변수 (수학)

3. 표기법

변수는 일반적으로 한 글자로 표시되며, 대개 로마자를 사용하고 그리스 문자는 덜 사용한다. 글자는 소문자나 대문자로 쓰일 수 있다. 글자 뒤에는 아래 첨자가 올 수 있는데, 이는 숫자(''x''₂와 같이), 다른 변수(''x''_''i''), 단어나 단어의 약자(''x''_total), 또는 수식(''x''_{2''i'' + 1})이 될 수 있다. 컴퓨터 과학의 영향으로 순수 수학에서도 여러 글자와 숫자로 이루어진 변수명이 사용되기도 한다.

르네 데카르트의 관례를 따라, ''a, b, c''와 같이 알파벳의 앞부분에 있는 글자들은 주로 알려진 값과 매개변수에 사용되고, ''x, y, z''와 같이 알파벳의 끝부분에 있는 글자들은 주로 미지수와 함수의 변수에 사용된다.^[38][16] 수학 출판물에서는 변수와 상수를 이탤릭체로 표기하는 것이 일반적이다.^[39][17]

예를 들어, 일반적인 이차 함수는 관례적으로 $ax^2+bx+c$로 표기되는데, 여기서 ''a, b, c''는 매개변수(또는 상수 함수이므로 상수라고도 함)이고 ''x''는 함수의 변수이다. 이 함수를 더 명시적으로 표기하는 방법은 $x\backslash mapsto\; a\; x^2\; +\; b\; x\; +\; c$인데, 이는 ''x''의 함수-인수 지위와 ''a, b, c''의 상수 지위를 명확히 한다. ''c''는 ''x''의 상수 함수인 항에 나타나므로 상수항이라고 부른다.^[40][18]

수학의 특정 분야와 응용 분야에는 변수에 대한 특정한 명명 규칙이 있다. 유사한 역할이나 의미를 가진 변수들은 흔히 연속된 문자나 같은 문자에 다른 아래 첨자를 붙여 표기한다.

• 3차원 좌표 공간의 세 축은 관례적으로 ''x, y, z''로 부른다.
• 물리학에서 변수의 이름은 대체로 그것이 기술하는 물리량에 의해 결정되지만, 다양한 명명 규칙이 존재한다. 예를 들어 해석역학, 전자기학, 상대성 이론 등에서는 3차원 공간 좌표 (''x'', ''y'', ''z'')에 시간 ''t''를 더하여 사용하기도 한다.
• 확률론과 통계학에서 자주 따르는 관례는 확률 변수의 이름으로 ''X, Y, Z''를 사용하고, 이에 대응하는 더 잘 정의된 값을 나타내는 변수에는 ''x, y, z''를 사용하는 것이다.

4. 변수의 종류

하나의 수학 공식 안에서도 변수는 그것이 나타내는 대상이나 역할에 따라 다른 이름으로 불리는 경우가 많다. 예를 들어, 어떤 방정식을 풀 때 찾아야 하는 값을 나타내는 변수는 '''미지수'''라고 부르고, 문제에서 처음부터 주어진 값으로 취급되는 변수는 '''매개변수'''나 '''계수'''라고 부른다.^[1][2]

함수의 맥락에서 '변수'는 주로 함수의 인수를 가리킨다.^[1][2] 또한, 특정 변수의 값에 관계없이 독립적인 값을 갖는 변수는 상수 함수를 정의하며, 이때 해당 변수를 '''상수'''라고 부르기도 한다. 예를 들어, 부정적분의 적분 상수가 있다.^[1][2]

변수는 그 역할과 성격에 따라 다음과 같이 더 구체적인 이름으로 불리기도 한다.

• '''미지수''': 방정식 등에서 풀어야 할 값을 나타내는 변수.^[1][2]
• '''부정원'''(indeterminate^eng): 다항식이나 형식적 멱급수에 나타나는 기호.^[1][2]
• '''매개변수'''(parameter^eng): 문제의 입력 값의 일부이거나 과정 동안 값이 변하지 않는다고 가정하는 변수.^[1][2] 수열의 지수(''index'')도 이와 유사하다.^[3]
• '''자유 변수와 종속 변수''': 변수 간의 관계에서 독립적으로 변하는 변수와 그에 따라 값이 결정되는 변수.^[1][2]
• '''확률 변수''': 확률론에서 무작위 실험 결과에 따라 값이 정해지는 변수.^[1][2]

4. 1. 미지수

4. 2. 부정원

4. 3. 매개변수

4. 4. 자유 변수와 종속 변수

• '''미지수''': 방정식에서 풀어야 하는 변수를 의미한다.
• '''미정수'''(부정원): 다항식이나 형식적 멱급수에 등장하는 기호로, 변수라고 불리기도 한다. 엄밀히 말하면 미정수는 변수가 아니라 다항식환이나 형식적 멱급수 환의 상수에 해당하지만, 다항식이나 멱급수가 정의하는 함수와의 강한 연관성 때문에 특별한 종류의 변수로 취급하는 경우가 많다.
• '''매개변수''': 어떤 문제를 다룰 때 입력값의 일부로 주어지며, 문제 해결 과정 동안 값이 변하지 않고 일정하게 유지되는 양을 말한다. 예를 들어, 역학에서 물체의 질량이나 크기는 운동을 분석하는 동안 변하지 않는 '매개변수'로 취급된다. 컴퓨터 과학에서는 '매개변수'가 함수의 인수를 의미하는 다른 뜻으로 사용되기도 한다.
• '''자유 변수와 종속 변수''': 변수 간의 관계에서 독립적으로 변할 수 있는 변수(자유 변수)와 그에 따라 값이 결정되는 변수(종속 변수)를 구분하는 명칭이다.
• '''확률 변수''': 확률론 및 관련 응용 분야에서 사용되는 변수로, 무작위 실험의 결과에 따라 값이 결정된다.

4. 5. 확률 변수

4. 6. 종속변수와 독립변수

4. 7. 예시

5. 관례적인 변수명

변수는 일반적으로 한 글자로 표시되며, 대개 로마자를 사용하고 그리스 문자는 덜 사용한다. 소문자나 대문자로 쓸 수 있으며, 글자 뒤에는 아래 첨자가 올 수 있다. 아래 첨자로는 숫자($x\_2$), 다른 변수($x\_i$), 단어나 단어 약자($x\_\{\backslash text\{total\}\}$), 또는 수식($x\_\{2i+1\}$) 등이 올 수 있다. 컴퓨터 과학의 영향으로 순수 수학에서도 여러 글자와 숫자로 이루어진 변수명이 사용되기도 한다.

르네 데카르트의 관례를 따라, ''a, b, c''와 같이 알파벳 앞부분의 글자들은 주로 알려진 값과 매개변수에 사용되고, ''x, y, z''와 같이 알파벳 끝부분의 글자들은 주로 미지수와 함수의 변수에 사용된다.^[38] 수학 출판물에서는 변수와 상수를 이탤릭체로 표기하는 것이 일반적이다.^[39]

예를 들어, 일반적인 이차 함수는 관례적으로 $ax^2+bx+c$로 표기하는데, 여기서 ''a, b, c''는 매개변수(또는 상수 함수이므로 상수라고도 함)이고 ''x''는 함수의 변수이다. 이 함수를 더 명시적으로 표기하는 방법은 $x\backslash mapsto\; a\; x^2\; +\; b\; x\; +\; c$인데, 이는 ''x''의 함수-인수 지위와 ''a, b, c''의 상수 지위를 명확히 한다. ''c''는 ''x''의 상수 함수인 항에 나타나므로 상수항이라고 부른다.^[40]

수학의 특정 분야와 응용 분야에는 변수에 대한 특정한 명명 규칙이 있다. 유사한 역할이나 의미를 가진 변수들은 흔히 연속된 문자나 같은 문자에 다른 아래 첨자를 붙여 표기한다. 예를 들어, 3차원 좌표 공간의 세 축은 관례적으로 ''x, y, z''로 부른다. 물리학에서 변수의 이름은 대체로 그것이 기술하는 물리량에 의해 결정되지만, 다양한 명명 규칙이 존재한다. 확률론과 통계학에서 자주 따르는 관례는 확률 변수의 이름으로 ''X, Y, Z''를 사용하고, 이에 대응하는 더 잘 정의된 값을 나타내는 변수에는 ''x, y, z''를 사용하는 것이다.

다음은 여러 분야에서 관례적으로 사용되는 변수명의 예시이다.

변수를 나타내는 기호로는 로마자 소문자 ''x'', ''y'', ''z''나 그리스 문자 소문자 ξ, η, ζ 등이 자주 사용되는데, 이는 데카르트의 표기법을 따른 것이다. 지수(index)에는 머리글자 ''i''부터 시작하여 ''j'', ''k'', ''l'' 등이 자주 사용된다. 자연수나 정수의 첨자라면 ''m'', ''n'' 등이 종종 사용된다. 매개변수(parameter)로는 ''r'', ''s'', ''t'', ''u'' 등 주 변수의 주변 문자들을 자주 사용한다.

대개 ''x''는 제1 변수, ''y''는 제2 변수, ''z''는 제3 변수로 취급된다. 공간 내의 점 집합을 다루는 경우 변수는 3개로 거의 충분하지만, 변수의 수가 4개일 때는 ''w''를 더하여 (''w'', ''x'', ''y'', ''z'')로 하는 경우와 (''x'', ''y'', ''z'', ''w'')로 하는 경우가 있다. 전자는 알파벳 순서대로 나열한 것이고, 후자는 ''x''를 제1 변수로, ''w''는 4번째 변수로 추가했다는 것을 강조하는 표기법이다. 예를 들어, 물리학에서는 해석역학, 전자기학 및 상대성 이론 등의 분야에서 3차원 공간의 좌표 (''x'', ''y'', ''z'')에 시간 ''t''가 더해지는데, 이때 시간 좌표를 앞에 놓을지 뒤에 놓을지는 분야나 문맥에 따라 다르다. 첨자 표기법을 사용하여 ''x''₁, ''x''₂, ''x''₃, ''x''₄로 하거나, 다중 첨자 표기법에 의해 묶어서 ($x^\backslash mu$)로 쓰기도 하는데, 이 경우 ''x'' = $x^1$, ''y'' = $x^2$, ''z'' = $x^3$로 하기 위해, 시간 좌표를 앞에 놓을지 뒤에 놓을지에 따라 첨자를 $ct\; =\; x^0$로 하는 경우와 $ct\; =\; x^4$로 하는 경우로 나뉜다.

일반적으로 임의 개수(무한 개 포함)의 변수를 다룰 때는 첨자 표기법을 주로 사용한다.

6. 모듈라이 공간

상수와 변수를 고려하는 것은 모듈라이 공간의 개념으로 이어질 수 있다. 예를 들어, 포물선의 방정식 $$y\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c$$ 를 생각해 보자. 여기서 $a,\; b,\; c,\; x,\; y$는 모두 실수로 간주된다. 이 방정식을 만족하는 2차원 평면 위의 점 $(x,\; y)$의 집합은 포물선의 그래프를 그린다. 이때 $a,\; b,\; c$는 특정 포물선을 결정하는 상수로, $x$와 $y$는 변수로 취급된다.

만약 $a,\; b,\; c$를 상수가 아닌 변수로 간주한다면, 각각의 세 값의 조합 $(a,\; b,\; c)$는 서로 다른 포물선 하나하나에 대응하게 된다. 즉, 이 세 값 $(a,\; b,\; c)$는 '포물선들의 공간'에서 특정 포물선을 가리키는 좌표 역할을 하는 것이다. 이렇게 형성된 공간을 '''포물선의 모듈라이 공간'''이라고 부른다.

참조

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