축소 호몰로지

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 특이 호몰로지 복합체
- 2.2. 축소 호몰로지 복합체
3. 성질
4. 활용
- 4.1. 무어 공간
- 4.2. 알렉산더 쌍대성
참조

1. 개요

축소 호몰로지는 호몰로지의 변형으로, 사슬 복합체에 정수군과 사상을 추가하여 정의된다. 축소 호몰로지는 0차에서 원래 호몰로지보다 한 차원 낮고 나머지 차수에서는 동일하며, 경로 연결 공간의 경우 0차 축소 호몰로지는 0이 된다. 무어 공간 정의와 알렉산더 쌍대성 정리 표현에 활용된다.

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축소 호몰로지

2. 정의

비어 있지 않은 위상 공간의 0차 호몰로지 군은 일반적으로 자명하지 않아 특별한 고려가 필요할 때가 있다. 예를 들어, 한원소 공간의 호몰로지 군은 0차에서만 $\mathbb Z$ 이고, 초구 $\mathbb S^n$ 의 경우에도 $n$ 차와 0차에서 $\mathbb Z$ 이 된다. 이러한 0차 호몰로지 군을 보다 간편하게 다루기 위해 축소 호몰로지 개념이 도입되었다.

축소 호몰로지는 기존의 특이 호몰로지를 계산하는 사슬 복합체를 약간 수정하여 정의한다. 구체적으로, 사슬 복합체의 마지막 단계에 정수 군 $\mathbb Z$ 를 추가하고, 0차 사슬 군 $C_0$ 에서 $\mathbb Z$ 로 가는 증강 사상(augmentation map) $\epsilon$ 을 정의한다. 이 사상은 0차 단체들의 형식적 합 $\sum_i n_i \sigma_i$ 에 대해 계수들의 합 $\sum_i n_i$ 를 대응시키는 역할을 한다 ( $\epsilon \colon \sum_i n_i \sigma_i \mapsto \sum_i n_i$ ). 이렇게 수정된 증강된 사슬 복합체(augmented chain complex)는 다음과 같은 형태를 가진다.

: $\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n \overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1} \overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,} \dotsb \overset{\partial_2}{\longrightarrow\,} C_1 \overset{\partial_1}{\longrightarrow\,} C_0\overset{\epsilon}{\longrightarrow\,} \mathbb{Z} \to 0$

이 증강된 사슬 복합체를 이용하여 계산된 호몰로지 군을 축소 호몰로지 군 $\operatorname{\tilde H}_n(X)$ 이라고 부른다. 즉, $n>0$ 인 경우 $\operatorname{\tilde H}_n(X) = \ker(\partial_n) / \operatorname{im}(\partial_{n+1})$ 이고, $n=0$ 인 경우 $\operatorname{\tilde H}_0(X) = \ker(\epsilon) / \operatorname{im}(\partial_1)$ 로 정의된다.

결과적으로 축소 호몰로지 군은 일반 호몰로지 군과 비교했을 때 0차에서는 차원이 하나 줄어들고, 그 외의 차수에서는 동일한 군이 된다. 축소 코호몰로지 역시 유사한 방식으로 정의할 수 있다.

2. 1. 특이 호몰로지 복합체

일반적인 호몰로지는 다음과 같은 사슬 복합체에서 각 차수의 호몰로지 군

\operatorname H_n(X)

을

\ker(\partial_n) / \operatorname{im}(\partial_{n+1})

로 정의하여 얻는다.

:

\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n\overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1}\overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,}\dotsb\overset{\partial_2}{\longrightarrow\,}C_1\overset{\partial_1}{\longrightarrow\,}C_0\overset{\partial_0}{\longrightarrow\,} 0

축소 호몰로지를 정의하기 위해, 위 사슬 복합체에 정수의 집합

\mathbb Z

와 증강 사상(augmentation map)

\epsilon \colon C_0 \to \mathbb Z

을 추가한다. 이 사상은 0차원 특이 단체들의 정수 계수 형식적 합

\sum_i n_i \sigma_i

에 대해 그 계수들의 합

\sum_i n_i

를 대응시킨다. 이렇게 하여 다음과 같은 증강된 사슬 복합체(augmented chain complex)를 얻는다.

:

\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n\overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1}\overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,}\dotsb\overset{\partial_2}{\longrightarrow\,}C_1\overset{\partial_1}{\longrightarrow\,}C_0\overset{\epsilon}{\longrightarrow\,} \mathbb{Z} \to 0

(여기서 경계 사상

\partial_0

는 증강 사상

\epsilon

으로 대체된다.)

이 증강된 사슬 복합체로부터 계산되는 호몰로지 군

\operatorname{\tilde H}_n(X) = \ker(\partial_n) / \operatorname{im}(\partial_{n+1})

(단,

n=0

일 때는

\partial_0

대신

\epsilon

사용)를 축소 호몰로지라고 정의한다.

만약 $n > 0$ 이면, $\operatorname{\tilde H}_n(X) = \ker(\partial_n) / \operatorname{im}(\partial_{n+1}) = \operatorname H_n(X)$ 이다. 즉, 양의 차수에서는 일반 호몰로지와 동일하다.
만약 $n = 0$ 이면, $\operatorname{\tilde H}_0(X) = \ker(\epsilon) / \operatorname{im}(\partial_1)$ 이다.

축소 코호몰로지 역시 유사한 방법으로, 증강된 공사슬 복합체를 이용하여 정의할 수 있다.

2. 2. 축소 호몰로지 복합체

보통의 호몰로지는 다음과 같은 사슬 복합체에서

\operatorname H_n(X) = \ker(\partial_n) / \operatorname{im}(\partial_{n+1})

를 취하여 정의된다.

:

\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n \overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1} \overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,} \dotsb \overset{\partial_2}{\longrightarrow\,} C_1 \overset{\partial_1}{\longrightarrow\,} C_0\overset{\partial_0}{\longrightarrow\,} 0

축소 호몰로지를 정의하기 위해, 위 사슬 복합체의 마지막 항

C_0

다음에 정수 군

\mathbb Z

를 추가하고, 사상

\epsilon \colon C_0 \to \mathbb Z

을 정의한다. 이 사상은

C_0

의 원소, 즉 0-단체들의 형식적 합

\sum_i n_i \sigma_i

에 대해 각 단체의 계수

n_i

들의 합

\sum_i n_i

을 대응시킨다 (

\epsilon \colon \sum_i n_i \sigma_i \mapsto \sum_i n_i

). 이렇게 확장된 사슬 복합체는 다음과 같다.

:

\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n \overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1} \overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,} \dotsb \overset{\partial_2}{\longrightarrow\,} C_1 \overset{\partial_1}{\longrightarrow\,} C_0\overset{\epsilon}{\longrightarrow\,} \mathbb{Z} \to 0

여기서 원래의 경계 사상

\partial_0

는

\epsilon

으로 대체된다.

이 새로운 복합체를 이용하여 정의된 호몰로지 군

\operatorname{\tilde H}_n(X) = \ker(\partial_n) / \operatorname{im}(\partial_{n+1})

(단,

n>0

일 때) 와

\operatorname{\tilde H}_0(X) = \ker(\epsilon) / \operatorname{im}(\partial_1)

를 축소 호몰로지 군이라고 한다.

비슷한 방식으로 축소 코호몰로지도 정의할 수 있다.

3. 성질

비어 있지 않은 위상 공간의 0차 호몰로지 군은 일반적으로 자명하지 않다. 이는 여러 상황에서 예외적인 경우를 만들어낼 수 있다. 예를 들어, 가장 기본적인 공간 중 하나인 한원소 공간의 호몰로지는 0차에서만 $\mathbb Z$ (정수군) 값을 가지며 다른 차수에서는 0이다. 초구 $\mathbb S^n$ 의 경우에도 n차 호몰로지 외에 0차 호몰로지에서 $\mathbb Z$ 값을 가진다.

:* $\operatorname H_k(\{\bullet\}) = \begin{cases}\mathbb Z & k=0 \\ 0 & \text{otherwise.}\end{cases}$

:* $\operatorname H_k(\mathbb S^n) = \begin{cases}\mathbb Z & k=0,n \\ 0 & \text{otherwise.}\end{cases}$

이처럼 0차 호몰로지 군에 나타나는 $\mathbb Z$ 성분을 하나 줄이면 여러 계산이나 이론 전개에서 편의성을 얻을 수 있는데, 이를 위해 축소 호몰로지가 정의되었다.

축소 호몰로지 $\operatorname{\tilde H}_k(X)$ 는 원래의 호몰로지 $\operatorname H_k(X)$ 와 비교했을 때, 0차를 제외한 모든 차수( $k > 0$ )에서는 동일하다. 하지만 0차( $k = 0$ )에서는 원래 호몰로지 군보다 $\mathbb Z$ 만큼 차원이 낮다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

:* $\begin{align}H_k(X) & \cong \operatorname{\tilde H}_k(X), \quad k > 0 \\H_0(X) & \cong \operatorname{\tilde H}_0(X) \oplus \mathbb Z\end{align}$

따라서 공간 $X$ 가 경로 연결 공간일 경우, 원래의 0차 호몰로지 군 $\operatorname H_0(X)$ 는 $\mathbb Z$ 와 동형이므로, 경로 연결 공간의 0차 축소 호몰로지 군은 자명군(trivial group)이 된다. 즉, $\operatorname{\tilde H}_0(X) \cong 0$ 이다.

4. 활용

축소 호몰로지는 대수적 위상수학의 여러 분야에서 유용하게 사용된다. 예를 들어, 무어 공간의 정의나 알렉산더 쌍대성 정리의 표현 등에 활용된다.

4. 1. 무어 공간

무어 공간은 축소 호몰로지가 특정 차수 하나를 제외하고는 모두 0이 되는 위상 공간이다.

4. 2. 알렉산더 쌍대성

알렉산더 쌍대성 정리는 축소 (코)호몰로지를 사용하면 다음과 같이 더 간단하게 표현할 수 있다.

:

\operatorname{\tilde H}_k(\mathbb S^n\setminus X) \cong \operatorname{\tilde H}^{n-k-1}(X)

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