코시 곱

3. 성질

두 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n$, $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; b\_n$와 코시 곱 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash sum\_\{k=0\}^na\_kb\_\{n-k\}$이 모두 수렴한다면, 코시 곱은 두 급수의 곱이다.^[8] 이는 닐스 헨리크 아벨이 증명한 아벨 극한 정리를 통해 보일 수 있다.

만약 두 급수 중 적어도 하나가 절대 수렴하면, 메르텐스 정리에 의해 코시 곱은 두 급수의 곱으로 수렴한다.^[8] 두 급수가 모두 절대 수렴하면, 코시 곱도 절대 수렴한다.

하지만 두 급수가 모두 조건 수렴하는 경우에는 코시 곱이 수렴하지 않을 수 있다. 예를 들어, 두 교대급수 $a\_n\; =\; b\_n\; =\; \backslash frac\{(-1)^n\}\{\backslash sqrt\{n+1\}\}$는 조건 수렴하지만, 이들의 코시 곱은 발산한다.

그러나, 두 급수가 모두 조건 수렴하더라도 코시 곱이 체사로 합 가능한 경우가 있으며, 이와 관련된 내용으로 체사로 정리가 있다.

3. 1. 메르텐스 정리

3. 2. 체사로 정리

4. 예시

두 복소수 계수 멱급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n(x-a)^n$ 및 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; b\_n(x-a)^n$의 코시 곱은 통상적인 곱과 일치한다.

급수 $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{(-1)^n\}\{\backslash sqrt\; n\}$는 교대급수 판정법에 따라 수렴한다. 이 급수를 제곱한 코시 곱 $\backslash sum\_\{n=2\}^\backslash infty\; c\_n$을 생각하면, 임의의 $n\backslash in\backslash \{2,3,4,\backslash dots\backslash \}$에 대하여, $c\_n=(-1)^n\backslash sum\_\{k=1\}^\{n-1\}\backslash frac1\{\backslash sqrt\{k(n-k)\}\}$이다.

따라서 다음이 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}$

|c_n|

&=\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{\sqrt{k(n-k)}}\\

&\ge\sum_{k=1}^{n-1}\frac2n\\

&=\frac{2(n-1)}n\\

&\ge1

\end{align}



그러므로 이 코시 곱은 발산한다.

다음과 같은 두 멱급수를 고려할 수 있다.

:$\backslash sum\_\{i=0\}^\backslash infty\; a\_i\; x^i$     그리고     $\backslash sum\_\{j=0\}^\backslash infty\; b\_j\; x^j$

복소수 계수 $\backslash \{a\_i\backslash \}$와 $\backslash \{b\_j\backslash \}$를 갖는 멱급수의 코시 곱은 다음과 같은 이산 컨볼루션으로 정의된다.

:$\backslash left(\backslash sum\_\{i=0\}^\backslash infty\; a\_i\; x^i\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash sum\_\{j=0\}^\backslash infty\; b\_j\; x^j\backslash right)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; c\_k\; x^k$     여기서     $c\_k=\backslash sum\_\{l=0\}^k\; a\_l\; b\_\{k-l\}$이다.

프란츠 메르텐스의 정리에 따르면, $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n$이 수렴하고 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; b\_n$이 수렴하며, 둘 중 적어도 하나가 절대 수렴하면, 이들의 코시 곱은 두 급수의 곱으로 수렴한다.^[6]

그러나 두 급수가 모두 조건부 수렴하는 경우, 코시 곱이 두 급수의 곱으로 수렴할 필요는 없다. 예를 들어 다음과 같은 두 교대급수를 생각해 보자.

$$a\_n\; =\; b\_n\; =\; \backslash frac\{(-1)^n\}\{\backslash sqrt\{n+1\}\}\backslash ,,$$

이 급수는 조건부 수렴한다. 이들을 코시 곱한 항은 다음과 같다.

$$c\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; \backslash frac\{(-1)^k\}\{\backslash sqrt\{k+1\}\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\; (-1)^\{n-k\}\; \}\{\; \backslash sqrt\{n-k+1\}\; \}\; =\; (-1)^n\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; \backslash frac\{1\}\{\; \backslash sqrt\{(k+1)(n-k+1)\}\; \}$$

모든 정수 $n\; \backslash ge\; 0$에 대해, $k+1\; \backslash le\; n+1$ 및 $n-k+1\; \backslash le\; n+1$이므로, $\backslash sqrt\{(k+1)(n-k+1)\}\; \backslash le\; n+1$이다. 따라서,

$$|c\_n|\; \backslash ge\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; \backslash frac\{1\}\{n+1\}\; =\; 1$$

이므로, $c\_n$은 $n$이 무한대로 갈 때 0으로 수렴하지 않으므로, $c\_n$의 급수는 항 테스트에 의해 발산한다.

$x,y\; \backslash in\; \backslash Reals$에 대해, $a\_n\; =\; x^n/n!$ 및 $b\_n\; =\; y^n/n!$라고 하면, 정의와 이항 정리에 따라 다음이 성립한다.

:$$c\_n\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\backslash frac\{x^i\}\{i!\}\backslash frac\{y^\{n-i\}\}\{(n-i)!\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{n!\}\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; \backslash binom\{n\}\{i\}\; x^i\; y^\{n-i\}\; =\; \backslash frac\{(x+y)^n\}\{n!\}$$

형식적 멱급수에 따라, $\backslash exp(x)\; =\; \backslash sum\; a\_n$ 및 $\backslash exp(y)\; =\; \backslash sum\; b\_n$이므로, $\backslash exp(x+y)\; =\; \backslash sum\; c\_n$임을 보였다. 두 절대 수렴 급수의 코시 곱의 극한은 해당 급수의 극한의 곱과 같으므로, 모든 $x,y\; \backslash in\; \backslash Reals$에 대해 공식 $\backslash exp(x+y)\; =\; \backslash exp(x)\backslash exp(y)$가 성립한다.

두 번째 예로, 모든 $n\; \backslash in\; \backslash N$에 대해 $a\_n\; =\; b\_n\; =\; 1$이라고 하면, 모든 $n\; \backslash in\; \backslash N$에 대해 $c\_n\; =\; n+1$이므로, 코시 곱 $$\backslash sum\; c\_n\; =\; (1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\backslash dots)$$는 수렴하지 않는다.

5. 역사

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름을 땄다.

6. 일반화

코시 곱은 유한 개의 무한 급수의 곱으로 확장될 수 있다. $n\; \backslash in\; \backslash N$이고 $n\; \backslash ge\; 2$인 경우 (실제로 $n=1$에 대해서도 참이지만, 이 경우에는 명제가 자명해진다) 복소수 계수를 갖는 무한 급수 $\backslash sum\_\{k\_1\; =\; 0\}^\backslash infty\; a\_\{1,\; k\_1\},\; \backslash ldots,\; \backslash sum\_\{k\_n\; =\; 0\}^\backslash infty\; a\_\{n,\; k\_n\}$가 주어지고, 이 중에서 마지막 $n$번째 급수를 제외한 모든 급수가 절대 수렴하고, $n$번째 급수는 수렴한다고 하자. 그러면 극한

$$\backslash lim\_\{N\backslash to\backslash infty\}\backslash sum\_\{k\_1+\backslash ldots+k\_n\backslash leq\; N\}\; a\_\{1,k\_1\}\backslash cdots\; a\_\{n,k\_n\}$$

이 존재하고, 다음이 성립한다.

$$\backslash prod\_\{j=1\}^n\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{k\_j\; =\; 0\}^\backslash infty\; a\_\{j,\; k\_j\}\; \backslash right)=\backslash lim\_\{N\backslash to\backslash infty\}\backslash sum\_\{k\_1+\backslash ldots+k\_n\backslash leq\; N\}\; a\_\{1,k\_1\}\backslash cdots\; a\_\{n,k\_n\}$$

$n\; =\; 2$인 경우는 코시 곱에 대한 주장과 동일하다. $n\; \backslash ge\; 2$인 $n\; \backslash in\; \backslash N$에 대해 주장이 참이라고 가정하고, $\backslash sum\_\{k\_1\; =\; 0\}^\backslash infty\; a\_\{1,\; k\_1\},\; \backslash ldots,\; \backslash sum\_\{k\_\{n+1\}\; =\; 0\}^\backslash infty\; a\_\{n+1,\; k\_\{n+1\}\}$를 복소 계수를 갖는 무한 급수라고 하면, $n+1$번째를 제외한 모든 급수가 절대 수렴하고, $n+1$번째 급수가 수렴한다. 먼저, 급수 $\backslash sum\_\{k\_1\; =\; 0\}^\backslash infty\; |a\_\{1,\; k\_1\}|,\; \backslash ldots,\; \backslash sum\_\{k\_n\; =\; 0\}^\backslash infty\; |a\_\{n,\; k\_n\}|$에 귀납 가설을 적용하면 다음 수렴 급수를 얻을 수 있다.

$$\backslash sum\_\{k\_1\; =\; 0\}^\backslash infty\; \backslash sum\_\{k\_2\; =\; 0\}^\{k\_1\}\; \backslash cdots\; \backslash sum\_\{k\_n\; =\; 0\}^\{k\_\{n-1\}\}\; |a\_\{1,\; k\_n\}\; a\_\{2,\; k\_\{n-1\}\; -\; k\_n\}\; \backslash cdots\; a\_\{n,\; k\_1\; -\; k\_2\}|$$

따라서 삼각 부등식과 샌드위치 기준에 의해 다음 급수가 절대수렴함을 알 수 있다.

$$\backslash sum\_\{k\_1\; =\; 0\}^\backslash infty\; \backslash sum\_\{k\_2\; =\; 0\}^\{k\_1\}\; \backslash cdots\; \backslash sum\_\{k\_n\; =\; 0\}^\{k\_\{n-1\}\}\; a\_\{1,\; k\_n\}\; a\_\{2,\; k\_\{n-1\}\; -\; k\_n\}\; \backslash cdots\; a\_\{n,\; k\_1\; -\; k\_2\}$$

최종적으로 다음 결과를 유도할 수 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\prod_{j=1}^{n+1} \left( \sum_{k_j = 0}^\infty a_{j, k_j} \right)

& = \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} a_{n+1, k_1 - k_2} \sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_{n+1} = 0}^{k_n} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_n - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_2 - k_3}

\end{align}

두 개의 무한 복소 급수 $\backslash sum\_\{i=0\}^\backslash infty\; a\_i$ 및 $\backslash sum\_\{j=0\}^\backslash infty\; b\_j$에 대해, 이들의 코시 곱은 각 항이 이산 컨볼루션으로 주어지는 급수

$$$$

\biggl(\sum_{i=0}^\infty a_i\biggr) \cdot \biggl(\sum_{j=0}^\infty b_j\biggr) = \sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^k a_l b_{k-l} 이다.^[1]

두 개의 복소 계수 멱급수 $\backslash sum\_\{i=0\}^\backslash infty\; a\_i\; x^i$ 및 $\backslash sum\_\{j=0\}^\backslash infty\; b\_j\; x^j$에 대해, 이들의 코시 곱은 $$\backslash biggl(\backslash sum\_\{i=0\}^\backslash infty\; a\_i\; x^i\backslash biggr)\; \backslash cdot\; \backslash biggl(\backslash sum\_\{j=0\}^\backslash infty\; b\_j\; x^j\backslash biggr)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash biggl(\backslash sum\_\{l=0\}^k\; a\_l\; b\_\{k-l\}\backslash biggr)x^k$$ 로 주어지는 멱급수이다.^[1]

유클리드 공간 $\backslash R^n$에서 곱셈을 내적으로 정의하면, 코시 곱은 급수에 대해 정의할 수 있다. 이 경우, 두 급수가 절대 수렴하면 코시 곱은 극한의 내적으로 절대 수렴한다는 결과를 얻는다.^[2] 바나흐 대수에서도 코시 곱을 정의할 수 있다.^[2]

7. 컨볼루션과의 관계

유한 수열의 코시 곱은 이산 컨볼루션과 같다.^[5] 이는 반군 대수의 곱셈으로 일반화될 수 있다.

유한 수열은 유한 개의 0이 아닌 항을 가진 무한 수열, 즉 유한 지지(support)를 갖는 함수 ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$로 볼 수 있다. 유한 지지를 갖는 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 위의 임의의 복소수 값 함수 ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$에 대해, 그들의 합성곱을 취할 수 있다.

:${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{i+j=n}f(i)g(j)}$

그러면 ${\displaystyle \sum (f*g)(n)}$는 ${\displaystyle \sum f(n)}$과 ${\displaystyle \sum g(n)}$의 코시 곱과 동일하다.

더 일반적으로, 모노이드 ${\displaystyle S}$가 주어지면 합성곱에 의해 곱셈이 주어지는 ${\displaystyle S}$의 반군 대수 ${\displaystyle \mathbb {C} [S]}$를 형성할 수 있다. 예를 들어, ${\displaystyle S=\mathbb {N} ^{d}}$를 취하면, ${\displaystyle \mathbb {C} [S]}$의 곱셈은 코시 곱을 고차원으로 일반화한 것이다.

참조

_[1] 서적 2015
_[2] 서적 2011
_[3] 서적 2015
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적 Principles of Mathematical Analysis McGraw-Hill 1976
_[7] 서적 Divergent series AMS Chelsea Publ 2000
_[8] 서적 Theory and application of infinite series Blackie & Son 1951