프라티니 부분군

3. 성질

• 군 $G$의 프라티니 부분군 $\backslash Phi(G)$는 $G$의 모든 비생성원의 집합과 같다. $G$의 비생성원은 생성집합에서 제거할 수 있는 원소이다. 즉, $G$의 원소 $a$가 있을 때, $X$가 $a$를 포함하는 $G$의 생성집합이면 $X\; \backslash setminus\; \backslash \{a\backslash \}$도 $G$의 생성집합이다.
• $\backslash Phi(G)$는 항상 $G$의 특성 부분군이며, 특히 항상 $G$의 정규 부분군이다.
• $G$가 유한군이면, $\backslash Phi(G)$는 멱영군이다.
• $G$가 유한 ''p''-군이면, $\backslash Phi(G)=G^p\; [G,G]$이다. 따라서 프라티니 부분군은 몫군 $G/N$이 기본 아벨 군이 되는 가장 작은 (포함 관계에 대해) 정규 부분군 $N$이다. 즉, 차수 $p$인 순환군의 직합과 동형이다. 또한, 몫군 $G/\backslash Phi(G)$($G$의 ''프라티니 몫''이라고도 함)의 차수가 $p^k$이면, $k$는 $G$의 최소 생성자 수(즉, $G$의 생성집합의 최소 기수)이다. 특히, 유한 $p$-군은 프라티니 몫이 순환군(차수가 $p$)일 때와 그 때만 순환군이다. 유한 $p$-군은 프라티니 부분군이 자명군 $\backslash Phi(G)=\backslash \{e\backslash \}$일 때와 그 때만 기본 아벨 군이다.
• $H$와 $K$가 유한군이면, $\backslash Phi(H\backslash times\; K)=\backslash Phi(H)\; \backslash times\; \backslash Phi(K)$이다.
• 유한군 $G$의 정규 부분군 $N$에 대해, Φ(''G''/''N'') ≥ Φ(''G'')''N''/''N''가 성립한다.
• 유한군 $G$의 정규 부분군 $N$이 멱영일 필요충분조건은 ''N'' ′ ⊆ Φ(''G'')가 성립하는 것이다.

4. 예

크기 8의 정이면체군 $\backslash operatorname\{Dih\}(4)$의 프라티니 부분군은 {F, Ⅎ}이다. (여기서 F, Ⅎ는 회전 변환)

초특별군의 프라티니 부분군은 그 중심과 일치하며, 소수 크기의 순환군이다.

유리수체의 덧셈군 $(\backslash mathbb\; Q,+)$은 극대 진부분군을 갖지 않으며, 따라서 그 프라티니 부분군은 $\backslash mathbb\; Q$ 전체이다.

자명군은 극대 진부분군을 갖지 않으며, 그 진부분군은 자명군이다.

• '''Z'''(p^∞)를 프뤼퍼 군으로 하면, Φ('''Z'''(p^∞)) = '''Z'''(p^∞)이다.
• ''G''를 위수 ''pⁿ''인 원소 ''x''로 생성되는 순환군으로 하면, Φ(''G'') = ⟨ ''x^p'' ⟩|^영어이다.

5. 역사

참조

_[1] 논문 Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni http://www.advgroupt[...]
_[2] 문서 Frattini
_[3] 저널