카소라티-바이어슈트라스 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 예시
4. 증명
5. 역사
6. 피카르의 대정리
참조

1. 개요

카소라티-바이어슈트라스 정리는 복소해석학의 정리로, 정칙 함수가 본질적 특이점을 가질 때 그 특이점 근방에서 함수의 동작을 설명한다. 이 정리는 열린 집합 D에서 정의된 정칙 함수 f가 D 내의 점 z₀를 본질적 특이점으로 가질 경우, z₀의 임의의 근방 U에서 f(U\{z₀})는 확장된 복소 평면의 조밀 집합이라는 것을 말한다. 즉, 본질적 특이점 근방에서 함수는 모든 복소수 값에 임의로 가까워진다. 이 정리는 피카르의 대정리에 의해 강화되며, 지수 함수와 같은 예시를 통해 설명된다. 이 정리는 소호츠키, 바이어슈트라스, 카소라티에 의해 독립적으로 발견되었으며, 역사적으로 다양한 이름으로 불렸다.

2. 정의

연결 열린집합 $D\subseteq\mathbb C$ 및 점 $z_0\in D$ 가 주어졌고, 정칙 함수 $f\colon D\setminus\{z_0\}\to\mathbb C$ 가 $z_0$ 을 본질적 특이점으로 갖는다고 하자. 그렇다면, 임의의 근방 $z_0\in U\subseteq D$ 에 대하여, $f(U\setminus\{z_0\})$ 는 $\widehat{\mathbb C}$ 의 조밀 집합이다.

이는 임의의 $\varepsilon > 0, \delta > 0$ 및 복소수 $w$ 에 대해, $U$ 에서 $0<|z-z_0|<\delta$ 및 $|f(z)-w| < \varepsilon$ 를 만족하는 복소수 $z$ 가 존재한다는 것으로 다시 표현할 수 있다.

즉, $f$ 는 $z_0$ 의 모든 근방에서 ''어떤'' 복소수 값에 임의로 가까워진다.

피카르의 대정리는 $f$ 가 $V$ 에서 하나의 가능한 예외를 제외하고 ''모든'' 복소수 값을 무한히 많이 취한다고 말한다.

진성 특이점을 갖는 함수의 예로,

: $f(z)=e^{1/z}$

를 든다. 임의의 $v\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 에 대해

: $z=\frac{1}{\log v+2{\pi}in},\quad{n\ge\frac{1}{2\pi\delta}+1}$

라고 하면, $\left|z\right|<\delta$ 에서 $f(z)=v$ 가 됨을 확인할 수 있다. 카소라티 정리는 진성 특이점을 갖는 다른 함수도 이와 유사하게 행동함을 주장한다. 단, 카소라티 정리는 모든 값에 대해 "그 값에 한없이 가까운 값"을 취한다고만 주장한다. 피카르의 대정리는 "그 값에 한없이 가까운 값"만 취하지 않는 값이 기껏해야 유일하게 존재한다는 것을 주장한다.^[2]

3. 예시

right

함수 는 0에서 본질적 특이점을 갖지만, 함수 은 그렇지 않다(0에서 극점을 갖는다).^[2]

함수

$f(z) = e^{1/z}.$

를 고려해 보자.

이 함수는 0에서의 본질적 특이점에 대한 다음 로랑 급수를 갖는다.

$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{-n}.$

$f'(z) = - \frac{e^{1/z}}{z^2}$ 가 모든 점 에 대해 존재하므로 는 의 구멍 뚫린 근방에서 해석적임을 알 수 있다. 따라서, 이는 고립 특이점이면서 본질적 특이점이기도 하다.

변수를 극좌표 $z=re^{i \theta }$ 로 변경하면, 함수 는 다음과 같이 된다.

$f(z)=e^{\frac{1}{r}e^{-i\theta}}=e^{\frac{1}{r}\cos(\theta)}e^{-\frac{1}{r}i \sin(\theta)}.$

양변의 절댓값을 취하면:

$\left| f(z) \right| = \left| e^{\frac{1}{r}\cos \theta} \right| \left| e^{-\frac{1}{r}i \sin(\theta)} \right | =e^{\frac{1}{r}\cos \theta}.$

따라서, 인 ''θ'' 값에 대해, $f(z) \to \infty$ as $r \to 0$ 이고, $\cos \theta < 0$ 에 대해 $f(z) \to 0$ as $r \to 0$ 이다.

예를 들어, ''z''가 허수 축에 접하는 지름 인 원의 값을 가질 때 어떤 일이 일어나는지 생각해 보자. 이 원은 로 주어진다. 그러면,

$f(z) = e^{R} \left[ \cos \left( R\tan \theta \right) - i \sin \left( R\tan \theta \right) \right]$

이고

$\left| f(z) \right| = e^R.$

따라서, $\left| f(z) \right|$ 는 적절한 ''R''을 선택함으로써 0을 제외한 임의의 양의 값을 가질 수 있다. 원에서 $z \to 0$ 일 때, $\theta \to \frac{\pi}{2}$ 이고 ''R''은 고정된다. 따라서 이 방정식 부분:

$\left[ \cos \left( R \tan \theta \right) - i \sin \left( R \tan \theta \right) \right]$

는 단위 원 상의 모든 값을 무한히 많이 취한다. 따라서 는 복소 평면에서 0을 제외한 모든 숫자의 값을 무한히 많이 취한다.

4. 증명

귀류법을 사용하여, $f(U\setminus\{z_0\})$ 가 $\widehat{\mathbb C}$ 의 조밀 집합이 아니라고 가정하자. 그렇다면, $w_0\in\widehat{\mathbb C}\setminus\operatorname{cl}f(U\setminus\{z_0\})$ 가 존재한다. 편의상 $w_0\ne\widehat\infty$ 라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족하는 $\epsilon>0$ 이 존재한다.

: $\operatorname B(w_0,\epsilon)\subseteq\mathbb C\setminus f(U\setminus\{z_0\})$

다음과 같은 함수 $g\colon U\setminus\{z_0\}\to\mathbb C$ 를 정의하자.

: $g(z)=\frac 1{f(z)-w_0}\qquad\forall z\in U\setminus\{z_0\}$

그렇다면, 임의의 $z\in U\setminus\{z_0\}$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

: $|g(z)|\le\frac 1\epsilon$

따라서 $g$ 는 유계 함수이다. 또한, $g$ 는 정칙 함수이므로, $z_0$ 은 $g$ 의 제거 가능 특이점이다. 따라서, $z_0$ 은 다음의 제거 가능 특이점이거나, 극점이다.

: $f=w_0+\frac 1g$

이는 모순이다.

카소라티-바이어슈트라스 정리의 다른 증명은 다음과 같다.

함수 $f$ 가 구멍 뚫린 어떤 근방 $V\setminus\{z_0\}$ 에서 유형이고, $z_0$ 가 본질적 특이점이라고 가정하자. 함수가 결코 가까워질 수 없는 어떤 값 $b$ 가 존재한다고 가정하여 모순을 이끌어내 보자. 즉, 어떤 복소수 값 $b$ 와 $\epsilon>0$ 가 있어서 $f$ 가 정의된 $V$ 의 모든 $z$ 에 대해 $\ge \epsilon$ 라고 가정하자.

그렇다면 새로운 함수:

: $g(z) = \frac{1}{f(z) - b}$

는 $V\setminus\{z_0\}$ 에서 정칙 함수여야 하며, $f$ 의 극점에서 영점을 가지고 $1/\epsilon$ 로 제한된다. 따라서 리만의 해석적 연장 정리에 의해 $V$ 의 ''전체''로 해석적으로 연장될 수 있다. 따라서 원래 함수는 $g$ 의 관점에서 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $f(z) = \frac{1}{g(z)} + b$

이는 $V\setminus\{z_0\}$ 의 모든 인수 $z$ 에 대해 성립한다. 다음 두 가지 경우를 고려해 보자.

: $\lim_{z \to z_0} g(z).$

만약 극한이 0이라면, $f$ 는 $z_0$ 에 극점을 갖는다. 만약 극한이 0이 아니라면, $z_0$ 는 $f$ 의 제거 가능한 특이점이다. 두 가능성 모두 점 $z_0$ 가 함수 $f$ 의 본질적 특이점이라는 가정에 모순된다. 따라서 가정이 거짓이며 정리가 성립한다.

또 다른 증명 방법은 다음과 같다.

귀류법을 사용한다.

: $\exists{\epsilon>0},\exists{v\in\mathbb{C}},\forall{z\in\mathbb{U}_\delta},\left|f(z)-v\right|\ge\epsilon$

라고 가정하고, 다음과 같이 놓자.

: $F(z)=\frac{1}{f(z)-v}$

그러면 다음이 성립한다.

: $\left|F(z)\right|=\frac{1}{\left|f(z)-v\right|}\le\frac{1}{\epsilon}\qquad\left(z\in\mathbb{U}_\delta\right)$

따라서 $F$ 는 $\mathbb{U}_\delta$ 에서 정칙이다. 한편, $z_0$ 은 $f$ 의 진성 특이점이므로, $z\to z_0$ 의 접근 경로에 따라 $\lim_{z\to z_0}f(z)$ 는 여러 값을 가질 수 있다. 그러나 만약 어떤 $z\to z_0$ 의 경로에서 $\lim_{z\to z_0}f(z) = v$ 라고 가정하면, 그 경로에서

: $\forall{\epsilon>0},\exists{z\in\mathbb{U}_\delta},\left|f(z)-v\right|<\epsilon$

이 성립하여 가정에 모순된다. 따라서 $\lim_{z\to z_0}\left|F(z)\right|$ 의 값은 접근 경로에 의존하지만, 무한대가 되는 일은 없다. 이 때문에 다음이 성립한다.

: $\lim_{z\to z_0}(z - z_0) F(z) = 0$

리만의 정리에 의해 $z_0$ 는 $F$ 의 제거 가능한 특이점이 된다. 따라서 $\forall{z\in\mathbb{U}_\delta},F(z) = G(z)$ 를 만족하고, $z_0$ 에서 정칙인 함수 $G$ 가 존재한다. $G$ 는 $z_0$ 에서 테일러 전개가 가능하며, 다음이 성립한다.

: $f(z)=\frac{1}{G(z)}+v\qquad\left(z\in\mathbb{U}_\delta\right)$

그러나 이는 $f$ 가 $\mathbb{U}_\delta$ 에서 유형이 됨을 의미한다. 즉, $\forall{z\in\mathbb{U}_\delta}$ 에서 $(z-z_0)^{n}f(z)$ 가 유계가 되는 자연수 $n$ 이 존재하게 되어, 정리의 가정에 모순된다.

5. 역사

이 중요한 정리는 콜링우드와 로워터에 의해 기술되었다.^[3] 이 정리는 1876년 바이어슈트라스에 의해 독일어로 출판되었고, 1868년 소호츠키에 의해 러시아어로 된 석사 논문으로 출판되었다. 따라서 러시아 문헌에서는 소호츠키의 정리라고 불렸고, 서구 문헌에서는 바이어슈트라스의 정리라고 불렸다. 같은 정리가 1868년 카소라티에 의해, 그리고 브리오와 부케에 의해 그들의 책 초판(1859년)에 출판되었다.^[4] 하지만, 브리오와 부케는 이 정리를 두 번째 판(1875년)에서 삭제했다.

6. 피카르의 대정리

이 정리는 $f$ 가 $V$ 에서 하나의 가능한 예외를 제외하고 ''모든'' 복소수 값을 무한히 많이 취한다는 피카르의 대정리에 의해 상당히 강화된다.^[2]

예를 들어, $f(z)=e^{1/z}$ 는 $z=0$ 에서 진성 특이점을 갖는다. 임의의 $v\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 에 대해

: $z=\frac{1}{\log v+2{\pi}in},\quad{n\ge\frac{1}{2\pi\delta}+1}$

라고 하면, $\left|z\right|<\delta$ 에서 $f(z)=v$ 가 된다. 카소라티-바이어슈트라스 정리는 진성 특이점을 갖는 다른 함수도 이와 유사하게 행동함을 보여준다. 다만, 카소라티-바이어슈트라스 정리는 모든 값에 대해 "그 값에 한없이 가까운 값"을 취한다고만 주장하는 반면, 피카르의 대정리는 "그 값에 한없이 가까운 값"만 취하지 않는 값이 기껏해야 유일하게 존재한다는 것을 보여준다.

참조

_[1] 서적 A history of analysis American Mathematical Society 2003
_[2] 논문 Sur les fonctions méromorphes de deux variables http://gallica.bnf.f[...] 1922
_[3] 서적 The theory of cluster sets Cambridge University Press
_[4] 서적 Theorie des fonctions doublement periodiques, et en particulier, des fonctions elliptiques https://archive.org/[...]

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