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코시 곱

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1. 개요

코시 곱은 두 복소수 항 급수의 곱을 정의하는 방법으로, 급수의 항들을 무한 행렬로 배열하여 대각선 성분들의 합으로 계산한다. 메르텐스 정리에 따르면, 두 수렴 급수 중 적어도 하나가 절대 수렴하면 코시 곱은 두 급수의 곱으로 수렴하며, 두 급수가 모두 절대 수렴하면 코시 곱도 절대 수렴한다. 코시 곱은 수열의 곱셈인 컨볼루션과 관련이 있으며, 멱급수의 곱셈과도 일치한다. 코시의 이름을 따서 명명되었으며, 유한 개수의 무한 급수 곱으로 일반화될 수 있다.

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코시 곱
개요
정의두 무한 급수의 곱을 나타내는 급수
종류수학의 급수
이름의 유래오귀스탱 루이 코시
공식 정의
표현두 수열 {aₙ}과 {bₙ}의 코시 곱은 다음과 같이 정의되는 수열 {cₙ}이다. cₙ = Σₖ₌₀ⁿ aₖbₙ₋ₖ = a₀bₙ + a₁bₙ₋₁ + ··· + aₙb₀
급수 표현(Σ aₙ)(Σ bₙ) = Σ cₙ 여기서 cₙ = Σₖ₌₀ⁿ aₖbₙ₋ₖ
성질
절대 수렴만약 Σ aₙ 과 Σ bₙ 이 모두 절대 수렴하면, 코시 곱 Σ cₙ 도 절대 수렴하고, (Σ aₙ)(Σ bₙ) = Σ cₙ 이 성립한다.
수렴만약 Σ aₙ = A 과 Σ bₙ = B 가 수렴하고, 적어도 하나가 절대 수렴하면, 코시 곱은 AB 로 수렴한다.
발산두 급수가 모두 수렴하지만 절대 수렴하지 않으면 코시 곱은 수렴하지 않을 수도 있다.
체사로 합두 급수가 모두 수렴하면 코시 곱은 체사로 합이 존재하며, 이는 두 급수의 곱과 같다.
예시
멱급수두 멱급수 f(x) = Σ aₙxⁿ 과 g(x) = Σ bₙxⁿ 의 코시 곱은 h(x) = Σ cₙxⁿ 이며, 여기서 cₙ = Σₖ₌₀ⁿ aₖbₙ₋ₖ 이다. 이는 f(x)g(x) 와 같다.
디리클레 급수두 디리클레 급수 f(s) = Σ aₙn⁻ˢ 과 g(s) = Σ bₙn⁻ˢ 의 코시 곱은 h(s) = Σ cₙn⁻ˢ 이며, 여기서 cₙ = Σ𝒹|ₙ a𝒹bₙ/𝒹 이다. 이는 f(s)g(s) 와 같다.
일반화
여러 급수유한 개의 급수에 대해서도 코시 곱을 정의할 수 있다.
무한 급수무한 개의 급수에 대해서는 코시 곱을 정의하기 어렵다.

2. 정의

두 복소수 항 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n\sum_{n=0}^\infty b_n의 '''코시 곱'''은 다음과 같은 급수다.[1][2]

:\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^na_kb_{n-k} = \sum_{n=0}^\infty(a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0) = a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+\cdots

두 급수의 항의 곱을 다음과 같은 무한한 행렬

:\begin{matrix}

a_0b_0&a_0b_1&a_0b_2&\cdots\\

a_1b_0&a_1b_1&a_1b_2&\cdots\\

a_2b_0&a_2b_1&a_2b_2&\cdots\\

\vdots&\vdots&\vdots

\end{matrix}

위에 배열하였을 때, 코시 곱의 n번째 항은 (오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 향하는) n번째 대각선 성분들의 합이다.

코시 곱은 무한 급수 또는 거듭제곱 급수[3][4]에 적용될 수 있다. 유한 수열[5] 또는 유한 급수에 적용될 때, 이는 유한 개의 0이 아닌 계수를 갖는 급수의 곱의 특수한 경우로 볼 수 있다(이산 컨볼루션 참조).

두 무한 급수 \sum_{i=0}^\infty a_i \sum_{j=0}^\infty b_j가 복소수 항을 가질 때, 이 두 무한 급수의 코시 곱은 다음과 같은 이산 컨볼루션으로 정의된다.

:\left(\sum_{i=0}^\infty a_i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^\infty b_j\right) = \sum_{k=0}^\infty c_k 여기서 c_k=\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}.

다음과 같은 두 멱급수를 고려한다.

:\sum_{i=0}^\infty a_i x^i 그리고 \sum_{j=0}^\infty b_j x^j

복소수 계수 \{a_i\}\{b_j\}를 갖는 멱급수이다. 이 두 멱급수의 코시 곱은 다음과 같은 이산 컨볼루션으로 정의된다.

:\left(\sum_{i=0}^\infty a_i x^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^\infty b_j x^j\right) = \sum_{k=0}^\infty c_k x^k 여기서 c_k=\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}이다.

3. 성질

두 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n, \sum_{n=0}^\infty b_n와 코시 곱 \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}이 모두 수렴한다면, 코시 곱은 두 급수의 곱이다.[8] 이는 닐스 헨리크 아벨이 증명한 아벨 극한 정리를 통해 보일 수 있다.

만약 두 급수 중 적어도 하나가 절대 수렴하면, 메르텐스 정리에 의해 코시 곱은 두 급수의 곱으로 수렴한다.[8] 두 급수가 모두 절대 수렴하면, 코시 곱도 절대 수렴한다.

하지만 두 급수가 모두 조건 수렴하는 경우에는 코시 곱이 수렴하지 않을 수 있다. 예를 들어, 두 교대급수 a_n = b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}는 조건 수렴하지만, 이들의 코시 곱은 발산한다.

그러나, 두 급수가 모두 조건 수렴하더라도 코시 곱이 체사로 합 가능한 경우가 있으며, 이와 관련된 내용으로 체사로 정리가 있다.

3. 1. 메르텐스 정리

닐스 헨리크 아벨이 처음 증명한 아벨 극한 정리에 따르면, 두 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n, \sum_{n=0}^\infty b_n와 코시 곱 \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}이 모두 수렴하면 코시 곱은 두 급수의 곱이다.[8]

'''메르텐스 정리'''(Mertens' theorem영어)에 따르면, 임의의 두 수렴급수 \sum_{n=0}^\infty a_n, \sum_{n=0}^\infty b_n에 대하여, 만약 적어도 하나가 절대 수렴하면, 코시 곱은 수렴한다.[8]

프란츠 메르텐스는 급수 \sum_{n=0}^\infty a_nA로 수렴하고 \sum_{n=0}^\infty b_nB로 수렴하며, 둘 중 적어도 하나가 절대 수렴하면, 이들의 코시 곱은 AB로 수렴한다는 것을 증명했다.[6]

메르텐스 정리가 제시하는 충분 조건은 다음과 같다.

: \sum_{n=0}^\infty a_nA에 수렴하고, \sum_{n=0}^\infty b_nB에 수렴할 때, 적어도 한쪽 급수가 절대 수렴한다면, 그들의 코시 곱도 수렴하고 그 합은 AB와 같다.

3. 2. 체사로 정리

두 수열이 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 경우, 코시 곱은 여전히 체사로 합 가능하다.[7] 구체적으로 다음과 같다.

만약 (a_n)_{n \geq 0}, (b_n)_{n \geq 0}이 실수 수열이고 \sum a_n\to A 그리고 \sum b_n\to B이면,

\frac{1}{N}\left(\sum_{n=1}^N\sum_{i=1}^n\sum_{k=0}^i a_k b_{i-k}\right)\to AB.

이것은 두 수열이 수렴하지 않고 체사로 합 가능하기만 한 경우로 일반화될 수 있다.
명제: 두 실수열 (a_n)_{n \ge 0}, (b_n)_{n \ge 0} \sum a_n \to A \sum b_n \to B가 된다면,

\frac{1}{N}\left(\sum_{n=1}^N\sum_{i=1}^n\sum_{k=0}^i a_k b_{i-k}\right)\to AB.

이 명제는, 두 수열이 수렴하지 않지만 체사로 총합은 가능하다는 경우에 대해서도 일반화할 수 있다.
정리 (체사로): 정수 \alpha > -1\beta > -1에 대해, 수열 (a_n)_{n \ge 0}A(C, \alpha)-총합 가능하고, 수열 (b_n)_{n \ge 0}B(C, \beta)-총합 가능하다고 하면, 그들의 코시 곱은 AB(C, \alpha + \beta + 1)-총합 가능하다.

4. 예시

두 복소수 계수 멱급수 \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n\sum_{n=0}^\infty b_n(x-a)^n의 코시 곱은 통상적인 곱과 일치한다.

급수 \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt n}는 교대급수 판정법에 따라 수렴한다. 이 급수를 제곱한 코시 곱 \sum_{n=2}^\infty c_n을 생각하면, 임의의 n\in\{2,3,4,\dots\}에 대하여, c_n=(-1)^n\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{\sqrt{k(n-k)}}이다.

따라서 다음이 성립한다.

:\begin{align}

|c_n|

&=\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{\sqrt{k(n-k)}}\\

&\ge\sum_{k=1}^{n-1}\frac2n\\

&=\frac{2(n-1)}n\\

&\ge1

\end{align}



그러므로 이 코시 곱은 발산한다.

다음과 같은 두 멱급수를 고려할 수 있다.

:\sum_{i=0}^\infty a_i x^i     그리고     \sum_{j=0}^\infty b_j x^j

복소수 계수 \{a_i\}\{b_j\}를 갖는 멱급수의 코시 곱은 다음과 같은 이산 컨볼루션으로 정의된다.

:\left(\sum_{i=0}^\infty a_i x^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^\infty b_j x^j\right) = \sum_{k=0}^\infty c_k x^k     여기서     c_k=\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}이다.

프란츠 메르텐스의 정리에 따르면, \sum_{n=0}^\infty a_n이 수렴하고 \sum_{n=0}^\infty b_n이 수렴하며, 둘 중 적어도 하나가 절대 수렴하면, 이들의 코시 곱은 두 급수의 곱으로 수렴한다.[6]

그러나 두 급수가 모두 조건부 수렴하는 경우, 코시 곱이 두 급수의 곱으로 수렴할 필요는 없다. 예를 들어 다음과 같은 두 교대급수를 생각해 보자.

a_n = b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\,,

이 급수는 조건부 수렴한다. 이들을 코시 곱한 항은 다음과 같다.

c_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \cdot \frac{ (-1)^{n-k} }{ \sqrt{n-k+1} } = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{ \sqrt{(k+1)(n-k+1)} }

모든 정수 n \ge 0에 대해, k+1 \le n+1n-k+1 \le n+1이므로, \sqrt{(k+1)(n-k+1)} \le n+1이다. 따라서,

|c_n| \ge \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+1} = 1

이므로, c_nn이 무한대로 갈 때 0으로 수렴하지 않으므로, c_n의 급수는 항 테스트에 의해 발산한다.

x,y \in \Reals에 대해, a_n = x^n/n! b_n = y^n/n!라고 하면, 정의와 이항 정리에 따라 다음이 성립한다.

: c_n = \sum_{i=0}^n\frac{x^i}{i!}\frac{y^{n-i}}{(n-i)!} = \frac{1}{n!} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} x^i y^{n-i} = \frac{(x+y)^n}{n!}

형식적 멱급수에 따라, \exp(x) = \sum a_n \exp(y) = \sum b_n이므로, \exp(x+y) = \sum c_n임을 보였다. 두 절대 수렴 급수의 코시 곱의 극한은 해당 급수의 극한의 곱과 같으므로, 모든 x,y \in \Reals에 대해 공식 \exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)가 성립한다.

두 번째 예로, 모든 n \in \N에 대해 a_n = b_n = 1이라고 하면, 모든 n \in \N에 대해 c_n = n+1이므로, 코시 곱 \sum c_n = (1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots)는 수렴하지 않는다.

5. 역사

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름을 땄다.

6. 일반화

코시 곱은 유한 개의 무한 급수의 곱으로 확장될 수 있다. n \in \N이고 n \ge 2인 경우 (실제로 n=1에 대해서도 참이지만, 이 경우에는 명제가 자명해진다) 복소수 계수를 갖는 무한 급수 \sum_{k_1 = 0}^\infty a_{1, k_1}, \ldots, \sum_{k_n = 0}^\infty a_{n, k_n}가 주어지고, 이 중에서 마지막 n번째 급수를 제외한 모든 급수가 절대 수렴하고, n번째 급수는 수렴한다고 하자. 그러면 극한

\lim_{N\to\infty}\sum_{k_1+\ldots+k_n\leq N} a_{1,k_1}\cdots a_{n,k_n}

이 존재하고, 다음이 성립한다.

\prod_{j=1}^n \left( \sum_{k_j = 0}^\infty a_{j, k_j} \right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{k_1+\ldots+k_n\leq N} a_{1,k_1}\cdots a_{n,k_n}

n = 2인 경우는 코시 곱에 대한 주장과 동일하다. n \ge 2n \in \N에 대해 주장이 참이라고 가정하고, \sum_{k_1 = 0}^\infty a_{1, k_1}, \ldots, \sum_{k_{n+1} = 0}^\infty a_{n+1, k_{n+1}}를 복소 계수를 갖는 무한 급수라고 하면, n+1번째를 제외한 모든 급수가 절대 수렴하고, n+1번째 급수가 수렴한다. 먼저, 급수 \sum_{k_1 = 0}^\infty |a_{1, k_1}|, \ldots, \sum_{k_n = 0}^\infty |a_{n, k_n}|에 귀납 가설을 적용하면 다음 수렴 급수를 얻을 수 있다.

\sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} |a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}|

따라서 삼각 부등식과 샌드위치 기준에 의해 다음 급수가 절대수렴함을 알 수 있다.

\sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}

최종적으로 다음 결과를 유도할 수 있다.

\begin{align}

\prod_{j=1}^{n+1} \left( \sum_{k_j = 0}^\infty a_{j, k_j} \right)

& = \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} a_{n+1, k_1 - k_2} \sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_{n+1} = 0}^{k_n} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_n - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_2 - k_3}

\end{align}

두 개의 무한 복소 급수 \sum_{i=0}^\infty a_i\sum_{j=0}^\infty b_j에 대해, 이들의 코시 곱은 각 항이 이산 컨볼루션으로 주어지는 급수



\biggl(\sum_{i=0}^\infty a_i\biggr) \cdot \biggl(\sum_{j=0}^\infty b_j\biggr) = \sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^k a_l b_{k-l} 이다.[1]

두 개의 복소 계수 멱급수 \sum_{i=0}^\infty a_i x^i\sum_{j=0}^\infty b_j x^j에 대해, 이들의 코시 곱은 \biggl(\sum_{i=0}^\infty a_i x^i\biggr) \cdot \biggl(\sum_{j=0}^\infty b_j x^j\biggr) = \sum_{k=0}^\infty \biggl(\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}\biggr)x^k 로 주어지는 멱급수이다.[1]

유클리드 공간 \R^n에서 곱셈을 내적으로 정의하면, 코시 곱은 급수에 대해 정의할 수 있다. 이 경우, 두 급수가 절대 수렴하면 코시 곱은 극한의 내적으로 절대 수렴한다는 결과를 얻는다.[2] 바나흐 대수에서도 코시 곱을 정의할 수 있다.[2]

7. 컨볼루션과의 관계

유한 수열의 코시 곱은 이산 컨볼루션과 같다.[5] 이는 반군 대수의 곱셈으로 일반화될 수 있다.

유한 수열은 유한 개의 0이 아닌 항을 가진 무한 수열, 즉 유한 지지(support)를 갖는 함수 ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$로 볼 수 있다. 유한 지지를 갖는 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 위의 임의의 복소수 값 함수 ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$에 대해, 그들의 합성곱을 취할 수 있다.

:${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{i+j=n}f(i)g(j)}$

그러면 ${\displaystyle \sum (f*g)(n)}$는 ${\displaystyle \sum f(n)}$과 ${\displaystyle \sum g(n)}$의 코시 곱과 동일하다.

더 일반적으로, 모노이드 ${\displaystyle S}$가 주어지면 합성곱에 의해 곱셈이 주어지는 ${\displaystyle S}$의 반군 대수 ${\displaystyle \mathbb {C} [S]}$를 형성할 수 있다. 예를 들어, ${\displaystyle S=\mathbb {N} ^{d}}$를 취하면, ${\displaystyle \mathbb {C} [S]}$의 곱셈은 코시 곱을 고차원으로 일반화한 것이다.

참조

[1] 서적 2015
[2] 서적 2011
[3] 서적 2015
[4] 서적
[5] 서적
[6] 서적 Principles of Mathematical Analysis McGraw-Hill 1976
[7] 서적 Divergent series AMS Chelsea Publ 2000
[8] 서적 Theory and application of infinite series Blackie & Son 1951



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