타당성

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1. 개요
2. 논증 (Arguments)
- 2.1. 타당한 논증의 예
- 2.2. 타당하지 않은 논증의 예
3. 형식 논리학에서의 타당성 (Valid formula)
4. 명제와 타당성 (Statements)
5. 건전성 (Soundness)
6. 만족성 (Satisfiability)
7. 진리 보존 (Preservation)
8. 기타 용법
참조

1. 개요

타당성은 논리학에서 논증의 핵심 속성으로, 전제가 참일 경우 결론이 거짓이 되는 것이 모순되지 않는 논증을 의미한다. 타당성은 논리적 형식의 정확성을 위반하지 않고 전제에서 결론이 도출되는 필연성을 부여하며, 전제가 참일 경우 결론도 참인 논증을 건전하다고 한다. 타당한 논증은 논리적 진리이며, 타당하지 않은 논증은 부당하다고 한다. 타당성은 논증의 논리적 형식에 따라 결정되며, 형식 논리학에서 공식이 유효하다는 것은 언어의 모든 해석 하에서 참임을 의미한다. 타당성은 진리 보존, 건전성, 만족성과도 관련되며, 논리학 외에도 다양한 분야에서 사용된다.

2. 논증 (Arguments)

논리학에서 논증은 '전제'(비경험적 증거, 경험적 증거, 또는 몇 가지 공리적 진리를 포함할 수 있음)와 '전제 간의 관계에 기초한 필연적인 결론'을 표현하는 관련 진술의 집합이다.

논증은 모든 전제가 참일 경우 결론이 거짓이 되는 것이 모순될 경우에만 '타당'하다.^[3] 타당성은 전제의 진실성을 요구하지 않으며, 대신 논리적 진리가 논리 형식의 정확성을 위반하지 않고 전제에서 결론이 도출되도록 필연성을 부여한다. 타당한 논증의 전제가 입증되어 참인 경우 건전성이라고 한다.^[3]

타당한 논증의 대응 조건문은 논리적 진리이며, 그 대응 조건문의 부정은 모순이다. 결론은 전제의 필연적 결과이다. 타당하지 않은 논증은 "부당"하다고 한다.

일반적인 견해는 논증이 타당한지 여부는 논증의 논리적 형식의 문제라는 것이다. 논리학자들은 논증의 논리적 형식을 표현하기 위해 다양한 기술을 사용한다.

2. 1. 타당한 논증의 예

타당한 논증의 대표적인 예시는 삼단논법이다. 다음은 그 예시이다.^[3]

'''예 1''' (타당)

모든 사람은 죽는다.
소크라테스는 사람이다.
결론: 소크라테스는 죽는다.

위 논증은 전제와 결론이 모두 참일 뿐만 아니라, 전제와 결론 사이의 논리적 관계가 필연적이므로 타당하다. 전제 사이에 중간 항(사람)이 설정되어야 논증이 성립하며, 각 용어(사람, 소크라테스, 죽는다)가 반복되는 것을 확인할 수 있다.

'''예 1'''의 일반화

P⇒Q

:** 집합 P (인간)는 예외 없이 Q이다 (죽는다).

:* n∈P

:** n (소크라테스)는 P의 요소이다.

:* 결론: n⇒Q

:** n은 (P이므로) Q이다 (죽는다).

이 형식을 유지한 채 (즉 기호로 나타낸 부분만) 임의의 단어로 바꿔 다른 논증을 만들면, 진리값은 변할 수 있지만, 타당성은 형식에 의존하므로 유지된다.

다음은 동일한 논리 형식을 가지지만 전제와 결론이 모두 거짓인 타당한 논증의 예시이다.

'''예 2''' (타당)

모든 컵은 초록색이다.
소크라테스는 컵이다.
결론: 소크라테스는 초록색이다.

'''예 2''' (타당)

모든 원숭이는 바나나를 좋아한다.
후지산은 원숭이다.
결론: 후지산은 바나나를 좋아한다.

이처럼 전제나 결론이 거짓이더라도 논리 형식만 유지된다면 논증은 타당할 수 있다. 중요한 것은 전제가 참일 경우 결론도 반드시 참이 되는 관계, 즉 필연성이 성립하는지 여부이다.^[3]

2. 2. 타당하지 않은 논증의 예

논증은 전제가 모두 참이지만 결론이 거짓일 수 있는 경우 타당하지 않다. 다음은 타당하지 않은 논증의 예시이다.^[3]

'''예시 3''' (타당하지 않음)

모든 까마귀는 검다.
이 새는 검다.
결론: 이 새는 까마귀이다.

여기서 언급된 '이 검은 새'는 실제로 까마귀일 수도 있다. 즉, 결론은 참일 수 있다. 그러나 결론이 전제로부터 도출된 것은 아니며, '전제가 모두 참'인 것과 '결론이 거짓'인 경우가 양립 가능하다. 따라서 이 논증은 타당하지 않다.^[3]

3. 형식 논리학에서의 타당성 (Valid formula)

형식 언어에서 공식은 그 언어의 모든 가능한 해석에서 참일 때만 유효하다. 명제 논리에서 타당한 공식은 항진명제이다.

4. 명제와 타당성 (Statements)

명제 자체는 타당성을 가질 수 없고, 논증 전체의 구조에 따라 타당성이 결정된다. 명제 논리에서 명제는 참 또는 거짓일 수 있지만, 타당하거나 부당하다고 불리지 않는다.^[3] 아리스토텔레스 논리에서도 명제 자체는 타당하지 않으며, 타당성은 전체 논증과 관련이 있다.^[3]

다음은 삼단 논법의 예로 유명하며 타당한 논증이다.^[3]

'''예 1''' (타당)^[3]

모든 인간은 죽는다.
소크라테스는 인간이다.
결론: 소크라테스는 죽는다.

이것은 연역적 논증이며, 기호로 바꾸면 다음과 같이 기술할 수 있다.^[3]

:'''예 1'''의 일반화^[3]

:*P⇒Q

:** 집합 P (인간)는 예외 없이 Q이다 (죽는다).

:*n∈P

:** n (소크라테스)는 P의 요소이다.

:*결론: n⇒Q

:** n은 (P이므로) Q이다 (죽는다).

이 형식을 유지한 채 (즉 기호로 나타낸 부분만) 임의의 단어로 바꿔 다른 논증을 만들면, 진리값은 변할 수 있지만, 타당성은 형식에 의존하므로 유지된다.^[3] 이 예는 원래 문장이 타당하므로, 다음 문장도 (난센스이긴 하지만) 타당하다.^[3]

'''예 2''' (타당)^[3]

모든 원숭이는 바나나를 좋아한다.
후지산은 원숭이다.
결론: 후지산은 바나나를 좋아한다.

예 2의 결론은 거짓이다. 타당한 논증의 결론이 참이 아니라는 것으로부터, 전제 중 하나가 반드시 거짓이라고 말할 수 있다.^[3] 반대로 말하면, 예 2의 전제를 (억지로) 참이라고 가정한다면, 후지산은 바나나를 좋아한다고 결론 내리는 것이 논리적 귀결이 된다.^[3]

다음 논증은 타당하지 않다.^[3]

'''예시 3''' (타당하지 않음)^[3]

모든 까마귀는 검다.
이 새는 검다.
결론: 이 새는 까마귀이다.

여기서 논의되는 '이 검은 새'는 정말 까마귀일지도 모른다. 즉 결론이 참일 수도 있다. 그러나 그것은 전제로부터 도출된 것이 아니라, '전제가 모두 참'인 것과 '결론이 거짓'인 것이 양립할 수 있다. 따라서 이 논증은 타당성이 없다.^[3]

5. 건전성 (Soundness)

연역적 논증이 건전하려면 논증이 타당해야 할 뿐만 아니라 모든 전제가 참이어야 한다.^[3]

타당하지만 건전하지 않은 논증의 예시는 다음과 같다.

모든 컵은 초록색이다. ('''거짓''')
소크라테스는 컵이다. ('''거짓''')
그러므로, 소크라테스는 초록색이다. ('''거짓''')

위 논증은 거짓 전제와 거짓 결론을 가지고 있지만, 논리 형식은 타당하다.

6. 만족성 (Satisfiability)

모형 이론은 적절한 수학적 구조 내에서 특정 종류의 해석에 관하여 공식을 분석한다. 이러한 해석에서 모든 해석을 참으로 만드는 경우 그 공식은 유효하다. 전제를 유효하게 만드는 모든 해석이 결론을 유효하게 만들면 그 추론은 유효하다. 이것은 ''의미론적 유효성''으로 알려져 있다.^[4]

7. 진리 보존 (Preservation)

진리 보존 타당성은 모든 변수에 '참'의 진리값이 할당된 해석은 '참'의 진리값을 생성하는 것을 의미한다.

거짓 보존 타당성은 모든 변수에 '거짓'의 진리값이 할당된 해석은 '거짓'의 진리값을 생성하는 것을 의미한다.^[5]

보존 속성	논리 연결사 문장
참 및 거짓 보존:	명제 논리 결합 (AND, $\land$ ), 논리적 선언 (OR, $\lor$ )
참만 보존:	동어반복 ( $\top$ ), 쌍조건자 (XNOR, $\leftrightarrow$ ), 함축 ( $\rightarrow$ ), 역 함축 ( $\leftarrow$ )
거짓만 보존:	모순 ( $\bot$ ), 배타적 논리합 (XOR, $\oplus$ ), 비함축 ( $\nrightarrow$ ), 역 비함축 ( $\nleftarrow$ )
비 보존:	부정 ( $\neg$ ), 대안 부정 (NAND, $\uparrow$ ), 결합 부정 (NOR, $\downarrow$ )

8. 기타 용법

'타당'이라는 말은 논리학 외에도 다른 뜻을 지닌다. 예를 들어, "타당한 견해", "타당한 조건" 등에서 사용되는 경우이다.^[1]

보편적 타당성이나 객관적 타당성이라고 할 때의 '타당성'은 일반적으로 통용되거나, 객관적으로 인정될 수 있는 것을 의미한다. 보편적 타당성은 개별적이거나 특수한 것이 아니라 일반적으로 통용되는 것을 말하며, 객관적 타당성은 주관적인 것이 아니라 주관을 떠나서 통용되는 것을 말한다. 예를 들어, 뉴턴 역학의 3법칙은 보편적이고 객관적인 타당성을 지닌다. 다만, 보편적 타당성은 상대적인 것임에 주의해야 하며, 이는 단순한 상대주의를 뜻하는 것은 아니다(진리 참조).^[1]

사회과학에서는 구체적 타당성을 의미하기도 한다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 Validity and Soundness – Internet Encyclopedia of Philosophy http://www.iep.utm.e[...]
_[2] 간행물 Logical Consequence http://plato.stanfor[...] 2014
_[3] 서적 Introduction to logic Routledge 2017-01-06
_[4] 서적 Logic, Language, and Meaning: Introduction to Logic University of Chicago Press 1991
_[5] 서적 Critical Thinking: Step by Step https://archive.org/[...] University Press of America 1998

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