콜모고로프-아르놀트-모저 정리

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1. 개요
2. 정의
3. KAM 이론
4. KAM 토러스
- 4.1. 조건
5. 결과
6. 역사
참조

1. 개요

콜모고로프-아르놀트-모저 정리(KAM 정리)는 해밀턴 역학계에 미세한 섭동이 가해질 때, 적분 가능한 시스템의 불변 원환면(invariant torus) 중 일부가 유지된다는 것을 설명하는 정리이다. 이 정리는 안드레이 콜모고로프, 블라디미르 아르놀트, 위르겐 모저에 의해 증명되었으며, KAM 이론의 핵심을 이룬다. KAM 정리는 해밀턴 시스템의 궤적을 불변 토러스로 제한하며, 섭동 하에서도 비공명 조건과 비퇴화 조건을 만족하는 불변 토러스는 준주기적인 운동을 유지한다.

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콜모고로프-아르놀트-모저 정리
개요
분야	수학, 물리학, 역학계
하위 분야	역학계 이론, 미분방정식, 해밀턴 역학계
관련 개념	에르고딕 이론, 동역학계, 보편성
상세 정보
이름	콜모고로프-아르놀트-모저 정리
영문명	Kolmogorov–Arnold–Moser theorem
로마자 표기	Kollomogoreupeu-Areunollteu-Mojeo jeongni
별칭	KAM 이론, KAM 정리
설명	섭동 하에서 보존적 동역학계의 안정성에 대한 정리이다. 해밀턴 계가 작은 섭동을 받을 때, 대부분의 비공명 토러스가 유지되며, 섭동의 크기에 따라 변형된다.
관련 인물	안드레이 콜모고로프 블라디미르 아르놀트 위르겐 모저

2. 정의

콜모고로프-아르놀트-모저 정리(KAM 정리)는 적분가능계 해밀토니언 시스템에 작은 섭동이 가해졌을 때, 어떤 조건 하에서 준주기적 운동이 유지되는지를 설명한다. KAM 정리는 적분가능한 해밀토니언 시스템의 위상 공간 내 궤적을 통해 설명된다.

우선, 섭동이 없는 적분가능계의 경우, 운동은 불변 토러스(도넛 모양의 표면)에 제한되며, 이때 해밀토니언 함수는 각도 변수에만 의존한다.

하지만 여기에 미세한 섭동을 가하면, 즉 해밀토니언 함수에 작용 변수와 각도 변수 모두에 의존하는 항을 추가하면, 일부 불변 토러스는 변형되면서 유지되고, 나머지는 파괴된다.

이때, 다음 두 가지 조건을 만족하면 섭동된 시스템에서도 준주기적 해가 존재한다.

$\omega_{ij}I^j$ 가 디오판토스 벡터이어야 한다.
헤세 행렬 $\partial^2H_0/\partial I^i\partial I^j$ 이 가역 행렬이어야 한다.

여기서 "충분히 작은" 섭동에 대한 조건은, 섭동 항

V

가 복소수 닫힌 근방에서 해석적 연속이 가능하고, 그 크기가 특정 값보다 작아야 함을 의미한다.

2. 1. 적분가능 해밀토니언 시스템

적분가능계의 작용-각도 변수가

(I^i,\theta_i)

라고 하자 (

I^i\in\mathbb R

,

\theta_i\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z

). 이때,

2n

차원 심플렉틱 다양체

(M,\omega)

에서 해밀토니언 함수

H_0(I)

는 작용 변수에만 의존하고, 각도 변수에는 의존하지 않는다. 이 계의 운동 방정식은 다음과 같다.

:

\dot I^i=0

:

\dot\theta_i=\omega_{ij}I^j

I^i

들은 운동 상수이며, 계의

\theta_i

에 대한 주기는

1/(2\pi\omega_{ij}I^j)

이다. 만약

I^i

들의 비가 유리수라면 이는 해밀턴 방정식의 주기적 해를 이루며, 무리수라면 이는 해밀턴 방정식의 준주기적(quasiperiodic^영어) 해를 이룬다.

각

(I^1,\dots,I^n)

에 대응하는

n

차원 원환면을 '''불변 원환면'''(invariant torus^영어)이라고 한다.

적분가능계의 운동은 불변 토러스(도넛 모양의 표면)로 제한된다. 적분 가능한 해밀턴 역학계의 서로 다른 초기 조건은 위상 공간에서 서로 다른 불변 토러스를 그린다. 적분 가능계의 좌표를 플로팅하면 준주기적임을 알 수 있다.

2. 2. 섭동

해밀토니언 함수에 미세한 적분 불가능 섭동을 가하면 다음과 같다.

:

H(I,\theta)=H_0(I)+V(I,\theta)

만약

V

가 충분히 작다면, 불변 원환면들이 그대로 유지되는지 여부를 묻는 질문이 제기된다. 콜모고로프-아르놀트-모저 정리(KAM 정리)는 이 질문에 대한 해답을 제시한다.

KAM 정리에 따르면, 시스템에 약한 비선형 섭동이 가해질 때, 일부 불변 토리는 변형되면서 유지된다. 즉, 원래 매니폴드에서 변형된 매니폴드로의 연속적인 맵이 존재한다. 반면, 다른 불변 토리들은 파괴된다. 임의로 작은 섭동이라도 매니폴드를 더 이상 불변 상태로 유지하지 못하게 하며, 인접한 매니폴드로의 맵은 존재하지 않는다. 살아남는 토리들은 비공명 조건을 만족하는데, 이는 "충분히 무리수적인" 진동수를 갖는다는 것을 의미한다. 결과적으로 변형된 토리에서의 운동은 독립적인 주기가 변경된 채로 준주기적으로 유지된다. KAM 정리는 이러한 현상이 실제로 일어나기 위해 적용 가능한 섭동의 수준을 정량화한다.

섭동에 의해 파괴되는 KAM 토리들은 1979년 이안 C. 퍼시벌에 의해 ''칸토리''(Cantori)로 명명된 불변 칸토어 집합이 된다.^[5]

KAM 정리의 비공명 및 비퇴화 조건은 자유도가 더 많은 시스템에서 만족시키기 점점 더 어려워진다. 시스템의 차원 수가 증가함에 따라 토리가 차지하는 부피는 감소한다.

섭동이 증가하고 부드러운 곡선이 붕괴됨에 따라, 덜 엄격한 가설을 요구하고 칸토어 집합과 같은 집합을 다루는 오브리-매더 이론으로 이동한다.

양자 다체 가적분 시스템의 섭동에 대한 KAM 정리의 존재는 여전히 열린 문제로 남아 있지만, 임의로 작은 섭동이 무한 크기 극한에서 적분 가능성을 파괴할 것으로 예상된다.

2. 3. 디오판토스 벡터

임의의 벡터

\mathbf v\in\mathbb R^n

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 상수

a,b>0

가 존재한다면

\mathbf v

를 '''디오판토스 벡터'''(Diophantine vector^영어)라고 한다.

:

\forall\mathbf u\in\mathbb Z^n\setminus\{0\}\colon|\mathbf u\cdot\mathbf v|\ge a\left(|u_1|+\cdots+|u_n|\right)^{-b}

르베그 측도에 대하여 거의 모든 벡터는 디오판토스 벡터이다.

2. 4. KAM 정리의 조건

KAM 정리에 따르면, 임의의 (I⁰, ..., Iⁿ) ∈ ℝⁿ에 대하여 다음 조건이 만족되면, 충분히 작은 V에 대해 섭동된 해밀토니언 H = H₀ + V에 대하여 주기가 ω_ijI^j인 준주기적 해가 존재한다.

$\omega_{ij}I^j$ 가 디오판토스 벡터이어야 한다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 상수 $a,b>0$ 가 존재해야 한다.

:

\forall\mathbf u\in\mathbb Z^n\setminus\{0\}\colon|\mathbf u\cdot\mathbf v|\ge a\left(|u_1|+\cdots+|u_n|\right)^{-b}

:르베그 측도에 대하여 거의 모든 벡터는 디오판토스 벡터이다.

헤세 행렬 $\partial^2H_0/\partial I^i\partial I^j$ 이 가역 행렬이어야 한다.

여기서 "충분히 작은

V

"라는 것은 다음을 의미한다.

$V\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R$
$V\colon(I^i,\theta_i)\mapsto V(I,\theta)$ 가 $\{(I^1,\dots,I^n)\}\times\mathbb R^n$ 의 복소수 닫힌 근방

:

\{(I^1,\dots,I^n)\}\times\mathbb R^n\subset U\subset\bar U\subset\mathbb C^n\times\mathbb C^n

으로 해석적 연속될 수 있다.

$\|V\|=\sup_{x\in\bar U}|V(x)|$ 라고 할 때, $\|V\|<\epsilon(a,b)$ 이라면 $(a,b)$ -디오판토스 벡터에 대하여 준주기적인 해가 존재하게 되는 양의 실수 $\epsilon(a,b)\in\mathbb R^+$ 이 존재한다. (이 실수는 디오판토스 벡터의 정의에서의 상수 $(a,b)$ 에 의존한다.)

2. 5. "충분히 작은 V"의 의미

다음과 같이 정의하자.

:

V\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R

:

V\colon(I^i,\theta_i)\mapsto V(I,\theta)

이는

\{(I^1,\dots,I^n)\}\times\mathbb R^n

의 복소수 닫힌 근방

:

\{(I^1,\dots,I^n)\}\times\mathbb R^n\subset U\subset\bar U\subset\mathbb C^n\times\mathbb C^n

으로 해석적 연속될 수 있다.

:

\|V\|=\sup_{x\in\bar U}|V(x)|

일 때,

\|V\|<\epsilon(a,b)

이라면

(a,b)

-디오판토스 벡터에 대하여 준주기적인 해가 존재하게 되는 양의 실수

\epsilon(a,b)\in\mathbb R^+

이 존재한다. 이 실수는 디오판토스 벡터 정의의 상수

(a,b)

에 의존한다.

3. KAM 이론

콜모고로프, 아르놀트, 모저가 도입한 방법들은 준주기적 운동과 관련된 방대한 결과 집합인 '''KAM 이론'''으로 발전했다. 특히, 이는 비해밀턴 계(모저의 연구에서 시작), 비섭동 상황(미하엘 헤르만의 연구와 같이) 및 빠르고 느린 진동수를 가진 계(미하일 B. 세브류크의 연구와 같이)로 확장되었다.

4. KAM 토러스

불변 다양체 $\mathcal{T}^{d}$ 가 흐름 $\phi^{t}$ 의 작용 하에서 불변이고, 표준 d-토러스로의 미분동형사상이 존재하여 $\mathbb{T}^{d}$ 에서의 결과적인 운동이 균일 선형적이지만 정적이지 않은 경우, 이 다양체를 불변 d-토러스라고 한다. 이러한 불변 d-토러스 중 특별한 조건을 만족하는 경우를 ''KAM 토러스''라고 부른다.

4. 1. 조건

주파수 벡터 $\boldsymbol{\omega}$가 다음 조건을 만족하면 불변 $d$-토러스 $\mathcal{T}^{d}$ ($d\geq 2$)를 ''KAM 토러스''라고 부른다.

유리수와 무관하다 (''일명'' 비가환적, 즉 모든 $\boldsymbol{k}\in\mathbb{Z}^{d}\backslash\left\{ \boldsymbol{0} \right\}$에 대해 $\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{\omega} \neq 0$이다).
유리수로 "나쁘게" 근사된다. 일반적으로 ''디오판토스''적 의미에서, $ \gamma, \tau > 0 $가 존재하여 모든 $\boldsymbol{k}\in\mathbb{Z}^{d}\backslash \left\{\boldsymbol{0} \right\}$에 대해 $|\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{k}|\geq \frac{\gamma}{\|\boldsymbol{k}\|^{\tau}}$이다.

$d=1$인 경우는 일반적으로 고전적 KAM 이론에서 작은 분모가 관여하지 않기 때문에 제외된다.

5. 결과

KAM 정리의 중요한 결과는 초기 조건의 큰 집합에 대해 운동이 영구적으로 준주기적으로 유지된다는 것이다.

6. 역사

안드레이 콜모고로프^[6], 블라디미르 아르놀트^[7], 위르겐 모저^[8]가 증명하였다.

참조

_[1] 논문 On the Conservation of Conditionally Periodic Motions under Small Perturbation of the Hamiltonian [О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона] Dokl. Akad. Nauk SSR 1954
_[2] 논문 On invariant curves of area-preserving mappings of an annulus Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II 1962
_[3] 논문 Proof of a theorem of A. N. Kolmogorov on the preservation of conditionally periodic motions under a small perturbation of the Hamiltonian [Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике] Uspekhi Mat. Nauk 1963
_[4] 간행물 Addendum to Arnold Memorial Workshop: Khesin on Pinzari's talk http://blog.math.tor[...] 2011-10-24
_[5] 학술지 A variational principle for invariant tori of fixed frequency 1979-03-01
_[6] 논문 On the Conservation of Conditionally Periodic Motions under Small Perturbation of the Hamiltonian Dokl. Akad. Nauk SSR 1954
_[7] 논문 Proof of a Theorem of A. N. Kolmogorov on the Preservation of Conditionally Periodic Motions under a Small Perturbation of the Hamiltonian Uspehi Mat. Nauk 1963
_[8] 논문 On Invariant Curves of Area-Preserving Mappings of an Annulus Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II 1962

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