아벨 극한 정리

3. 증명

편의상 $r=1$이고 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n$이 수렴한다고 가정한다. 이 경우 멱급수가 $[0,1]$에서 균등 수렴함을 보이는 것으로 충분하다. 두 함수열 $(f\_n,g\_n\backslash colon[0,1]\backslash to\backslash mathbb\; R)\_\{n=0\}^\backslash infty$를 다음과 같이 정의한다.

:$f\_n(x)=a\_n\backslash qquad(x\backslash in[0,1],\backslash ;n\backslash ge\; 0)$
:$g\_n(x)=x^n\backslash qquad(x\backslash in[0,1],\backslash ;n\backslash ge\; 0)$

그러면,

:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; f\_n(x)$

는 $[0,1]$에서 균등 수렴하고, 임의의 $x\backslash in[0,1]$에 대하여, $(g\_n(x))\_\{n=0\}^\backslash infty$는 감소 수열이다. 또한, 임의의 $x\backslash in[0,1]$ 및 $n\backslash ge\; 0$에 대하여,

:$|g\_n(x)|\backslash le\; 1$

이다. 아벨 판정법에 의하여,

:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_nx^n$

은 $[0,1]$에서 균등 수렴한다.

$a\_0$에서 상수를 빼면, $\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_k=0$이라고 가정할 수 있다. $s\_n=\backslash sum\_\{k=0\}^n\; a\_k$라고 하자. 그런 다음 $a\_k=s\_k-s\_\{k-1\}$을 대입하고 급수를 간단하게 조작(부분합)하면 다음을 얻는다.

:$$G\_a(z)\; =\; (1-z)\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\; s\_k\; z^k.$$

주어진 $\backslash varepsilon\; >\; 0$에 대해, 모든 $k\; \backslash geq\; n$에 대해 가 되도록 충분히 큰 $n$을 선택하고 다음을 관찰한다.

:$$\backslash left|(1-z)\backslash sum\_\{k=n\}^\backslash infty\; s\_kz^k\; \backslash right|\; \backslash leq\; \backslash varepsilon\; |1-z|\backslash sum\_\{k=n\}^\backslash infty\; |z|^k\; =\; \backslash varepsilon|1-z|\backslash frac$$

4. 따름정리

아벨 극한 정리에 따르면, 실수 멱급수가 수렴 구간의 오른쪽 끝점에서 수렴하면 이 끝점에서 좌연속 함수이고, 왼쪽 끝점에서 수렴하면 이 끝점에서 우연속 함수이다. 즉, 실수 멱급수는 전체 수렴 구간에서 연속 함수이다. 그러나 복소수 멱급수는 수렴 영역의 경계점에서 수렴하더라도, 이 경계점에서 연속 함수가 아닐 수 있다.

이 정리의 직접적인 결과로, 다음 급수가 수렴하는 0이 아닌 복소수 $z$가 있다면, 다음이 성립한다.

$$\backslash lim\_\{t\backslash to\; 1^\{-\}\}\; G(tz)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_kz^k$$

여기서 극한은 좌극한으로 취한다.

이 정리는 무한대로 발산하는 합을 고려하도록 일반화될 수도 있다. 만약

$$\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_k\; =\; \backslash infty$$

라면

$$\backslash lim\_\{z\backslash to\; 1^\{-\}\}\; G(z)\; \backslash to\; \backslash infty.$$

하지만 급수가 무한대로 발산하는 경우가 아닌 다른 이유로 발산하는 것으로만 알려져 있다면, 이 정리의 주장은 실패할 수 있다. 예를 들어, 다음 멱급수를 생각해 보자.

$$\backslash frac\{1\}\{1+z\}$$

$z\; =\; 1$에서 급수는 $1\; -\; 1\; +\; 1\; -\; 1\; +\; \backslash cdots$와 같지만, $\backslash tfrac\{1\}\{1+1\}\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}.$이다.

또한 이 정리는 수렴 반지름이 $R\; =\; 1$이 아닌 경우에도 성립한다. 다음과 같은 멱급수를 생각해보자.

$$G(x)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_kx^k$$

수렴 반지름이 $R$이고, 급수가 $x\; =\; R$에서 수렴한다고 가정하면, $G(x)$는 $x\; =\; R$에서 좌측에서 연속이다. 즉,

$$\backslash lim\_\{x\backslash to\; R^-\}G(x)\; =\; G(R).$$

5. 일반화

아벨 극한 정리의 일반화는 다음과 같다.

* 실수 멱급수: 테일러 급수
::$$G\; (x)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_k\; x^k$$
가 실수 계수 $a\_k$를 가지는 수렴반경 $1$인 멱급수이고,
::$$\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_k$$
가 수렴 급수이면, $G(x)$는 $x\; =\; 1$에서 왼쪽에서 연속이며, 다음이 성립한다.
::$$\backslash lim\_\{x\backslash to\; 1^-\}\; G(x)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_k.$$

* 복소수 멱급수: 복소수 멱급수
::$$G(z)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_k\; z^k,$$
에 대해서도 성립하며, $z\; \backslash to\; 1$이 단일 Stolz sector 내에서 완전히 이루어질 경우, 즉
::$$|1-z|\; \backslash leq\; M(1-|z|)$$
인 어떤 고정된 유한 $M\; >\; 1$에 대해, 열린 원판의 영역일 경우 성립한다. 이 제한이 없으면 극한이 존재하지 않을 수 있다. 예를 들어, 멱급수
::$$\backslash sum\_\{n>0\}\; \backslash frac\{z^\{3^n\}-z^\{2\backslash cdot\; 3^n\}\}\; n$$
는 $z\; =\; 1$에서 $0$으로 수렴하지만, $e^\{\backslash pi\; i/3^n\}$ 형태의 모든 점 근처에서는 유계 함수가 아니므로, $z\; =\; 1$에서의 값은 전체 열린 원판에서 $z$가 1로 향할 때의 극한이 아니다.

$G(z)$는 수렴 원판의 콤팩트 공간 부분 집합에서의 급수의 균등 수렴에 의해, 에 대해 실수 닫힌 구간 $[0,\; t]$에서 연속적이다. 아벨의 정리를 통해 $G(z)$의 $[0,\; 1]$로의 제한이 연속적이라는 것을 알 수 있다.

* 일반적인 점으로의 확장: 위의 논의에서 멱급수의 중심을 $z=0$으로 하였지만, 일반적인 점을 중심으로 해도 정리가 성립한다. 마찬가지로, "수렴반경이 1", "원주상의 점 $z=1$"이라는 가정도 본질적이지 않다. 이것들은 정규화된 결과로 보아야 하며, 평행 이동, 확대 축소, 회전을 가하면 위의 논의는 일반화할 수 있다.

5.1. 경계점에서 무한대로 발산하는 경우

중심이 0이고 모든 계수가 음이 아닌 실수인 멱급수
:sum^영어_n=0^∞ a_nxⁿ (a₀, a₁, a₂, ... ≥ 0)
의 수렴 반지름이 0 < r < ∞이고,
:sum^영어_n=0^∞ a_nrⁿ = ∞
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:lim_x→r^- sum^영어_n=0^∞ a_nxⁿ = ∞

만약
:sum^영어_k=0^∞ a_k = ∞
라면
:lim_z→1^- G(z) → ∞
이다.

하지만, 급수가 무한대로 발산하는 경우가 아닌 다른 이유로 발산하는 것으로만 알려져 있다면, 이 정리의 주장은 실패할 수 있다. 예를 들어
:1/(1+z)^영어
의 멱급수를 생각해 보자.

z = 1^영어에서 급수는 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯^영어와 같지만, 1/(1+1) = 1/2^영어이다.

또한, 이 정리는 수렴 반지름이 R = 1^영어이 아닌 경우에도 성립한다. 다음과 같은 멱급수를 생각해보자.
:G(x) = sum^영어_k=0^∞ a_kx^k
수렴 반지름이 R^영어이고, 급수가 x = R^영어에서 수렴한다고 가정하자. 그러면 G(x)^영어는 x = R^영어에서 좌측에서 연속이다. 즉,
:lim_x→R^-G(x)^영어 = G(R)^영어.
정리의 가정에 있는 " sum^영어_n=0^∞ a_n은 수렴한다"는 조건은 필요하다. 이 조건이 없으면 다음과 같은 반례가 있다.

:1/(1+x) = 1 - x + x^영어2 - ⋯ (수렴반경 1)

좌변은 lim_x→1-0 1/(1+x) = 1/2^영어에 수렴하지만, 우변은 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯^영어에 가까워져 수렴하지 않는다.

5.2. 경계점에서 수렴하지 않는 경우

Abel's theorem^영어은 수렴 반지름이 $R\; =\; 1$이 아닌 경우에도 성립한다. 다음과 같은 멱급수를 생각해 보자.

:$G(x)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_kx^k$

수렴 반지름이 $R$이고, 급수가 $x\; =\; R$에서 수렴한다고 가정하자. 그러면 $G(x)$는 $x\; =\; R$에서 좌측에서 연속이다. 즉,

:$\backslash lim\_\{x\backslash to\; R^-\}G(x)\; =\; G(R).$

이 정리에서 "$\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; a\_n$ 은 수렴한다"는 조건은 반드시 필요하다. 이 조건이 없으면 다음과 같은 반례가 있다.

:$\backslash frac\{1\}\{1+x\}=1-x+x^2-\backslash cdots$(수렴반경 1)

좌변은 $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 1-0\}\; \backslash frac\{1\}\{1+x\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$에 수렴하지만, 우변은 $1-1+1-1+\backslash cdots$에 가까워져 수렴하지 않는다.

5.3. 복소수의 경우 (일반화)

중심이 0인 복소수 멱급수
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_nz^n\backslash qquad(a\_0,a\_1,a\_2,\backslash dots\backslash in\backslash mathbb\; C)$
의 수렴 반지름이
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n\backslash zeta^n$
이 수렴한다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
:$\backslash lim\_\{t\backslash to\; 1^-\}\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n(t\backslash zeta)^n=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n\backslash zeta^n$

보다 일반적으로, 곡선 $\backslash gamma\backslash colon[0,1]\backslash to\backslash operatorname\{ball\}\_\{\backslash mathbb\; C\}(0,r)\backslash cup\backslash \{\backslash zeta\backslash \}$가 다음을 만족시킨다고 하자. (여기서 $\backslash operatorname\{ball\}$은 열린 공이다.)
* $\backslash gamma(1)=\backslash zeta$
* $\backslash sup\_\{t\backslash in[0,1)\}\backslash frac$