피카르 군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 피카르 스킴
3. 성질
4. 예시
5. 상대적 피카르 스킴
6. 역사
7. 환의 피카르 군
8. 관련 항목
참조

1. 개요

피카르 군은 환 달린 공간 X 위에 존재하는 가역층들의 집합에 텐서곱 연산을 부여하여 얻는 군이다. 피카르 군은 층 코호몰로지를 사용하여 정의할 수 있으며, 대수적으로 닫힌 체 K에 대한 정역 스킴에 피카르 군의 K-스킴 구조를 부여한 것을 피카르 스킴이라고 한다. 피카르 스킴의 연결 성분은 Pic⁰(X)로 표기하며, 피카르 군은 네롱-세베리 군과 피카르 수, 세베리 수를 포함하는 짧은 완전열을 따른다. 특성 0인 체 위의 비특이 완비 다양체 V의 경우, 피카르 스킴의 항등원 연결 성분은 아벨 다양체인 피카르 다양체이며, 기하학적으로 네롱-세베리 군은 V 위의 인자의 대수적 동치 클래스를 설명한다. 네롱-세베리 정리에 따르면 완비 비특이 대수다양체의 네롱-세베리 군은 유한 생성 아벨 군이며, 그 꼬임 부분군은 쌍유리 동치에 대해 불변이다. 피카르 군은 에밀 피카르의 이름을 따서, 네롱-세베리 군은 프란체스코 세베리와 앙드레 네롱의 이름을 따서 명명되었다.

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피카르 군
개요
분야	대수기하학, 복소다양체 이론
관련 항목	피카르 스킴 피카르 다양체 네롱-세비리 군 차우 군
정의
정의	주어진 환 달린 공간 위의 선다발의 텐서곱에 대한 가역원들의 군
성질
성질	정역의 분수체의 가역원군은 아이디얼 유군과 동형이다.
예시
예시	사영 공간의 피카르 군은 정수군과 같다. 타원 곡선의 피카르 군은 곡선 위의 점들의 군과 동형이다.
일반화
일반화	대수적 순환의 차우 군은 피카르 군의 일반화이다. 대수적 K이론은 피카르 군의 일반화이다.
참고
참고 문헌	(영어) Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. 52. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. (영어) Voisin, Claire (2002). Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, I. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 76. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80260-7. MR 1997577.
외부 링크
외부 링크	(영어) Picard group. PlanetMath.

2. 정의

환 달린 공간 $X$ 위에 존재하는 가역층(가역 선다발)들의 집합에 텐서곱을 통해 군 연산을 부여할 수 있다. 이렇게 얻어진 군을 '''피카르 군''' $\operatorname{Pic}(X)$ 이라고 하며, 층 코호몰로지를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $\operatorname{Pic}(X)=H^1(X;\mathcal O^\times_X)$

2. 1. 피카르 스킴

대수적으로 닫힌 체 K에 대한 사영 공간의 부분 스킴인 정역 스킴에 대하여, 피카르 군에 K-스킴의 구조를 줄 수 있는데, 이를 '''피카르 스킴'''(Picard scheme^영어)이라 한다.^[4]

피카르 스킴에서, 원점을 포함하는 연결 성분을

\operatorname{Pic}^0(X)

라 한다. 이때, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

:

1\to\operatorname{Pic}^0(X)\to\operatorname{Pic}(X)\to \operatorname{Pic}(X)/\operatorname{Pic}^0(X)\to1

여기서 몫군

\operatorname{Pic}(X)/\operatorname{Pic}^0(X)

을 '''네롱-세베리 군'''(Néron–Severi group^영어)이라 하며,

\operatorname{NS}(X)

로 쓴다. 네롱-세베리 군의 계수를 '''피카르 수'''(Picard number^영어)

\rho(X)

라 한다.

3. 성질

대수적으로 닫힌 체 위의 완비 비특이 대수다양체 $X$ 의 네롱-세베리 군은 유한 생성 아벨 군이다. ('''네롱-세베리 정리''' Néron–Severi theorem^영어) 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군 $\operatorname{NS_{tors}}(X)$ 은 쌍유리 동치에 대하여 불변이다.

'''네론-세베리 군''' NS(''V'')는 몫 Pic(''V'')/Pic⁰(''V'')로 표현되는 유한 생성 아벨 군이다. 즉, 피카르 군은 다음과 같은 완전열에 들어맞는다.

: $1\to \mathrm{Pic}^0(V)\to\mathrm{Pic}(V)\to \mathrm{NS}(V)\to 1.\,$

NS(''V'')의 계수가 유한하다는 사실은 프란체스코 세베리의 '''기저의 정리'''이다. 이 계수는 ''V''의 '''피카르 수'''이며, 종종 ρ(''V'')로 표시된다. 기하학적으로 NS(''V'')는 ''V'' 위의 인자의 대수적 동치 클래스를 설명한다. 즉, 인자의 선형 동치 대신 더 강력하고 비선형적인 동치 관계를 사용하면, 분류가 이산 불변량에 적합하게 된다. 대수적 동치는 교차수에 의한 본질적으로 위상적인 분류인 수치적 동치와 밀접하게 관련되어 있다.

4. 예시

데데킨트 정역의 스펙트럼의 피카르 군은 해당 데데킨트 정역의 아이디얼 유군과 같다.
체 ''k''에 대한 사영 공간 '''P'''^''n''(''k'')의 피카르 군은 정수군 '''Z'''와 동형이다.
''k'' 위의 두 개의 원점을 가진 아핀 직선의 피카르 군은 정수군 '''Z'''와 동형이다.
$n$ 차원 복소 아핀 공간의 피카르 군은 0이다.

5. 상대적 피카르 스킴

''f'': ''X'' → ''S''를 스킴의 사상이라고 하자. '''상대 피카르 함자'''(또는 스킴인 경우 '''상대 피카르 스킴''')는 다음과 같이 주어진다.^[2] 임의의 ''S''-스킴 ''T''에 대해,

: $\operatorname{Pic}_{X/S}(T) = \operatorname{Pic}(X_T)/f_T^*(\operatorname{Pic}(T))$

여기서 $f_T: X_T \to T$ 는 ''f''의 베이스 체인지이고, ''f''_''T'' ^*는 pullback이다.

$\operatorname{Pic}_{X/S}(T)$ 의 ''L''이 임의의 기하학적 점 ''s'' → ''T''에 대해 pullback $s^*L$ 이 섬유 ''X''_''s'' 위에 가역층으로서 차수 ''r''을 가지면, 즉, 피카르 군 ''X''_''s''에 대해 차수가 정의될 때, ''L''은 차수 ''r''을 가진다고 말한다.

6. 역사

에밀 피카르의 이름을 따서 지어졌다. 네롱-세베리 군은 앙드레 네롱과 프란체스코 세베리의 이름을 따서 지어졌다.

피카르 군의 스킴 구조 구성인 '''피카르 스킴'''(Picard scheme)은 대수 기하학, 특히 아벨 다양체의 쌍대 이론에서 중요한 단계이다. 피카르 스킴은 그로텐디크(Grothendieck)가 1961년과 1962년에 구성하였으며, 멈포드(Mumford)와 클라이만(Kleiman)도 2005년에 피카르 스킴에 대해 기술하였다. '''피카르 다양체'''는 고전적인 대수 기하학의 알바네제 다양체의 쌍대이다.

고전적인 대수 기하학에서 가장 중요한 경우는 표수가 0인 체 위의 비특이한 완비 다양체 ''V''에 대해, 피카르 스킴의 단위원의 연결 성분은 Pic⁰(''V'')로 표기하며, 아벨 다양체이다. ''V''가 곡선인 특별한 경우에는, 이 성분이 ''V''의 야코비 다양체이다. 그러나 양의 표수에서는 이가 준이 비축약 Pic⁰(''S'')를 갖는, 따라서 아벨 다양체가 아닌, 매끄러운 사영 곡면 ''S''의 예를 구성했다.

몫 $\operatorname{Pic}(V)/\operatorname{Pic}^0(V)$ 는 유한 생성 아벨 군이며, ''V''의 '''네론-세베리 군'''이라고 불리며, NS(''V'')로 표기한다. 다시 말해, 피카르 군은 다음 완전열에 적합하다.

: $1\to \mathrm{Pic}^0(V)\to\mathrm{Pic}(V)\to \mathrm{NS}(V)\to 0.\,$

랭크가 유한하다는 사실은 프란체스코 세베리의 기저 정리(theorem of the base)이다. 랭크는 ''V''의 '''피카르 수''' (Picard number)이며, 종종 ρ(''V'')로 표기한다. 기하학적으로 NS(''V'')는, ''V'' 위의 인자의 대수적 동치류를 기술한다. 즉, 인자의 일차계 대신에 더 강한 비선형적인 동치 관계를 사용하면, 분류는 이산적인 불변량이 되어 다루기 쉬워진다. 대수적 동치는 교차수에 의한 본질적으로 위상수학적인 분류인 수치적 동치와 밀접하게 관련되어 있다.

7. 환의 피카르 군

환의 피카르 군을 참조하십시오.

8. 관련 항목

층 코호몰로지
카르티에 인자
정칙 라인 다발
아이데알 유군
아라켈로프 유군

참조

_[1] 문서 Sheaf cohomology#Sheaf cohomology with constant coefficients
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적 Fundamental algebraic geometry American Mathematical Society

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