프라티니 논증

3. 증명

임의의 $g\backslash in\; G$에 대하여, $gPg^\{-1\}$은 $N$의 쉴로브 ''p''-부분군이다. 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 $N$에서 $P$와 켤레이다. 즉,

:$ngPg^\{-1\}n^\{-1\}=P$

인 $n\backslash in\; N$이 존재한다. 따라서 $ng\backslash in\backslash operatorname\; N\_G(P)$이며,

:$g\backslash in\; n^\{-1\}\backslash operatorname\; N\_G(P)\backslash subseteq\; N\backslash operatorname\; N\_G(P)$

이다.

군 $P$는 $H$의 실로우 $p$-부분군이므로, $H$의 모든 실로우 $p$-부분군은 $P$의 $H$-켤레, 즉 어떤 $h\; \backslash in\; H$에 대해 $h^\{-1\}Ph$의 형태를 갖는다(실로우 정리 참조). $g$를 $G$의 임의의 원소라고 하자. $H$가 $G$에서 정규 부분군이므로, 부분군 $g^\{-1\}Pg$는 $H$에 포함된다. 이는 $g^\{-1\}Pg$가 $H$의 실로우 $p$-부분군임을 의미한다. 따라서, 위에 의해, 이는 $P$의 $H$-켤레여야 한다. 즉, 어떤 $h\; \backslash in\; H$에 대해

: $g^\{-1\}Pg\; =\; h^\{-1\}Ph,$

이고, 따라서

: $hg^\{-1\}Pgh^\{-1\}\; =\; P.$

그러므로

: $gh^\{-1\}\; \backslash in\; N\_G(P),$

따라서 $g\; \backslash in\; N\_G(P)H$이다. 하지만 $g\; \backslash in\; G$는 임의의 원소였으므로, $G\; =\; HN\_G(P)\; =\; N\_G(P)H$이다.

4. 응용

유한군 $G$와 소수 $p$가 주어졌고, $P$가 $G$의 쉴로브 ''p''-부분군이며, $\backslash operatorname\; N\_G(P)\backslash le\; H\backslash le\; G$라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^[2]

:$\backslash operatorname\; N\_G(H)=H$

특히,

:$\backslash operatorname\; N\_G(\backslash operatorname\; N\_G(P))=\backslash operatorname\; N\_G(P)$

이다.

$H$가 $\backslash operatorname\; N\_G(H)$의 정규 부분군이며,

:$P\backslash le\backslash operatorname\; N\_G(P)\backslash le\; H$

는 $H$의 쉴로브 ''p''-부분군이므로, 프라티니 논증에 의하여

:$\backslash operatorname\; N\_G(H)=H\backslash operatorname\; N\_\{\backslash operatorname\; N\_G(H)\}(P)\backslash le\; H\backslash operatorname\; N\_G(P)=H\backslash le\backslash operatorname\; N\_G(H)$

이다.

• 프라티니 논증은 유한 멱영군이 시로우 부분군의 직접 곱임을 증명하는 데 사용될 수 있다.
• 프라티니 논증을 $N\_G(N\_G(P))$에 적용하면, $G$가 유한군이고 $P$가 $G$의 시로우 $p$-부분군일 때마다 $N\_G(N\_G(P))\; =\; N\_G(P)$임을 보일 수 있다.
• 더 일반적으로, 부분군 $M\; \backslash leq\; G$가 $G$의 시로우 $p$-부분군 $P$에 대해 $N\_G(P)$를 포함한다면, $M$은 자기 정규화, 즉 $M\; =\; N\_G(M)$이다.

4. 1. 유한 멱영군의 구조

4. 2. 자기 정규화 부분군

5. 역사

조반니 프라티니(Giovanni Frattini)가 1885년에 유한군의 프라티니 부분군이 멱영군이라는 사실을 증명하기 위해 도입하였다.

참조

_[1] 간행물 The True Story Behind Frattini’s Argument http://www.advgroupt[...]
_[2] 서적 A Course on Finite Groups Springer 2009