크라메르 법칙

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1. 개요
2. 정의
3. 증명
4. 예
- 4.1. 2개의 방정식의 경우
- 4.2. 3개의 방정식의 경우
5. 역사
6. 응용
7. 한계
- 7.1. 계산 복잡도
- 7.2. 불능 및 부정 사례
참조

1. 개요

크라메르 법칙은 연립 일차 방정식의 해를 행렬식을 사용하여 구하는 방법이다. 정사각 행렬 A의 행렬식이 0이 아니고, 연립 일차 방정식 Ax=B의 해를 x_j = det(A_j) / det(A)로 나타낼 수 있다. 이 법칙은 체(field)의 계수를 가진 방정식 시스템에 적용되며, 미분기하학, 정수 계획법, 미분 방정식, 역행렬 계산 등 다양한 분야에 응용된다. 하지만 계산 복잡도가 높아 큰 규모의 연립 방정식에는 효율적이지 않으며, 불능 또는 부정의 경우에도 적용에 한계가 있다.

2. 정의

연립 일차 방정식

: $Ax=B$

에서, $A$ 가 정사각 행렬이며, 행렬식이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 '''크라메르 법칙'''이라고 한다.

: $x_j=\frac{\det A_j}{\det A}=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&b_1&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&\cdots&b_2&\cdots&a_{2n}\\\vdots&&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&b_n&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&\cdots&a_{2j}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}}\qquad(j=1,\dots,n)$

여기서 $A_j$ 는 $A$ 의 $j$ 번째 열을 $B$ 로 대신하여 얻는 행렬이다.

n개의 변수를 가지고 n개의 일차 방정식으로 구성된 선형 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\begin{cases}a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1,\\a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2,\\\qquad\qquad \vdots\\a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn} x_n = b_n\end{cases}$

또는 이를 행렬 표기법으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $A := \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}, \quadx := \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix},\quadb := \begin{bmatrix} b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{bmatrix}$

: $Ax=b$

이때, 계수 행렬 $A$ 가 정칙(가역)이라고 가정한다. 이는 $\det(A) \ne 0$ 인 것과 동치이다.

이러한 가정 하에서, 이 방정식은 유일하게 풀 수 있으며, 유일한 해 $x$ 의 각 성분 $x_i$ 는

: $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$

로 주어진다. 여기서 사용된 행렬 $A_i$ 는 행렬 $A$ 의 $i$ 번째 열( $i = 1, 2, \dots, n$ )을 방정식의 우변인 $b$ 로 대체하여 얻은 행렬이다.

: $A_i := \begin{bmatrix}a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\a_{2,1} & \cdots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2,n} \\\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n}\end{bmatrix}$

3. 증명

크라메르 법칙의 증명은 행렬식의 성질, 특히 한 열에 대한 선형성과 두 열이 같을 때 행렬식이 0이 된다는 성질을 이용한다.^[15]

연립 일차 방정식

: $a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1$

: $a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2$

: $\vdots$

: $a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n$

의 계수 행렬 $A$ 의 $(i,j)$ -여인자를 $C_{ij}$ 라고 하면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다.

: $a_{1k}C_{1j}+a_{2k}C_{2j}+\cdots+a_{nk}C_{nj}=\begin{cases}\det A&k=j\\0&k\ne j\end{cases}$

: $b_1C_{1j}+b_2C_{2j}+\cdots+b_nC_{nj}=\det A_j$

이에 따라, 각 $i$ 번째 방정식에 $C_{ij}$ 을 곱한 뒤 모두 더하면

: $\det A\cdot x_j=\det A_j$

를 얻는다. $\det A\ne0$ 이므로, 양변을 $\det A$ 로 나누면

: $x_j=\frac{\det A_j}{\det A}$

를 얻는다.

$x_1$ 은 다음 행렬의 행렬식으로도 증명할 수 있다.^[15]

: $X_1=\begin{bmatrix}x_1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\x_2 & 1 & 0 & \cdots & 0\\x_3 & 0 & 1 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\x_n & 0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix}$

원래 행렬 $A$ 가 가역 행렬이라고 가정하면, 이 행렬 $X_1$ 은 열 $A^{-1}\mathbf{b}, A^{-1}\mathbf{v}_2, \ldots, A^{-1}\mathbf{v}_n$ 을 가지며, 여기서 $\mathbf{v}_n$ 는 행렬 $A$ 의 ''n''번째 열이다. 행렬 $A_1$ 은 열 $\mathbf{b}, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n$ 을 가지므로, $X_1=A^{-1}A_1$ 이다. 따라서 두 행렬의 곱의 행렬식은 행렬식들의 곱이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $x_1= \det (X_1) = \det (A^{-1}) \det (A_1)= \frac{\det (A_1)}{\det (A)}.$

다른 $x_j$ 에 대한 증명도 유사하다.

다음은 단위 행렬의 제 $i$ -열을 방정식 $Ax = b$ 의 변수 벡터 $x$ 로 대체하여 얻은 행렬 $X_i$ 를 고려하여 증명하는 방법이다. 예를 들어, $n = 4$ 일 때의 $X_2$ 는 다음과 같다.

: $X_2 = \begin{bmatrix}1 & x_1 & 0 & 0 \\ 0 & x_2 & 0 & 0 \\ 0 & x_3 & 1 & 0 \\ 0 & x_4 & 0 & 1\end{bmatrix}$

이때, $AX_i = A_i$ 및 $\det(X_i) = x_i$ 이다. 제시된 예에서 다음이 성립한다.

: $\begin{align}A \cdot X_2&= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & x_1 & 0 & 0 \\0 & x_2 & 0 & 0 \\0 & x_3 & 1 & 0 \\0 & x_4 & 0 & 1\end{bmatrix}\\[10pt]&= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + a_{14}x_4 & a_{13} & a_{14} \\a_{21} & a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + a_{24}x_4 & a_{23} & a_{24} \\a_{31} & a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + a_{34}x_4 & a_{33} & a_{34} \\a_{41} & a_{41}x_1 + a_{42}x_2 + a_{43}x_3 + a_{44}x_4 & a_{43} & a_{44}\end{bmatrix}\\[10pt]&= \begin{bmatrix}a_{11} & b_1 & a_{13} & a_{14} \\a_{21} & b_2 & a_{23} & a_{24} \\a_{31} & b_3 & a_{33} & a_{34} \\a_{41} & b_4 & a_{43} & a_{44}\end{bmatrix}\\[10pt]&= A_2\end{align}$

또한 행렬식의 곱셈성에 의해 다음이 성립한다.

: $\begin{align}\det(A)\cdot\det(X_i) &=\det(A_i)\\\det(A)\cdot x_i &=\det(A_i)\\x_i &= \det(A_i)\cdot\det(A)^{-1}\end{align}$

가정에 의해 $\det(A) \ne 0$ 이므로 $\det(A)^{-1}$ 이 존재한다.

크라메르 법칙의 성립은 다음 정리에 집약될 수 있다.^[25]

: 정방 선형 방정식 계 $Ax = b$ 가 주어졌을 때, $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ 가 이 방정식 계의 해라면, 각 $i$ 에 대해 $\det(A)x_i = \det(A_i)$ 가 성립한다.

행렬 $A_i$ 는 행렬 $A$ 의 제 $i$ -열을 계의 우변인 $b$ 로 대체하여 얻을 수 있는 행렬이다. 방정식의 해가 유일하다는 가정을 제외하면 나눗셈을 수행할 수 없는 경우도 발생할 수 있지만, 지금 언급한 형태의 정리라면 방정식 계의 계수가 가환환 값을 취하는 경우를 포함하여 항상 성립한다.

4. 예

크라메르 법칙은 연립 일차 방정식의 해를 행렬식을 이용하여 구하는 방법이다. 2개 또는 3개의 방정식으로 구성된 연립 일차 방정식의 해를 구하는 구체적인 예시는 하위 섹션에서 자세히 설명한다.^[1]

4. 1. 2개의 방정식의 경우

다음과 같은 2개의 미지수를 갖는 선형 방정식계를 생각해 보자.

:

\begin{cases} ax+by ={\color{red}e}\\ cx + dy = {\color{red}f}\end{cases}

또는 행렬을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{bmatrix}

여기서

ad - bc \ne 0

이라고 가정하면, 크라메르 법칙을 사용하여

x

와

y

를 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

\begin{align}x = \tfrac { \begin{vmatrix} \color{red}{e} & b \\ \color{red}{f} & d \end{vmatrix}\ } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { {\color{red}e}d - b{\color{red}f} \over ad - bc},\\[8pt]y = \tfrac { \begin{vmatrix} a & \color{red}{e} \\ c & \color{red}{f} \end{vmatrix}\ } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { a{\color{red}f} - {\color{red}e}c \over ad - bc}\end{align}

예를 들어, 다음 선형 방정식계를 살펴보자.

:

\begin{cases}{\color{blue}1}\,x_1+{\color{blue}2}\,x_2={\color{OliveGreen}3}\\{\color{blue}4}\,x_1+{\color{blue}5}\,x_2={\color{OliveGreen}6}\end{cases}

이 방정식계의 확대 계수 행렬은 다음과 같다.

:

({\color{blue}A} \mid {\color{OliveGreen}b}) =\left[ \begin{array}{cc|c}{\color{blue}1} & {\color{blue}2} & {\color{OliveGreen}3} \\{\color{blue}4} & {\color{blue}5} & {\color{OliveGreen}6}\end{array}\right]

크라메르 법칙에 따라, 이 방정식계의 해는 다음과 같이 구할 수 있다.

:

\begin{align}x_1 &= \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{\begin{vmatrix}\color{OliveGreen}{3}&\color{blue}{2}\\\color{OliveGreen}{6}&\color{blue}{5}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\color{blue}1}&{\color{blue}2}\\{\color{blue}4}&{\color{blue}5}\end{vmatrix}} = \frac{3}{-3} = -1,\\[10pt]x_2 &= \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{\begin{vmatrix}{\color{blue}1}&{\color{OliveGreen}3}\\{\color{blue}4}&{\color{OliveGreen}6}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\color{blue}1}&{\color{blue}2}\\{\color{blue}4}&{\color{blue}5}\end{vmatrix}} = \frac{-6}{-3} = 2\end{align}

여기서 세로 막대는 행렬식을 나타내는 표준적인 기호이다.

4. 2. 3개의 방정식의 경우

다음과 같은 연립 일차 방정식이 주어졌다고 하자.

:

ax+by+cz=j

:

dx+ey+fz=k

:

gx+hy+iz=l

이 연립 방정식이 유일한 해를 갖는다면, 크라메르 법칙을 사용하여 해를 다음과 같이 구할 수 있다.

:

x=\frac{\begin{vmatrix}j&b&c\\k&e&f\\l&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}},\;y=\frac{\begin{vmatrix}a&j&c\\d&k&f\\g&l&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}},\;z=\frac{\begin{vmatrix}a&b&j\\d&e&k\\g&h&l\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}

^[1]

여기서 세로 막대는 행렬식을 나타내는 표준적인 기호이다.

예를 들어, 다음과 같은 연립 일차 방정식이 주어졌다고 하자.

:

\begin{cases}{\color{blue}82}\,x_1+{\color{blue}45}\,x_2+{\color{blue}9}\,x_3={\color{OliveGreen}1}\\{\color{blue}27}\,x_1+{\color{blue}16}\,x_2+{\color{blue}3}\,x_3={\color{OliveGreen}1}\\{\color{blue}9}\, x_1+{\color{blue}5}\, x_2+{\color{blue}1}\,x_3={\color{OliveGreen}0}\\\end{cases}

이 방정식의 확대 계수 행렬은 다음과 같다.

:

({\color{blue}A} \mid {\color{OliveGreen}b}) =\left[ \begin{array}{ccc|c}{\color{blue}82} & {\color{blue}45} & {\color{blue}9} & {\color{OliveGreen}1} \\{\color{blue}27} & {\color{blue}16} & {\color{blue}3} & {\color{OliveGreen}1} \\{\color{blue}9}  & {\color{blue}5}  & {\color{blue}1} & {\color{OliveGreen}0}\end{array}\right]

크라메르 법칙에 따라, 해는 다음과 같이 구할 수 있다.

:

\begin{align}x_1 &= \frac{\begin{vmatrix}\color{OliveGreen}{1} & \color{blue}{45} & \color{blue}{9}\\\color{OliveGreen}{1} & \color{blue}{16} & \color{blue}{3}\\\color{OliveGreen}{0} & \color{blue}{5}  & \color{blue}{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color{blue}{82} & \color{blue}{45} & \color{blue}{9}\\\color{blue}{27} & \color{blue}{16} & \color{blue}{3}\\\color{blue}{9}  & \color{blue}{5}  & \color{blue}{1}\end{vmatrix}} = \frac{1}{1} = 1,\\[10pt]x_2 &= \frac{\begin{vmatrix}\color{blue}{82} & \color{OliveGreen}{1} & \color{blue}{9}\\\color{blue}{27} & \color{OliveGreen}{1} & \color{blue}{3}\\\color{blue}{9}  & \color{OliveGreen}{0} & \color{blue}{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color{blue}{82} & \color{blue}{45} & \color{blue}{9}\\\color{blue}{27} & \color{blue}{16} & \color{blue}{3}\\\color{blue}{9}  & \color{blue}{5}  & \color{blue}{1}\end{vmatrix}} = \frac{1}{1} = 1,\\[10pt]x_3 &= \frac{\begin{vmatrix}\color{blue}{82} & \color{blue}{45} & \color{OliveGreen}{1}\\\color{blue}{27} & \color{blue}{16} & \color{OliveGreen}{1}\\\color{blue}{9}  & \color{blue}{5}  & \color{OliveGreen}{0}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color{blue}{82} & \color{blue}{45} & \color{blue}{9}\\\color{blue}{27} & \color{blue}{16} & \color{blue}{3}\\\color{blue}{9}  & \color{blue}{5}  & \color{blue}{1}\end{vmatrix}} = \frac{-14}{1} = -14\end{align}

^[1]

5. 역사

크라메르 법칙은 스위스 수학자 가브리엘 크라메르(1704년 - 1752년)가 1750년에 출판한 저서 «곡선 대수 분석 입문» ^[16]의 부록 1에 처음 등장했다. 크라메르는 3개의 방정식을 가진 선형 방정식계에 대한 명시적 공식을 제시하며, 더 많은 방정식 수를 가진 계를 풀기 위한 공식 작성을 설명했다. 당시에는 행렬식 개념이 없었기 때문에, 크라메르는 분자와 분모가 다항식인 분수를 사용하여 기술했다.

위 그림은 크라메르가 현대와는 다른 표기법을 사용했음을 보여준다. 크라메르 자신은 유일하게 풀 수 없는 선형 방정식계가 존재한다는 것을 알고 있었다^[21]. 베주는 1764년에 유일하게 풀 수 없는 선형 방정식계에서는 이 식의 분모가 0이 된다는 것을 보였다^[21]. 크라메르는 이 법칙의 증명을 제시하지 않았으며, 이는 1815년에 코시가 했다(오늘날 사용되는 크라메르의 법칙 표기법을 도입한 것도 코시이다).

라이프니츠는 1678년의 손으로 쓴 논문에서 이미 크라메르의 법칙을 사용했지만, 이는 나중에 발견되지 않아 선형 방정식계의 해법 발전에 영향을 미치지 못했다^[17]. 매클로린은 1748년의 저서 “대수학 논문”에서 방정식이 2개 또는 3개인 경우의 선형 방정식에 대한 크라메르 법칙의 특별한 경우를 설명했다. 매클로린은 이러한 공식을 더 많은 방정식 수를 가진 일반적인 경우로 확장하는 아이디어를 가지고 있었지만, 크라메르와 달리 다항식의 부호를 올바르게 결정하는 방법을 알지 못했다^[22]. 20세기에 수학사학자 Carl Benjamin Boyer|보이어^영어는 크라메르와 매클로린 중 누가 이 공식을 발견했는지에 대한 의문을 제기하고, 명칭을 매클로린-크라메르의 법칙으로 해야 한다고 주장했다^[23].

6. 응용

크라메르 법칙은 선형 방정식 시스템을 푸는 것 외에도, 행렬 방정식의 해를 구하는 데 응용된다. 일반적인 크라메르 공식은 다음과 같은 행렬 방정식을 고려한다.^[13]

: $AX = B$

여기서 행렬 의 행렬식은 0이 아니고, , 는 행렬이다. 이때, 특정 조건을 만족하는 부분 행렬들의 행렬식을 이용하여 해를 표현할 수 있다.

또한, 크라메르 법칙은 역행렬 계산에도 사용된다. 정칙 행렬 A의 역행렬은 다음과 같이 여인수 행렬 를 사용하여 나타낼 수 있다.

: $A^{-1} = \frac 1{\det(A)} \operatorname{adj} (A)$

이 공식은 행렬의 성분이 실수뿐만 아니라 체나 가환환의 원소일 때도 성립한다.

6. 1. 미분기하학

크라메르 법칙은 미분기하학에서 야코비 행렬과 관련된 계산을 할 때 유용하게 사용된다.^[14]

두 방정식

F(x, y, u, v) = 0

과

G(x, y, u, v) = 0

이 있고, u와 v가 독립 변수이며,

x = X(u, v)

,

y = Y(u, v)

로 정의될 때,

\partial x/\partial u

를 구하는 식은 크라메르 법칙으로 찾을 수 있다.

먼저 F, G, x, y의 미분을 계산하면 다음과 같다.

:

dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0

:

dG = \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0

:

dx = \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dv

:

dy = \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dv

dF, dG에 dx와 dy를 대입하면 다음과 같다.

:

dF = \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0

:

dG = \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0

u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial F}{\partial u}

:

\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial G}{\partial u}

:

\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial F}{\partial v}

:

\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial G}{\partial v}

크라메르 법칙을 적용하면 다음과 같다.

:

\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\begin{vmatrix} -\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ -\frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}

이는 두 야코비안 항으로 표현할 수 있다.

:

\frac{\partial x}{\partial u} = - \frac{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(u, y\right)}\right)}{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(x, y\right)}\right)}

\frac{\partial x}{\partial v}

,

\frac{\partial y}{\partial u}

,

\frac{\partial y}{\partial v}

에 대한 공식도 마찬가지로 유도할 수 있다.

크라메르 법칙은 1종 및 2종 크리스토펠 기호와 관련된 여러 계산에서 리치 미분 기하학에 사용된다.^[14]

특히, 크라메르 법칙은 리만 다양체에서 발산 연산자가 좌표 변환에 대해 불변임을 증명하는 데 사용될 수 있다.

6. 2. 정수 계획법

크라메르 법칙은 제약 행렬이 완전 단일 모듈러이고 우변이 정수인 정수 계획법 문제에 정수 기저 해가 있음을 증명하는 데 사용될 수 있다.^[1] 이는 정수 계획법 문제를 훨씬 쉽게 해결할 수 있게 해준다.^[1]

6. 3. 미분 방정식

크라메르 법칙은 매개변수 변동법을 사용하여 비제차 선형 미분 방정식의 일반 해를 구하는 데 사용된다.^[1]

6. 4. 역행렬 계산

체 의 원소를 갖는 행렬 에 대해, 다음이 성립한다.

:

A\,\operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A)\,A=\det(A) I

여기서 는 수반 행렬, 는 행렬식, 는 단위 행렬이다. 가 0이 아니라면, 의 역행렬은 다음과 같다.

:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A).

^[15]

이 공식은 인 경우 의 역행렬을 제공한다. 이 공식은 가 가환환이고, 가 단위인 경우에도 성립한다. 가 단위가 아니라면, 는 그 환에서 가역적이지 않다. ( 의 비단위 원소가 가역적일 수 있는 더 큰 환에서는 가역적일 수 있다.)

7. 한계

방정식계가 불능이란 해가 없을 때를 말하며, 부정이란 해가 하나 이상일 때를 말한다. 선형 방정식의 경우, 부정계는 무한히 많은 해를 갖게 된다. 왜냐하면 해는 임의의 값을 가질 수 있는 하나 이상의 매개변수로 표현될 수 있기 때문이다.

크라메르의 법칙은 계수 행렬식이 0이 아닌 경우에 적용된다. 2×2의 경우, 계수 행렬식이 0이면 분자 행렬식이 0이 아니면 시스템은 불일치하며, 분자 행렬식이 0이면 부정이다.

3×3 이상 시스템의 경우, 계수 행렬식이 0일 때 분자 행렬식 중 하나라도 0이 아니면 시스템이 불일치해야 한다. 그러나 모든 행렬식이 0이라고 해서 시스템이 부정인 것은 아니다. 모든 행렬식이 0이지만 시스템이 여전히 불일치하는 간단한 예는 3×3 시스템 ''x''+''y''+''z''=1, ''x''+''y''+''z''=2, ''x''+''y''+''z''=3이다.

7. 1. 계산 복잡도

크라메르 법칙을 이용하여 원 선형 방정식계를 풀려면, 개의 행렬식을 계산해야 한다.^[24] 이 알고리즘에서 산술 연산은 모두 행렬식 계산에서 발생한다.^[24]

라이프니츠 공식에 따라 크라메르 법칙에 나타나는 행렬식을 계산하면, (''n'' − 1)⋅''n''! 회의 곱셈과 ''n'' − 1회의 덧셈을 해야 한다.^[24] 이는 4개의 방정식을 가진 계의 경우에도 360회의 곱셈, 4회의 나눗셈, 115회의 덧셈을 한다는 것을 의미하며, 다른 방법에 비해 매우 많은 계산이 필요하다.^[24] 행렬식 계산에 더 효율적인 알고리즘을 사용한다고 해도, 크라메르 법칙으로 선형 방정식을 풀 경우 가우스 소거법 등보다 훨씬 많은 계산량이 필요하다.^[24]

원 일차 연립 방정식에 대해, 매초 의 성능을 가지는 컴퓨터로 계산하면, 계산 시간은 다음 표와 같다:^[24]

n	10	12	14	16	18	20
계산 시간	0.4초	1분	3.6시간	41일	38년	16,000년

7. 2. 불능 및 부정 사례

방정식계가 불능이란 해가 없을 때를 말하며, 부정이란 해가 하나 이상일 때를 말한다. 선형 방정식의 경우, 부정계는 무한히 많은 해를 갖게 된다. 왜냐하면 해는 임의의 값을 가질 수 있는 하나 이상의 매개변수로 표현될 수 있기 때문이다.^[1]

크라메르 법칙은 계수 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우에 적용된다. 2×2의 경우, 계수 행렬식이 0이면, 분자 행렬식이 0이 아니면 시스템은 불일치하며, 분자 행렬식이 0이면 부정이다.^[1]

3×3 이상 시스템의 경우, 계수 행렬식이 0일 때 말할 수 있는 유일한 것은 분자 행렬식 중 하나라도 0이 아니면 시스템이 불일치해야 한다는 것이다. 그러나 모든 행렬식이 0이라고 해서 시스템이 부정인 것은 아니다. 모든 행렬식이 사라지지만(0과 같지만) 시스템이 여전히 불일치하는 간단한 예는 3×3 시스템 ''x''+''y''+''z''=1, ''x''+''y''+''z''=2, ''x''+''y''+''z''=3이다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques https://www.european[...] Europeana 2012-05-18
_[2] 간행물 Cramer's Rule is due to Cramer
_[3] 서적 A Treatise of Algebra, in Three Parts. https://archive.org/[...] Printed for A. Millar & J. Nourse
_[4] 서적 A History of Mathematics Wiley
_[5] 서적 A History of Mathematics Pearson Education
_[6] 간행물 An Earlier Date for "Cramer's Rule" http://professorhedm[...]
_[7] 서적 Linear Algebra: A Modern Introduction Cengage Learning
_[8] 서적 Numerical Methods for Engineers and Scientists, Second Edition CRC Press
_[9] 서적 Applied Linear Algebra and Matrix Analysis Springer Science & Business Media
_[10] 서적 Accuracy and Stability of Numerical Algorithms: Second Edition SIAM
_[11] 간행물 A condensation-based application of Cramerʼs rule for solving large-scale linear systems https://hal.archives[...]
_[12] 간행물 Solution of a System of Linear Equations in an Integral Ring
_[13] 간행물 A note on a generalized Cramer's rule
_[14] 서적 The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors) Dover
_[15] 간행물 A Short Proof of Cramer's Rule
_[16] 서적 Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques http://www.europeana[...] Europeana 2012-05-18
_[17] 서적 A Treatise of Algebra, in Three Parts. https://archive.org/[...]
_[18] 서적 A History of Mathematics Wiley
_[19] 서적 A History of Mathematics Pearson Education 2004
_[20] 간행물 An Earlier Date for "Cramer's Rule"
_[21] 서적 A History of Algorithms. Form of the Pebble to the Microchip. Springer-Verlag
_[22] 간행물 Cramer's Rule Is Due to cramer. 2001-10
_[23] 간행물 An Earlier Date for „Cramer's Rule“
_[24] 서적 Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Springer
_[25] 서적 Algebra. Addison-Wesley

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