화했다.^[18]

2. 3. 버트런드 러셀과 『수학 원리』

버트런드 러셀은 수학 원리에서 배중률을 명제 논리의 정리로 제시했다.^[8] 그는 『철학의 문제들』에서 배중률을 비모순율과 구별하며, 아리스토텔레스적 의미에서 자명한 세 가지 사고의 법칙 중 하나로 보았다.

사고의 법칙
동일성의 법칙
비모순율: "어떤 사상(事象)이 어떤 속성을 가지면서 동시에 가지지 않는다는 것은 있을 수 없다"
배중률: "모든 사상은 어떤 속성을 가지거나 가지지 않거나 둘 중 하나이다"

러셀에 따르면, 배중률은 비배타적 논리합의 "중간"을 배제한다.^[31] 즉, 모든 사건은 어느 속성을 가지거나, 가지지 않거나 둘 중 하나라는 것이다.

''수학 원리''에서 배중률은 다음과 같이 표현된다.

: $\mathbf{*2\cdot11}. \ \ \vdash . \ p \ \vee \thicksim p$ .^[8]

이는 이중 부정의 원리, 전치 원리 등 다양한 논리적 도구를 도출하는 데 사용되었다. ''수학 원리''에 제시된 주요 정리들은 다음과 같다.

✸2.1 ~''p'' ∨ ''p'' ("이것은 배중률이다" (''PM'', p. 101).)
✸2.11 ''p'' ∨ ~''p'' (명제의 순서는 공리 1.4에 의해 허용된다)
✸2.12 ''p'' → ~(~''p'') (이중 부정의 원리, 1부)
✸2.14 ~(~''p'') → ''p'' (이중 부정의 원리, 2부)
✸2.15 (~''p'' → ''q'') → (~''q'' → ''p'') (4개의 "전치 원리" 중 하나)
✸2.16 (''p'' → ''q'') → (~''q'' → ~''p'') ("전치 원리"의 예시)
✸2.17 ( ~''p'' → ~''q'' ) → (''q'' → ''p'') (또 다른 "전치 원리")
✸2.18 (~''p'' → ''p'') → ''p'' ( "귀류법의 보어")

이러한 정리들, 특히 ✸2.1, ✸2.11, 그리고 ✸2.14는 직관주의에서 받아들여지지 않는다.

3. 배중률에 대한 비판과 논쟁

직관주의 논리 등 일부 논리 체계에서는 배중률이 받아들여지지 않는다.^[25] 배중률에 의존하는 논증의 예로, ''a''^''b''가 유리수가 되는 두 무리수 ''a''와 ''b''가 존재함을 증명하는 과정이 있다.^[29] 이 증명에서 "이 수는 유리수 또는 무리수 가운데 하나이다"라는 주장은 배중률에 근거한다. 직관주의는 구체적인 증거가 없는 한 이러한 주장을 인정하지 않는다.^[30]

1800년대 후반부터 1930년대에 이르기까지 힐베르트, 헤르만 바일, L. E. J. 브라우어르 사이에 배중률을 둘러싼 격렬한 논쟁이 있었다. 레오폴트 크로네커로부터 시작된 브라우어르의 직관주의 철학에 대해 힐베르트는 크로네커의 사상을 매우 싫어했으며, 이 논쟁은 힐베르트에게 큰 영향을 미쳤다. 이 논쟁은 ''수학 원리''(1910–1913)를 낳았고, 이 작품은 배중률에 대한 정확한 정의를 제시하며 20세기 초 수학자들에게 필요한 도구를 제공했다. 브라우어르는 이 논쟁을 "부정" 또는 "비존재" 증명과 "구성적" 증명의 사용 문제로 축소했다.

1941년 예일대 강연과 그 후의 논문에서 괴델은 "보편 명제의 부정은 반례의 존재를 주장하는 것으로 이해되어야 한다"는 해결책을 제안했다.

거짓말쟁이의 역설이나 콰인의 역설은 배중률에 대한 추정적 반례로 제시되기도 한다.

3. 1. 직관주의 논리

직관주의 논리는 배중률을 공리나 정리로 인정하지 않는다.^[25] 유한한 집합에 대해서는 배중률을 적용하지만, 무한 집합에 대해서는 허용하지 않는다. 이는 무한을 결코 완성될 수 없는 것으로 보는 직관주의의 관점에 따른 것이다.^[11]

힐베르트와 브라우어르는 각각 배중률을 무한에 적용하는 예를 제시했다. 힐베르트의 예는 "소수는 유한 개인가 무한 개인가"이며, 브라우어르의 예는 "모든 수학적 종은 유한인가 무한인가"이다. 일반적으로 직관주의는 유한 집합에 대한 배중률 적용은 허용하지만, 무한 집합(예: 자연수)에 대해서는 허용하지 않는다.^[12]

직관주의 논리에서 배중률이 부정되는 것은 아니며, 배중률의 이중 부정이나 삼중 부정 제거 등은 증명 가능하다.

3. 2. 비구성적 증명

직관주의에서 허용하지 않는 ''비구성적 증명''의 예시가 배중률에 의존하는 증명 중 일부에서 나타난다.^[24] 이러한 증명은 정리를 만족하는 구체적인 대상을 제시하지 않고, 단지 두 가지 가능성만을 제시하며, 그중 하나는 반드시 성립해야 하기 때문에 비구성적이다.

예를 들어, ''a''^''b''가 유리수가 되는 두 무리수 ''a''와 ''b''가 존재함을 증명하는 경우를 살펴보자.

\sqrt{2}

가 무리수라는 것은 이미 알려져 있다. 여기서

\sqrt{2}^{\sqrt{2}}

라는 수를 생각해보면, 배중률에 의해 이 수는 유리수이거나 무리수 둘 중 하나이다. 만약 이 수가 유리수라면 증명이 완료된다. 만약 이 수가 무리수라면,

a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}

,

b=\sqrt{2}

로 놓으면,

a^b = \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\right)} = \sqrt{2}^2 = 2

가 되어 2는 유리수이므로 증명이 완료된다.

이 논증에서 "

\sqrt{2}^{\sqrt{2}}

는 유리수 아니면 무리수이다."라는 주장은 배중률에 기초한다. 직관주의에서는, a가

\sqrt{2}

인지

\sqrt{2}^{\sqrt{2}}

인지 특정되지 않은 위와 같은 논법, 혹은

\sqrt{2}^{\sqrt{2}}

에 대한 어떠한 증거(수, 실수로서의 존재 가능성, 혹은 유리수인지 무리수인지와 같은 구체적인 증명)가 없는 한, 이러한 주장을 인정하지 않는다.^[10]

실제로

a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}

는 무리수이지만, 이를 쉽게 증명하는 방법은 알려져 있지 않다. (Davis 2000:220) 다만, 다른 수를 사용하면 구성적 증명이 가능하다. 예를 들어

a=\sqrt{2}

와

b=\log_2 9

는 모두 무리수임을 쉽게 증명할 수 있으며,

a^b=3

이다. 이것은 직관주의에서 인정하는 증명 방법 중 하나이다.

데이비스는 "구성적"에 대해 "실제로 일정한 조건을 만족하는 수학적 실체가 존재한다는 증명은 명시적으로 문제의 실체를 나타내는 방법을 제공해야 할 것이다." (p. 85)라고 했다. 그러한 증명은 전체의 완전성의 존재를 전제로 하며, 이는 직관주의자에게는 결코 완전하지 않은 "무한"으로 확장하는 것을 허용하지 않는다.

고전 수학에서는 "비구성적" 또는 "간접적"인 존재 증명이 있지만, 직관주의는 그것을 받아들이지 않는다.^[25]

3. 3. 거짓말쟁이의 역설

거짓말쟁이 역설과 같이 자기 참조적 역설은 배중률에 대한 반례로 제시되기도 한다. "이 문장은 거짓이다"라는 문장은 참도 거짓도 아닌 것으로 보이기 때문이다.^[15]

3. 4. 현대 논리학에서의 논의

L. E. J. 브라우어와 아렌트 헤이팅 같은 수학자들은 현대 수학에서 배중률의 유용성에 대해 의문을 제기했다.^[14] 현대 수학적 논리에서는 배중률이 자기 모순을 일으킬 수 있다고 주장한다. 논리적으로 참도 거짓도 아닌 명제를 만드는 것이 가능하다. 흔한 예로 "이 문장은 거짓이다"라는 거짓말쟁이의 역설이 있는데, 이는 스스로 참도 거짓도 아니라고 주장한다.^[15] 아서 프라이어는 그 역설이 참 또는 거짓이 될 수 없는 명제의 예가 아니라고 주장했다. "이 문장은 거짓이 아니다"라는 명제의 부정이 참으로 할당될 수 있으므로 배중률은 여전히 유효하다. 집합론에서 이러한 자기 참조적 역설은 "자신을 포함하지 않는 모든 집합의 집합"을 검토함으로써 구성할 수 있다. 이 집합은 명확하게 정의되지만, 러셀의 역설을 초래한다.^[16]^[17] 집합이 자신의 요소로 자신을 포함하는가? 그러나 현대의 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 이러한 유형의 모순이 더 이상 허용되지 않는다. 커리의 역설처럼 부정조차 사용하지 않고도 자기 참조적 역설을 구성할 수 있다.

4. 한국 사회와 배중률

한국 사회는 전통적으로 이분법적 사고에 익숙하며, 이는 배중률과 유사한 측면이 있다. 하지만 현대 사회의 복잡성과 다양성을 고려할 때, 배중률만으로는 설명하기 어려운 현상들이 많다.

참조

_[1] 웹사이트 Laws of thought https://www.britanni[...] 2021-03-20
_[2] 웹사이트 Realism – Metaphysical realism and objective truth https://www.britanni[...] 2021-03-20
_[3] 서적 Logic https://books.google[...] Routledge 1999
_[4] 문서 P. T. Geach, The Law of Excluded Middle in ''Logic Matters,'' p. 74
_[5] 문서 ''On Interpretation'', c. 9
_[6] 문서 ''Metaphysics'' ''B'' 2, 996b 26–30
_[7] 문서 ''Metaphysics'' Γ 7, 1011b 26–27
_[8] 서적 Principia Mathematica http://name.umdl.umi[...] Cambridge
_[9] 문서 The original symbol as used by Reichenbach is an upside down V, nowadays used for AND. The AND for Reichenbach is the same as that used in Principia Mathematica – a "dot" cf p. 27 where he shows a truth table where he defines "a.b". Reichenbach defines the exclusive-or on p. 35 as "the negation of the equivalence". One sign used nowadays is a circle with a + in it, i.e. ⊕ (because in binary, a ⊕ b yields modulo-2 addition – addition without carry). Other signs are ≢ (not identical to), or ≠ (not equal to).
_[10] 서적 Metamath: A Computer Language for Pure Mathematics http://us.metamath.o[...]
_[11] 문서 In a comparative analysis (pp. 43–59) of the three "-isms" (and their foremost spokesmen)—Logicism (Russell and Whitehead), Intuitionism (Brouwer) and Formalism (Hilbert)—Kleene turns his thorough eye toward intuitionism, its "founder" Brouwer, and the intuitionists' complaints with respect to the law of excluded middle as applied to arguments over the "completed infinite".
_[12] 문서 For more about the conflict between the intuitionists (e.g. Brouwer) and the formalists (Hilbert) see [[Foundations of mathematics]] and [[Intuitionism]].
_[13] 서적 Logic and Data Bases http://www.doc.ic.ac[...] Springer-Verlag 1978
_[14] 서적 "Proof and Knowledge in Mathematics" by Michael Detlefsen https://books.google[...] Routledge 1992-01
_[15] 웹사이트 Paradoxical Truth https://archive.nyti[...] 2023-09-10
_[16] 간행물 Russell's Paradox
_[17] 논문 The Logical Paradoxes and the Law of Excluded Middle
_[18] 문서 中村元「排中律に関するインド論理家の見解」（印度學佛教學研究、1982年30巻2号 p.516-521） https://www.jstage.j[...]
_[19] 문서 ブリタニカ国際大百科事典小項目事典「排中律」 https://kotobank.jp/[...]
_[20] 문서 小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)「排中律」石本新 https://kotobank.jp/[...]
_[21] 문서 ここに[[充足理由律]]を加え[[:de:Denkgesetze]]（独：「思考の原理」、思考の四原則）と呼ぶことがある。
_[22] 서적 An Illustrated Book of Bad Arguments https://bookofbadarg[...] The Experiment 2023-10-28
_[23] 웹사이트 絵で見てわかる誤謬の事典 https://bookofbadarg[...] 2023-10-28
_[24] 문서 例えば, Megill, Norm. ''Metamath: A Computer Language for Pure Mathematics'', footnote on p. 17, http://us.metamath.o[...]
_[25] 문서 3 つの主義（ラッセルとホワイトヘッドの論理主義、ブラウワーの直観主義、ヒルベルトの形式主義）を比較分析する過程で、クリーネは直観主義とその提唱者[[ライツェン・エヒベルトゥス・ヤン・ブラウワー|ブラウワー]]に目を向け、直観主義者たちからの、排中律を「完全な無限」についての議論に適用することへの異議、に目をむけている。
_[26] 문서 本来 Reichenbach が使った記号は V を逆さにしたものだが、現在ではそれは論理積の意味になる。Reichenbach は論理積の記号としては Principia Mathematica と同じ「ドット」を使っている (cf. p. 27)。Reichenbach は同一性の否定として p. 35 で排他的論理和を定義している。 "⊕" は本来、2進数のキャリーのない加算を意味し、一桁の2進数では排他的論理和と等価である。他にも "≢" や "≠" といった記号が使われる。
_[27] 웹사이트 論理学 http://www.brn.dis.t[...] 2016-06-13
_[28] 웹사이트 7.4 直観論理と古典論理 http://www.h6.dion.n[...] 2013-10-19
_[29] 문서 이것은 잘 알려진 예이다. 이를테면, Megill, Norm. ''Metamath: A Computer Language for Pure Mathematics'', footnote on p. 17, http://us.metamath.o[...]
_[30] 문서 세 가지 주장(러셀과 화이트헤드의 논리주의, 브라우어르의 직관주의, 힐베르트의 형식주의)을 비교분석하는 과정에서, 클레이니는 직관주의와 그 제창자 [//ko.wikipedia-mirror.org/wiki/%EB%9D%BC%EC%9C%84%ED%8A%B8%EC%A0%84_%EB%B8%8C%EB%9D%BC%EC%9A%B0%EC%96%B4%EB%A5%B4 브라우어르]에 관심을 돌려, 직관주의자들의 배중률을 「완전한 무한」에 대한 의론에 적용하는 것에 대한 이의, 에 관심을 가지고 있다.
_[31] 문서 라이헨바흐가 본래 사용한 기호는 V를 거꾸로 쓴 것이었지만,현재는 그것은 논리곱의 의미를 가진다. 라이헨바흐는 논리곱의 기호로는 Principia Mathematica와 같이 「닷」을 썼다(cf. p. 27). 라이헨바흐는 동일성의 부정으로서 p. 35에서 배타적 논리합을 정의했다. "⊕"는 본래 2진수의 자리올림 없는 가산을 의미하고, 한 자리의 2진수에서는 배타적 논리합과 등가이다. 그 밖에도 "≢" 나 "≠"와 같은 기호가 사용된다.

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