코시 곱
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1. 개요
코시 곱은 두 복소수 항 급수의 곱을 정의하는 방법으로, 급수의 항들을 무한 행렬로 배열하여 대각선 성분들의 합으로 계산한다. 메르텐스 정리에 따르면, 두 수렴 급수 중 적어도 하나가 절대 수렴하면 코시 곱은 두 급수의 곱으로 수렴하며, 두 급수가 모두 절대 수렴하면 코시 곱도 절대 수렴한다. 코시 곱은 수열의 곱셈인 컨볼루션과 관련이 있으며, 멱급수의 곱셈과도 일치한다. 코시의 이름을 따서 명명되었으며, 유한 개수의 무한 급수 곱으로 일반화될 수 있다.
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코시 곱 | |
---|---|
개요 | |
정의 | 두 무한 급수의 곱을 나타내는 급수 |
종류 | 수학의 급수 |
이름의 유래 | 오귀스탱 루이 코시 |
공식 정의 | |
표현 | 두 수열 {aₙ}과 {bₙ}의 코시 곱은 다음과 같이 정의되는 수열 {cₙ}이다. cₙ = Σₖ₌₀ⁿ aₖbₙ₋ₖ = a₀bₙ + a₁bₙ₋₁ + ··· + aₙb₀ |
급수 표현 | (Σ aₙ)(Σ bₙ) = Σ cₙ 여기서 cₙ = Σₖ₌₀ⁿ aₖbₙ₋ₖ |
성질 | |
절대 수렴 | 만약 Σ aₙ 과 Σ bₙ 이 모두 절대 수렴하면, 코시 곱 Σ cₙ 도 절대 수렴하고, (Σ aₙ)(Σ bₙ) = Σ cₙ 이 성립한다. |
수렴 | 만약 Σ aₙ = A 과 Σ bₙ = B 가 수렴하고, 적어도 하나가 절대 수렴하면, 코시 곱은 AB 로 수렴한다. |
발산 | 두 급수가 모두 수렴하지만 절대 수렴하지 않으면 코시 곱은 수렴하지 않을 수도 있다. |
체사로 합 | 두 급수가 모두 수렴하면 코시 곱은 체사로 합이 존재하며, 이는 두 급수의 곱과 같다. |
예시 | |
멱급수 | 두 멱급수 f(x) = Σ aₙxⁿ 과 g(x) = Σ bₙxⁿ 의 코시 곱은 h(x) = Σ cₙxⁿ 이며, 여기서 cₙ = Σₖ₌₀ⁿ aₖbₙ₋ₖ 이다. 이는 f(x)g(x) 와 같다. |
디리클레 급수 | 두 디리클레 급수 f(s) = Σ aₙn⁻ˢ 과 g(s) = Σ bₙn⁻ˢ 의 코시 곱은 h(s) = Σ cₙn⁻ˢ 이며, 여기서 cₙ = Σ𝒹|ₙ a𝒹bₙ/𝒹 이다. 이는 f(s)g(s) 와 같다. |
일반화 | |
여러 급수 | 유한 개의 급수에 대해서도 코시 곱을 정의할 수 있다. |
무한 급수 | 무한 개의 급수에 대해서는 코시 곱을 정의하기 어렵다. |
2. 정의
두 복소수 항 급수 및 의 '''코시 곱'''은 다음과 같은 급수다.[1][2]
두 급수 , 와 코시 곱 이 모두 수렴한다면, 코시 곱은 두 급수의 곱이다.[8] 이는 닐스 헨리크 아벨이 증명한 아벨 극한 정리를 통해 보일 수 있다.
:
두 급수의 항의 곱을 다음과 같은 무한한 행렬
:
위에 배열하였을 때, 코시 곱의 번째 항은 (오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 향하는) 번째 대각선 성분들의 합이다.
코시 곱은 무한 급수 또는 거듭제곱 급수[3][4]에 적용될 수 있다. 유한 수열[5] 또는 유한 급수에 적용될 때, 이는 유한 개의 0이 아닌 계수를 갖는 급수의 곱의 특수한 경우로 볼 수 있다(이산 컨볼루션 참조).
두 무한 급수 와 가 복소수 항을 가질 때, 이 두 무한 급수의 코시 곱은 다음과 같은 이산 컨볼루션으로 정의된다.
: 여기서 .
다음과 같은 두 멱급수를 고려한다.
: 그리고
복소수 계수 와 를 갖는 멱급수이다. 이 두 멱급수의 코시 곱은 다음과 같은 이산 컨볼루션으로 정의된다.
: 여기서 이다.
3. 성질
만약 두 급수 중 적어도 하나가 절대 수렴하면, 메르텐스 정리에 의해 코시 곱은 두 급수의 곱으로 수렴한다.[8] 두 급수가 모두 절대 수렴하면, 코시 곱도 절대 수렴한다.
하지만 두 급수가 모두 조건 수렴하는 경우에는 코시 곱이 수렴하지 않을 수 있다. 예를 들어, 두 교대급수 는 조건 수렴하지만, 이들의 코시 곱은 발산한다.
그러나, 두 급수가 모두 조건 수렴하더라도 코시 곱이 체사로 합 가능한 경우가 있으며, 이와 관련된 내용으로 체사로 정리가 있다.
3. 1. 메르텐스 정리
닐스 헨리크 아벨이 처음 증명한 아벨 극한 정리에 따르면, 두 급수 , 와 코시 곱 이 모두 수렴하면 코시 곱은 두 급수의 곱이다.[8]
'''메르텐스 정리'''(Mertens' theorem영어)에 따르면, 임의의 두 수렴급수 , 에 대하여, 만약 적어도 하나가 절대 수렴하면, 코시 곱은 수렴한다.[8]
프란츠 메르텐스는 급수 이 로 수렴하고 이 로 수렴하며, 둘 중 적어도 하나가 절대 수렴하면, 이들의 코시 곱은 로 수렴한다는 것을 증명했다.[6]
메르텐스 정리가 제시하는 충분 조건은 다음과 같다.
: 가 에 수렴하고, 가 에 수렴할 때, 적어도 한쪽 급수가 절대 수렴한다면, 그들의 코시 곱도 수렴하고 그 합은 와 같다.
3. 2. 체사로 정리
두 수열이 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 경우, 코시 곱은 여전히 체사로 합 가능하다.[7] 구체적으로 다음과 같다.
만약 , 이 실수 수열이고 그리고 이면,
이것은 두 수열이 수렴하지 않고 체사로 합 가능하기만 한 경우로 일반화될 수 있다.
명제: 두 실수열 , 이 및 가 된다면,
이 명제는, 두 수열이 수렴하지 않지만 체사로 총합은 가능하다는 경우에 대해서도 일반화할 수 있다.
정리 (체사로): 정수 및 에 대해, 수열 가 에 -총합 가능하고, 수열 이 에 -총합 가능하다고 하면, 그들의 코시 곱은 에 -총합 가능하다.
4. 예시
두 복소수 계수 멱급수 및 의 코시 곱은 통상적인 곱과 일치한다.
급수 는 교대급수 판정법에 따라 수렴한다. 이 급수를 제곱한 코시 곱 을 생각하면, 임의의 에 대하여, 이다.
따라서 다음이 성립한다.
:
그러므로 이 코시 곱은 발산한다.
다음과 같은 두 멱급수를 고려할 수 있다.
: 그리고
복소수 계수 와 를 갖는 멱급수의 코시 곱은 다음과 같은 이산 컨볼루션으로 정의된다.
: 여기서 이다.
프란츠 메르텐스의 정리에 따르면, 이 수렴하고 이 수렴하며, 둘 중 적어도 하나가 절대 수렴하면, 이들의 코시 곱은 두 급수의 곱으로 수렴한다.[6]
그러나 두 급수가 모두 조건부 수렴하는 경우, 코시 곱이 두 급수의 곱으로 수렴할 필요는 없다. 예를 들어 다음과 같은 두 교대급수를 생각해 보자.
이 급수는 조건부 수렴한다. 이들을 코시 곱한 항은 다음과 같다.
모든 정수 에 대해, 및 이므로, 이다. 따라서,
이므로, 은 이 무한대로 갈 때 0으로 수렴하지 않으므로, 의 급수는 항 테스트에 의해 발산한다.
에 대해, 및 라고 하면, 정의와 이항 정리에 따라 다음이 성립한다.
:
형식적 멱급수에 따라, 및 이므로, 임을 보였다. 두 절대 수렴 급수의 코시 곱의 극한은 해당 급수의 극한의 곱과 같으므로, 모든 에 대해 공식 가 성립한다.
두 번째 예로, 모든 에 대해 이라고 하면, 모든 에 대해 이므로, 코시 곱 는 수렴하지 않는다.
5. 역사
프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름을 땄다.
6. 일반화
코시 곱은 유한 개의 무한 급수의 곱으로 확장될 수 있다. 이고 인 경우 (실제로 에 대해서도 참이지만, 이 경우에는 명제가 자명해진다) 복소수 계수를 갖는 무한 급수 가 주어지고, 이 중에서 마지막 번째 급수를 제외한 모든 급수가 절대 수렴하고, 번째 급수는 수렴한다고 하자. 그러면 극한
이 존재하고, 다음이 성립한다.
인 경우는 코시 곱에 대한 주장과 동일하다. 인 에 대해 주장이 참이라고 가정하고, 를 복소 계수를 갖는 무한 급수라고 하면, 번째를 제외한 모든 급수가 절대 수렴하고, 번째 급수가 수렴한다. 먼저, 급수 에 귀납 가설을 적용하면 다음 수렴 급수를 얻을 수 있다.
따라서 삼각 부등식과 샌드위치 기준에 의해 다음 급수가 절대수렴함을 알 수 있다.
최종적으로 다음 결과를 유도할 수 있다.
두 개의 무한 복소 급수 및 에 대해, 이들의 코시 곱은 각 항이 이산 컨볼루션으로 주어지는 급수
이다.[1]
두 개의 복소 계수 멱급수 및 에 대해, 이들의 코시 곱은 로 주어지는 멱급수이다.[1]
유클리드 공간 에서 곱셈을 내적으로 정의하면, 코시 곱은 급수에 대해 정의할 수 있다. 이 경우, 두 급수가 절대 수렴하면 코시 곱은 극한의 내적으로 절대 수렴한다는 결과를 얻는다.[2] 바나흐 대수에서도 코시 곱을 정의할 수 있다.[2]
7. 컨볼루션과의 관계
유한 수열의 코시 곱은 이산 컨볼루션과 같다.[5] 이는 반군 대수의 곱셈으로 일반화될 수 있다.
유한 수열은 유한 개의 0이 아닌 항을 가진 무한 수열, 즉 유한 지지(support)를 갖는 함수 ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$로 볼 수 있다. 유한 지지를 갖는 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 위의 임의의 복소수 값 함수 ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$에 대해, 그들의 합성곱을 취할 수 있다.
:${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{i+j=n}f(i)g(j)}$
그러면 ${\displaystyle \sum (f*g)(n)}$는 ${\displaystyle \sum f(n)}$과 ${\displaystyle \sum g(n)}$의 코시 곱과 동일하다.
더 일반적으로, 모노이드 ${\displaystyle S}$가 주어지면 합성곱에 의해 곱셈이 주어지는 ${\displaystyle S}$의 반군 대수 ${\displaystyle \mathbb {C} [S]}$를 형성할 수 있다. 예를 들어, ${\displaystyle S=\mathbb {N} ^{d}}$를 취하면, ${\displaystyle \mathbb {C} [S]}$의 곱셈은 코시 곱을 고차원으로 일반화한 것이다.
참조
[1]
서적
2015
[2]
서적
2011
[3]
서적
2015
[4]
서적
[5]
서적
[6]
서적
Principles of Mathematical Analysis
McGraw-Hill
1976
[7]
서적
Divergent series
AMS Chelsea Publ
2000
[8]
서적
Theory and application of infinite series
Blackie & Son
1951
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