콤프턴 파장

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1. 개요
2. 정의 및 의미
- 2.1. 콤프턴 파장
- 2.2. 환산 콤프턴 파장
3. 콤프턴 효과
4. 양자역학 및 상대성 이론에서의 역할
5. 측정의 한계
6. 다른 상수와의 관계
7. 기하학적 해석
참조

1. 개요

콤프턴 파장은 입자가 정지해 있을 때 그 입자의 에너지와 동일한 에너지를 갖는 광자의 파장으로 정의된다. 콤프턴 파장은 질량을 가진 입자의 파동성을 나타내며, 전자의 콤프턴 파장은 약 2.426pm이다. 콤프턴 파장은 콤프턴 효과, 양자역학, 상대성 이론 등에서 중요한 역할을 하며, 클라인-고든 방정식, 디랙 방정식, 슈뢰딩거 방정식 등 다양한 방정식에 나타난다. 또한, 콤프턴 파장은 입자의 위치를 측정하는 데 대한 근본적인 한계를 나타내며, 보어 반지름, 고전 전자 반지름, 리드베리 상수 등 다른 물리 상수와 관계가 있다.

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콤프턴 파장
기본 정보
명칭	콤프턴 파장
로마자 표기	Keompeuteon Pajang
영어 명칭	Compton wavelength
일본어 명칭	コンプトン波長
관련 인물	아서 콤프턴
정의
기호	'λ', 'λ'
정의	입자의 양자 역학적 속성을 나타내는 파장
수식
계산식	= /
설명	는 콤프턴 파장, 는 플랑크 상수, 은 입자의 질량, 는 광속
전자 콤프턴 파장
값	2.42631023538(76)×10 m
불확실성	3.1×10
관계식
파장, 주파수, 에너지 관계	= / = / = /

2. 정의 및 의미

콤프턴 파장은 어떤 입자가 정지해 있을 때, 그 입자의 에너지와 동일한 에너지를 갖는 광자의 파장으로 정의된다. 질량 $m$ 을 갖는 입자는 $1=E=mc^2$ 의 정지 에너지를 갖는다. 이 입자에 대한 콤프턴 파장은 동일한 에너지를 갖는 광자의 파장이다. 진동수 $f$ 의 광자에 대해 에너지는 다음과 같이 주어진다.

: $E = h f = \frac{h c}{\lambda} = m c^2,$

전자의 콤프턴 파장을 안다면 입사한 광자가 전자에 의해서 파장이 얼마나 변할 수 있는지 그 범위를 가늠할 수 있다.^[6] 파장 변화가 코사인 함수에 의존하므로 산란각이 180도일 때 파장 변화가 최대임을 알 수 있고, 전자의 콤프턴 파장값이 약 2.426pm^[7]으로 알려져 있으므로, 전자에 의한 파장 변화는 최대 4.852pm까지 일어날 수 있다. 이 때, 질량을 가지는 기본입자들을 모두 따져본다면 전자의 질량이 가장 작다. 따라서 전자에 의한 콤프턴 효과에서 최대의 파장 변화를 볼 수 있으리라는 것을 확인할 수 있다. 전자보다 무거운 다른 입자들과의 산란에서는 콤프턴 파장이 작아짐에 따라 전자에 비해 상대적으로 작은 파장 변화를 볼 수 있을 것이다.

감소 콤프턴 파장은 양자 규모에서 질량을 나타내는 자연스러운 표현이며, 클라인-고든 방정식과 슈뢰딩거 방정식과 같이 관성 질량과 관련된 방정식에 사용된다.^[2]

2. 1. 콤프턴 파장

콤프턴 파장(플랑크 상수 ''h'', 입자의 정지 질량 ''m'', 광속 ''c'')은 다음과 같이 표현된다.

:

\lambda = \frac{h}{m c}

전자의 콤프턴 파장을 알면 입사한 광자가 전자에 의해 파장이 얼마나 변할 수 있는지 그 범위를 가늠할 수 있다.^[6] 파장 변화가 코사인 함수에 의존하므로 산란각이 180도일 때 파장 변화가 최대임을 알 수 있고, 전자의 콤프턴 파장값이 약 2.426pm^[7]으로 알려져 있으므로, 전자에 의한 파장 변화는 최대 4.852pm까지 일어날 수 있다. 질량을 가지는 기본입자들을 모두 따져본다면 전자의 질량이 가장 작다. 따라서 전자에 의한 콤프턴 효과에서 최대의 파장 변화를 볼 수 있다. 전자보다 무거운 다른 입자들과의 산란에서는 콤프턴 파장이 작아짐에 따라 전자에 비해 상대적으로 작은 파장 변화를 볼 수 있다.

감소 콤프턴 파장은 양자 규모에서 질량을 나타내는 자연스러운 표현이며, 클라인-고든 방정식과 슈뢰딩거 방정식과 같이 관성 질량과 관련된 방정식에 사용된다.^[2]

질량과 상호 작용하는 광자의 파장과 관련된 방정식은 감소되지 않은 콤프턴 파장을 사용한다. 질량

m

을 갖는 입자는

1=E=mc^2

의 정지 에너지를 갖는다. 이 입자에 대한 콤프턴 파장은 동일한 에너지를 갖는 광자의 파장이다. 진동수

f

의 광자에 대해 에너지는 다음과 같이 주어진다.

:

E = h f = \frac{h c}{\lambda} = m c^2,

2. 2. 환산 콤프턴 파장

환산 콤프턴 파장(바람다, ƛ)은 콤프턴 파장을 2π로 나눈 값이다.^[2]

:

\bar\lambda = \frac{\lambda}{2 \pi} = \frac{\hbar}{m c},

여기서 ħ는 환산 플랑크 상수이다.

환산 콤프턴 파장은 양자 규모에서 질량을 나타내는 자연스러운 표현이며, 클라인-고든 방정식과 슈뢰딩거 방정식과 같이 관성 질량과 관련된 방정식에 사용된다.^[2]

3. 콤프턴 효과

광자(주로 X선이나 감마선)가 정지해 있는 전자와 충돌하여 산란될 때, 산란된 광자의 파장이 입사 광자의 파장보다 길어지는 현상을 콤프턴 효과라고 한다.^[6] 콤프턴 산란에서 파장 변화(Δλ)는 다음과 같이 주어진다.

:λ' - λ = h / (mₑc) (1 - cos θ)

여기서 λ'는 산란된 광자의 파장, λ는 입사 광자의 파장, mₑ는 전자의 정지 질량, θ는 산란각이다. 전자의 콤프턴 파장은 약 2.426pm^[7]이며, 전자에 의한 파장 변화는 최대 4.852pm까지 일어날 수 있다. 전자는 질량이 가장 작은 기본 입자 중 하나이므로, 콤프턴 효과에서 가장 큰 파장 변화를 보인다. 전자보다 무거운 다른 입자들과의 산란에서는 콤프턴 파장이 작아짐에 따라 상대적으로 작은 파장 변화를 관측할수 있다.^[6]

4. 양자역학 및 상대성 이론에서의 역할

환산 콤프턴 파장은 양자 규모에서 질량을 나타내는 자연스러운 표현이며, 따라서 양자 역학의 많은 기본 방정식에 나타난다.

환산 콤프턴 파장은 자유 입자에 대한 상대론적 클라인-고르돈 방정식에 나타난다.

: $\mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = \left(\frac{m c}{\hbar} \right)^2 \psi.$

이는 디랙 방정식에도 나타난다 (다음은 공변적인 형태이며 아인슈타인 합 규약을 사용한다).

: $-i \gamma^\mu \partial_\mu \psi + \left( \frac{m c}{\hbar} \right) \psi = 0.$

환산 콤프턴 파장은 슈뢰딩거 방정식에도 존재하지만, 방정식의 전통적인 표현에서는 쉽게 알 수 없다. 다음은 수소 유사 원자에 있는 전자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 전통적인 표현이다.

: $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r} \psi.$

$\hbar c$ 로 나누고 미세구조 상수로 다시 쓰면 다음과 같다.

: $\frac{i}{c}\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\bar{\lambda}}{2} \nabla^2\psi - \frac{\alpha Z}{r} \psi.$

4. 1. 클라인-고르돈 방정식

환산 콤프턴 파장은 자유 입자에 대한 상대론적 클라인-고르돈 방정식에 나타난다.

:

\mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = \left(\frac{m c}{\hbar} \right)^2 \psi.

이는 디랙 방정식에도 나타난다 (다음은 공변적인 형태이며 아인슈타인 합 규약을 사용한다).

:

-i \gamma^\mu \partial_\mu \psi + \left( \frac{m c}{\hbar} \right) \psi = 0.

4. 2. 디랙 방정식

디랙 방정식에도 환산 콤프턴 파장이 나타난다. 디랙 방정식은 다음과 같이 표현된다.

-i \gamma^\mu \partial_\mu \psi + \left( \frac{m c}{\hbar} \right) \psi = 0.

이는 공변적인 형태이며 아인슈타인 합 규약을 사용한다.

4. 3. 슈뢰딩거 방정식

슈뢰딩거 방정식은 전통적인 표현에서는 콤프턴 파장이 명확히 드러나지 않는다. 그러나 수소 유사 원자에 있는 전자에 대한 슈뢰딩거 방정식에서

\hbar c

로 나누고 미세구조 상수로 다시 쓰면 환산 콤프턴 파장이 나타난다.

:

\frac{i}{c}\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\bar{\lambda}}{2} \nabla^2\psi - \frac{\alpha Z}{r} \psi.

5. 측정의 한계

콤프턴 파장은 양자역학과 특수상대성이론을 고려할 때 입자의 위치를 측정하는 데 대한 근본적인 한계를 나타낸다.^[3]

이 한계는 입자의 질량 ''m''에 따라 달라진다. 입자의 위치를 측정하기 위해 빛을 쏘아 반사시키는 방법을 사용할 수 있는데, 위치를 정확하게 측정하려면 짧은 파장의 빛, 즉 높은 에너지를 가진 광자가 필요하다. 만약 이러한 광자의 에너지가 ''mc''²을 초과하면, 위치를 측정하려는 입자에 광자가 충돌할 때 같은 종류의 새로운 입자가 생성될 수 있어 원래 입자의 위치에 대한 질문이 무의미해진다.

이러한 현상은 환산 콤프턴 파장 이하에서는 입자의 생성과 소멸을 설명할 수 있는 양자장론이 중요해짐을 보여준다. 입자의 위치를 Δ''x''의 정확도 내에서 측정하려고 할 때, 운동량에 대한 불확정성 원리에 의해 입자의 운동량의 불확정성 Δp는 다음을 만족한다.

:Δp ≥ ħ / (2Δx)

운동량과 에너지 사이의 상대론적 관계 ''E''² = (''pc'')² + (''mc''²)²를 사용하면, Δ''p''가 ''mc''를 초과할 때 에너지의 불확정성은 ''mc''²보다 커진다. 이는 같은 종류의 다른 입자를 생성하기에 충분한 에너지이다. 따라서 위치의 불확정성은 환산 콤프턴 파장 ħ/''mc''의 절반보다 커야 한다.

6. 다른 상수와의 관계

물리학에서 전형적인 원자 길이, 파수 및 면적은 전자의 환산 콤프턴 파장 리듀스드 콤프턴 웨이브렝스}} ( $\bar{\lambda}_\text{e} \equiv \tfrac{\lambda_\text{e/reduced Compton wavelength$ ^영어{2\pi}\simeq 386~\textrm{fm}) 및 미세구조 상수 파인 스트럭처 콘스턴트}}( $\alpha\simeq\tfrac{1}{137}$ ) 와 관련이 있다.

보어 반지름은 콤프턴 파장과 다음과 같은 관계가 있다.

: $a_0 = \frac{1}{\alpha}\left(\frac{\lambda_\text{e}}{2\pi}\right) = \frac{\bar{\lambda}_\text{e}}{\alpha} \simeq 137\times\bar{\lambda}_\text{e}\simeq 5.29\times 10^4~\textrm{fm}$

고전 전자 반지름은 양성자 반지름보다 약 3배 더 크며, 다음과 같이 표현된다.

: $r_\text{e} = \alpha\left(\frac{\lambda_\text{e}}{2\pi}\right) = \alpha\bar{\lambda}_\text{e} \simeq\frac{\bar{\lambda}_\text{e}}{137}\simeq 2.82~\textrm{fm}$

리드베리 상수는 선형 파수의 차원을 가지며, 다음과 같이 표현된다.

: $\frac{1}{R_\infty}=\frac{2\lambda_\text{e}}{\alpha^2} \simeq 91.1~\textrm{nm}$

: $\frac{1}{2\pi R_\infty} = \frac{2}{\alpha^2}\left(\frac{\lambda_\text{e}}{2\pi}\right) = 2 \frac{\bar{\lambda}_\text{e}}{\alpha^2} \simeq 14.5~\textrm{nm}$

이는 다음과 같은 수열을 제공한다.

: $r_{\text{e}} = \alpha \bar{\lambda}_{\text{e/fine-structure constant$ ^영어 = \alpha^2 a_0 = \alpha^3 \frac{1}{4\pi R_\infty}.

페르미온의 경우, 환산 콤프턴 파장은 상호 작용의 단면적을 설정한다. 예를 들어, 전자에서 광자의 톰슨 산란에 대한 단면적은

$\sigma_\mathrm{T} = \frac{8\pi}{3}\alpha^2\bar{\lambda}_\text{e}^2 \simeq 66.5~\textrm{fm}^2 ,$

와 같으며, 이는 대략 철-56 원자핵의 단면적과 같다. 게이지 보손의 경우, 콤프턴 파장은 유카와 상호작용의 유효 범위를 설정한다. 광자는 질량이 없기 때문에 전자기력은 무한한 범위를 갖는다.

플랑크 질량은 콤프턴 파장과 슈바르츠실트 반지름 $r_{\rm S} = 2 G M /c^2$ 이 같을 때의 질량 정도이며, 그 값은 플랑크 길이( $l_{\rm P}$ )에 가깝다. 슈바르츠실트 반지름은 질량에 비례하는 반면, 콤프턴 파장은 질량의 역수에 비례한다. 플랑크 질량과 길이는 다음과 같이 정의된다.

: $m_{\rm P} = \sqrt{\hbar c/G}$

: $l_{\rm P} = \sqrt{\hbar G /c^3}.$

6. 1. 보어 반지름

보어 반지름(Bohr radius)(

a_0

)은 전자의 환산 콤프턴 파장(

\bar{\lambda}_\text{e} \equiv \tfrac{\lambda_\text{e}}{2\pi}\simeq 386~\textrm{fm}

) 및 미세구조 상수(

\alpha\simeq\tfrac{1}{137}

)와 다음과 같은 관계를 갖는다.

:

a_0 = \frac{1}{\alpha}\left(\frac{\lambda_\text{e}}{2\pi}\right) = \frac{\bar{\lambda}_\text{e}}{\alpha} \simeq 137\times\bar{\lambda}_\text{e}\simeq 5.29\times 10^4~\textrm{fm}

6. 2. 고전 전자 반지름

고전 전자 반지름(

r_\text{e}

)은 미세구조 상수 (

\alpha\simeq\tfrac{1}{137}

)와 전자의 환산 콤프턴 파장 (

\bar{\lambda}_\text{e} \equiv \tfrac{\lambda_\text{e}}{2\pi}\simeq 386~\textrm{fm}

)을 통해 다음과 같이 표현된다.

:

r_\text{e} = \alpha\left(\frac{\lambda_\text{e}}{2\pi}\right) = \alpha\bar{\lambda}_\text{e} \simeq\frac{\bar{\lambda}_\text{e}}{137}\simeq 2.82~\textrm{fm}

이는 양성자 반지름보다 약 3배 더 크다.

6. 3. 리드베리 상수

리드베리 상수(Ry)는 선형 파수의 차원을 가지며, 전자의 콤프턴 파장(

\lambda_\text{e}

)과 미세구조 상수(

\alpha

)를 통해 다음과 같이 표현된다.

:

\frac{1}{R_\infty}=\frac{2\lambda_\text{e}}{\alpha^2} \simeq 91.1~\textrm{nm}

:

\frac{1}{2\pi R_\infty} = \frac{2}{\alpha^2}\left(\frac{\lambda_\text{e}}{2\pi}\right) = 2 \frac{\bar{\lambda}_\text{e}}{\alpha^2} \simeq 14.5~\textrm{nm}

이는 다음과 같은 관계식을 갖는다.

:

r_{\text{e}} = \alpha \bar{\lambda}_{\text{e}} = \alpha^2 a_0 = \alpha^3 \frac{1}{4\pi R_\infty}.

6. 4. 톰슨 산란 단면적

페르미온의 경우, 환산 콤프턴 파장은 상호 작용의 단면적을 설정한다. 예를 들어, 전자에서 광자의 톰슨 산란에 대한 단면적은

$$\sigma_\mathrm{T} = \frac{8\pi}{3}\alpha^2\bar{\lambda}_\text{e}^2 \simeq 66.5~\textrm{fm}^2$$

와 같으며, 이는 대략 철-56 원자핵의 단면적과 같다. 여기서 $\alpha$는 미세구조 상수, $\bar{\lambda}_\text{e}$는 전자의 환산 콤프턴 파장이다.

6. 5. 유카와 상호작용

게이지 보손의 경우, 콤프턴 파장은 유카와 상호작용의 유효 범위를 설정한다. 광자는 질량이 없기 때문에 전자기력은 무한한 범위를 갖는다.

6. 6. 플랑크 질량 및 플랑크 길이

7. 기하학적 해석

콤프턴 파장은 파동 패킷의 운동을 기술하는 반고전적 방정식을 통해 기하학적으로 해석될 수 있다.^[4] 이 경우, 콤프턴 파장은 양자 공간을 기술하는 측정값인 양자 측도의 제곱근과 같다: $\sqrt{g_{kk}}=\lambda_\mathrm{C}$ .

참조

_[1] 웹사이트 CODATA 2022 value for Compton wavelength for the electron https://physics.nist[...]
_[2] 서적 Relativistic Quantum Mechanics: Wave Equations https://books.google[...] Springer
_[3] 논문 Quantum Gravity And Minimum Length
_[4] 논문 Universal semiclassical equations based on the quantum metric for a two-band system https://link.aps.org[...] 2021-10-26
_[5] 문서 CODATA Value
_[6] 서적 Concepts of Modern Physics
_[7] 웹사이트 CODATA 2006 value for Compton wavelength for the electron http://physics.nist.[...]

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