하디 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 베를링 인수분해
5. 마팅게일 $H^p$
6. 역사
참조

1. 개요

하디 공간은 복소해석학에서 정의되는 함수 공간으로, 열린 단위 원판 또는 상반평면에서 정의된 정칙 함수들의 집합이다. 하디 공간은 함수 f의 노름이 유한한 정칙 함수들의 공간으로 정의되며, p 값에 따라 H^p로 표기된다. 하디 공간은 단위 원판, 단위 원, 상반평면 등 다양한 공간에서 정의되며, 0 < p ≤ q ≤ ∞일 때 H^q는 H^p의 부분 집합이다. 하디 공간은 베를링 인수분해, 르베그 공간과의 관계, 원자 분해 등의 성질을 가지며, 확률론에서는 마팅게일-H^p 개념으로 확장되어 사용된다. 하디 공간은 리스 프리제시에 의해 1923년에 처음 도입되었으며, 수학자 고드프리 해럴드 하디의 이름을 따서 명명되었다.

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하디 공간
정의
유형	복소 해석학의 개념
역사 및 명칭
명명 유래	G.H. 하디의 이름에서 유래
주요 기여자	프리제시 리에스
개요
관련 분야	함수 해석학
설명	단위 원판 또는 상반평면에서 정의된 해석 함수들의 특정 공간 경계에서의 함수값 행동 연구에 중요
주요 특징
Hp 공간	p > 0 에 대해 정의 p 값이 작을수록 더 큰 공간을 나타냄
H∞ 공간	유계 해석 함수들의 공간 균등 노름을 가짐
응용 분야
신호 처리	신호의 시간-주파수 분석
제어 이론	시스템 안정성 분석
확률론	브라운 운동 연구
추가 정보
관련 개념	블로흐 공간 베르그만 공간
참고 문헌
참고 자료
추가 자료

2. 정의

양의 확장된 실수 $p\in(0,\infty]$ 가 주어졌을 때, 열린 단위 원판

: $Z = \{z\in\mathbb C\colon |z|<1\}$

위의 정칙 함수 $f\colon Z\to\mathbb C$ 에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의한다.

: $\|f\|_{\operatorname H^p} = \sup_{0\le r<1} \sqrt[p]{\frac1{2\pi}\oint |f(r\exp(\mathrm i\theta))|^p\,\mathrm d\theta} \in [0,\infty]$

: $\|f\|_{\operatorname H^\infty} = \sup_{z\in Z}|f(z)|\in[0,\infty]$

이 값이 유한한 정칙 함수들의 공간을 '''하디 공간'''이라고 하며, $\operatorname H^p$ 로 표기한다.

하디 공간은 정의되는 영역에 따라 단위 원판, 단위 원, 상반 평면에서의 하디 공간 등으로 나눌 수 있다.

2. 1. 단위 원판에서의 하디 공간

양의 확장된 실수

p\in(0,\infty]

가 주어졌을 때, 열린 단위 원판

:

Z = \{z\in\mathbb C\colon |z|<1\}

위의 정칙 함수

f\colon Z\to\mathbb C

에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의한다.

:

\|f\|_{\operatorname H^p} = \sup_{0\le r<1} \sqrt[p]{\frac1{2\pi}\oint |f(r\exp(\mathrm i\theta))|^p\,\mathrm d\theta} \in [0,\infty]

:

\|f\|_{\operatorname H^\infty} = \sup_{z\in Z}|f(z)|\in[0,\infty]

이 값이 유한한 정칙 함수들의 공간을 '''하디 공간'''이라고 하며,

\operatorname H^p

로 표기한다.

0 < p ≤ q ≤ ∞인 경우,

H^q

는

H^p

의 부분 집합이며,

H^p

-노름은 p에 따라 증가한다. 이는 횔더 부등식의 결과이다.^[1]

단위 원판 위의 정칙 함수 공간에 대해, 하디 공간

H^2

는 반지름 r의 원주상의 평균 제곱 값이 r → 1로 아래에서 접근할 때 유계가 되는 함수로 구성된 공간이 된다.^[2]

0 < p < ∞에 대한 하디 공간

H^p

는 다음을 만족하는 열린 단위 원판 위의 정칙 함수 ''f''의 집합이다.^[3]

:

\sup_{0

이

H^p

는 벡터 공간이다. 위 부등식 좌변의 수는 ''f''에 대한 하디 공간의 ''p''-노름이며,

\|f\|_{H^p}

로 표기된다. 이것은 ''p'' ≥ 1일 때는 노름이지만, 0 < ''p'' < 1일 때는 노름이 되지 않는다.^[4]

2. 2. 단위 원 위의 하디 공간

Hardy space^영어

H^p(\mathbb{T})

는 복소

L^p

공간의 닫힌 부분 공간으로 볼 수 있다.

f \in H^{p}

이고

p\geq 1

이면, 반경 방향 극한

:

\tilde f\left(e^{i\theta}\right) = \lim_{r\to 1} f\left(re^{i\theta}\right)

은 거의 모든

\theta

에 대해 존재하고,

\tilde f \in L^{p}(\mathbb{T})

이다.

g\in H^p\left(\mathbb{T}\right)

는

g\in L^p\left(\mathbb{T}\right)

이고 모든

n < 0

에 대해

\hat{g}_{n} =0

인 경우와 동치이다. 여기서

\hat{g}_{n}

은

g

의 푸리에 계수이다.

단위 원 위의 실수 값 적분 가능 함수

f

에 대해, 다음 명제들은 동치이다.

함수 ''f''는 어떤 함수 ''g'' ∈ ''H^p''('''T''')의 실수부이다.
함수 ''f''와 그 켤레 ''H(f)''는 ''L^p''('''T''')에 속한다.
방사형 최댓값 함수 ''M f''는 ''L^p''('''T''')에 속한다.

2. 3. 상반평면에서의 하디 공간

Hardy space^영어에서 상반평면

\mathbb{H}

에서의 하디 공간

H^p(\mathbb{H})

는 다음 유계 노름을 갖는 정칙 함수

f

의 공간으로 정의된다.

:

\|f\|_{H^p} = \sup_{y>0} \left ( \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x+ iy)|^p\, \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p}}.

뫼비우스 변환을 통해 단위 원판 '''D'''와 상반평면 '''H'''는 서로 매핑될 수 있지만, 하디 공간의 영역으로서는 상호 교환할 수 없다. 이러한 차이에 기여하는 요인은 단위 원이 유한한(1차원) 르베그 측도를 갖는 반면, 실수선은 그렇지 않다는 사실이다. 그러나

H^2

의 경우, ''m'' : '''D''' → '''H'''가 다음 뫼비우스 변환을 나타낸다면,

:

m(z)= i \cdot \frac{1+z}{1-z}.

다음과 같이 정의된 선형 연산자 ''M'' :

H^2(\mathbb{H})

→

H^2(\mathbb{D})

는 등거리 동형 사상이다.

:

(Mf)(z):=\frac{\sqrt{\pi}}{1-z} f(m(z)).

3. 성질

$1\le p\le \infty$ 이면, $\|-\|_{\operatorname H^p}$ 는 노름이며, $\operatorname H^p$ 는 복소수 바나흐 공간이다. $0이면, \|-\|_{\operatorname H^p} 는 노름이 아니며, \operatorname H^p 는 복소수 바나흐 공간이 아닌 위상 벡터 공간 이다.$

0 < p ≤ q ≤ ∞인 경우, ''H^q''는 ''H^p''의 부분 집합이며, ''H^p''-노름은 ''p''에 따라 증가한다. 이는 횔더 부등식의 결과이다.

단위 원 위의 모든 실수 삼각 다항식 ''u''에 대해, 실수 공액 다항식 ''v''는 다음과 같이 정의된다.

: $u(e^{i\theta}) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k \ge 1} a_k \cos(k \theta) + b_k \sin(k \theta) \longrightarrow v(e^{i\theta}) = \sum_{k \ge 1} a_k \sin(k \theta) - b_k \cos(k \theta).$

이 사상 ''u'' → ''v''는, 1 < ''p'' < ∞일 때, ''L^p''('''T''') 상의 유계 선형 작용소 ''H''로 확장된다(스칼라 배를 제외하면 단위 원 위의 힐베르트 변환이다). ''H''는 ''L''¹('''T''')을 약-''L''¹('''T''')로도 보낸다.

1 ≤ ''p'' < ∞일 때, 단위 원 위의 실수 값 적분 가능 함수 ''f''에 대해 다음은 동치이다.

''f''는 어떤 함수 ''g'' ∈ ''H^p''('''T''')의 실수부이다.
''f''와 그 공액 ''H(f)''는 ''L^p''('''T''')에 속한다.
반경 극대 함수 ''M f''는 ''L^p''('''T''')에 속한다.

1 < ''p'' < ∞일 때, ''f'' ∈ ''L^p''('''T''')이면 ''H(f)''는 ''L^p''('''T''')에 속하므로, 실수 하디 공간 ''H^p''('''T''')는 이 경우 ''L^p''('''T''')와 일치한다. ''p'' = 1일 때, 실수 하디 공간 ''H''¹('''T''')은 ''L''¹('''T''')의 진부분 공간이다.

''L''^∞ 함수의 극대 함수 ''M f''는 항상 유계이며, 실수 ''H''^∞가 ''L''^∞와 같아지는 것은 바람직하지 않으므로, ''p'' = ∞의 경우에는 실수 하디 공간 정의에서 제외한다. 그러나 실수 값 함수 ''f''에 대해 다음 두 가지 성질은 동치이다.

''f''가 어떤 함수 ''g'' ∈ ''H''^∞('''T''')의 실수부이다.
''f''와 그 공액 ''H(f)''가 ''L''^∞('''T''')에 속한다.

3. 1. 르베그 공간과의 관계

임의의

p\in(0,\infty]

및

f\in\operatorname H^p

에 대하여,

:

\iota(f)(\theta)=\lim_{r\to1}f(r\exp(\mathrm i\theta))

는 거의 모든

\theta

에 대하여 존재한다. 이는 단사 포함 사상

:

\iota\colon \operatorname H^p\to\operatorname L^p(\mathbb S^1;\mathbb C)

를 정의한다. 여기서

\operatorname L^p(\mathbb S^1;\mathbb C)

는 원 위의 복소수 값 르베그 공간이다.

p\geq 1

이고

f \in H^{p}

이면, 반경 방향 극한

:

\tilde f\left(e^{i\theta}\right) = \lim_{r\to 1} f\left(re^{i\theta}\right)

은 거의 모든

\theta

에 대해 존재하고

\tilde f \in L^{p}(\mathbb{T})

이다.^[1] 이때,

:

{\|\tilde f\|}_{L^p} = {\|f\|}_{H^p}

이다.^[1]

''H^p''에서 ''f''가 변할 때, 모든 극한 함수

\tilde f

로 구성된 ''L^p''('''T''')의 벡터 부분 공간을 ''H^p''('''T''')로 표기한다. ''p'' ≥ 1에 대해,^[2]

:

g\in H^p\left(\mathbb{T}\right)\text{ if and only if } g\in L^p\left(\mathbb{T}\right)\text{ and } \hat{g}_{n} =0 \text{ for all } n < 0

이 성립한다. 여기서

\hat{g}_{n}

는 다음과 같이 정의된 푸리에 계수이다.

:

\hat{g}_{n} = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g\left(e^{i\phi}\right) e^{-in\phi} \, \mathrm{d}\phi, \quad \forall n \in \mathbb{Z}.

''H^p''('''T''')는 ''L^p''('''T''')의 닫힌 부분 공간이다. 1 ≤ ''p'' ≤ ∞에 대해 ''L^p''('''T''')는 바나흐 공간이므로, ''H^p''('''T''')도 바나흐 공간이다.^[2]

p \ge 1

이고

\tilde f \in L^p (\mathbf T)

이면, 푸아송 핵 ''P_r''을 사용하여 단위 원판에서 조화 함수 ''f''를 다시 얻을 수 있다.

:

f\left(re^{i\theta}\right)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} P_r(\theta-\phi) \tilde f\left(e^{i\phi}\right) \,\mathrm{d}\phi, \quad r < 1.

\tilde f

가 ''H^p''('''T''')에 속하면 ''f''는 ''H^p''에 속한다.

\tilde f

가 ''H^p''('''T''')에 속한다고 가정하면, 즉 모든 ''n'' < 0에 대해 ''a_n'' = 0인 푸리에 계수 (''a_n'')_{''n''∈'''Z'''}를 갖는 경우, ''H^p''의 관련 정칙 함수 ''f''는 다음과 같다.

:

f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n, \ \ \ |z| < 1.

0 < *p* < 1일 때, *H*^*p* 내의 함수 *F*는 단위 원상의 경계 극한 함수의 실수부로 재구성할 수 없다.

:

F(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n z^n, \quad |z| < 1

가 *H*^*p*에 속한다면, *c_n* = O(*n*^1/*p*–1)임이 증명된다. 푸리에 급수

:

\sum_{n=0}^{+\infty} c_n e^{in \theta}

는 초함수 의미에서 단위 원상의 초함수 *f*에 수렴하고, *F*(*re*^*iθ*) = (*f* ∗ *P_r*)(θ)가 된다. *F*의 테일러 계수 *c_n*은 Re(*f*)의 푸리에 계수로부터 계산할 수 있으므로, 함수 *F* ∈ *H^p*는 단위 원상의 실수 초함수 Re(*f*)에 의해 재구성된다.

3. 2. 실수 하디 공간

실수 벡터 공간 '''R'''^''n''에서의 해석에서, 하디 공간 ''H^p'' (0 < ''p'' ≤ ∞)는 ∫Φ = 1을 만족하는 어떤 슈바르츠 함수 Φ에 대하여 극대 함수(maximal function, en)

:

(M_\Phi f)(x)=\sup_{t>0}|(f*\Phi_t)(x)|

가 ''L^p''('''R'''^''n'')에 속하는 완만 증가 초함수 ''f''로 구성된다. 여기서 ∗는 합성곱을 나타내며, Φ_''t''(''x'') = ''t''^−''n''Φ(''x'' / ''t'')이다. ''H^p'' 내의 초함수 ''f''의 ''H^p''-준노름 ||''f'' ||_''Hp''는 ''M''_Φ''f''의 ''L^p'' 노름으로 정의된다(이것은 Φ의 선택에 의존하지만, 다른 슈바르츠 초함수 Φ를 선택해도 동치인 노름이 주어진다). ''H^p''-준노름은 ''p'' ≥ 1일 때 노름이지만, ''p'' < 1일 때는 노름이 아니다.

1 < ''p'' < ∞이라면 하디 공간 ''H^p''는 ''L^p''와 같은 벡터 공간이며, 동치인 노름을 갖는다. ''p'' = 1일 때, 하디 공간 ''H''¹은 ''L''¹의 진부분 집합이다. 예를 들어, 실수 직선상의 다음 함수와 같이 ''L''¹에서 유계이지만, ''H''¹에서 비유계인 수열을 찾을 수 있다.

:

f_k(x) = \mathbf{1}_{[0, 1]}(x - k) -  \mathbf{1}_{[0, 1]}(x + k), \ \ \ k > 0.

''L''¹과 ''H''¹의 노름은 ''H''¹상에서 동치가 아니며, ''H''¹은 ''L''¹에서 닫혀 있지 않다. ''H''¹의 쌍대 공간은 유계 평균 진동(bounded mean oscillation, en) 함수의 공간 ''BMO''이다. ''BMO'' 공간은 비유계 함수를 포함한다(이것은 ''H''¹이 ''L''¹에서 닫혀 있지 않다는 것을 의미한다).

''p'' < 1이라면, 하디 공간 ''H^p''는 함수가 아닌 원소를 가지며, 그 쌍대 공간은 차수 ''n''(1/''p'' − 1)의 동차 립시츠 공간이다. ''p'' < 1일 때, ''H^p''-준노름은 반가법적이지 않으므로, 노름이 아니다. p차의 멱 ||''f'' ||_''Hp''^''p''는 ''p'' < 1일 때 반가법적이며, 하디 공간 ''H^p''상에 거리를 정의한다. 그리고 이 거리는 위상을 정의하고, ''H^p''을 완비 거리 공간으로 만든다.

3. 3. 원자 분해

Hardy space^영어 ''H^p'' (0 < ''p'' ≤ 1)의 원소 ''f''는 다음의 '''원자 분해'''를 갖는다.

:

f = \sum c_j a_j

여기서

a_j

는 ''H^p''-원자이고,

c_j

는 스칼라이며,

\sum |c_j|^p < \infty

를 만족한다.

0 < ''p'' ≤ 1일 때, 컴팩트 지지(compact support)를 갖는 유계 가측 함수 ''f''가 ''H^p''-원자가 되기 위한 조건은 다음과 같다.

어떤 구 ''B''에서 지지된다.
|''B''|^−1/''p''로 경계가 지어진다. (|''B''|는 '''R'''^''n''에서 ''B''의 유클리드 부피)

이때, ''f''의 모든 모멘트는 다음과 같이 사라져야 한다.

:

\int_{\mathbf{R}^n} f(x)x_1^{i_1}\ldots x_n^{i_n}\, \mathrm{d}x = 0

여기서 차수 ''i''₁+ ... +''i_n''는 최대 ''n''(1/''p'' − 1)이다.

예를 들어, ''f'' ∈ ''H^p'', 0 < ''p'' ≤ 1이 되려면 ''f''의 적분값이 사라져야 하며, ''p'' > 인 경우에는 충분조건이 되기도 한다.

임의의 ''H^p''-원자의 ''H^p''-준노름(quasinorm)은 ''p''와 슈바르츠 함수 Φ에만 의존하는 상수에 의해 제한된다.

예를 들어 직선에서, 디랙 델타 함수(Dirac distributions)의 차이인 ''f'' = δ₁−δ₀는 하르 함수의 급수로 표현될 수 있으며, 1/2 < ''p'' < 1일 때 ''H^p''-준노름에서 수렴한다. (원에서는 0 < ''p'' < 1에 대해 해당 표현이 유효하지만, 직선에서는 하르 함수가 ''p'' ≤ 1/2일 때 ''H^p''에 속하지 않는다.)

4. 베를링 인수분해

0 < *p* ≤ ∞에 대해, *H*^*p*에 있는 모든 0이 아닌 함수 *f*는 *G*가 외부 함수이고 *h*가 내부 함수인 곱 *f* = *Gh*로 쓸 수 있다.^[1]^[2] 이를 베어링 인수분해라고 하며, 이 분해를 통해 하디 공간은 내부 함수와 외부 함수의 공간으로 완전히 특징지을 수 있다.

외부 함수 *G*(*z*)는 다음과 같은 형식으로 정의된다.

: $G(z) = c\, \exp\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{i\theta}+z}{e^{i\theta}-z} \log\!\left(\varphi\!\left(e^{i\theta} \right)\right)\, \mathrm{d}\theta \right)$

여기서 *c*는 절댓값이 1인 복소수(|*c*| = 1)이고, $\varphi$ 는 $\log(\varphi)$ 가 원에서 적분 가능한 양의 가측 함수이다. 특히, $\varphi$ 가 원에서 적분 가능할 때, 위 식은 푸아송 핵의 형태를 취하므로, *G*는 *H*¹에 속한다. 이는 거의 모든 θ에 대해 다음이 성립함을 의미한다.

: $\lim_{r\to 1^-}\left|G\left (re^{i\theta} \right)\right| = \varphi \left(e^{i\theta}\right )$

내부 함수 *h*는 단위 원판에서 |*h*| ≤ 1 이고, 다음 극한

: $\lim_{r\to 1^-} h(re^{i\theta})$

이 거의 모든 곳에서 θ에 대해 존재하며 그 절댓값이 거의 모든 곳에서 1과 같을 때 정의된다. 특히, *h*는 *H*^∞에 속한다. 내부 함수는 블라슈케 곱을 포함하는 형태로 추가적으로 인수분해 될 수 있다.

f* = *Gh*로 분해된 함수 *f*가 *H^p*에 속하기 위한 필요충분조건은 외부 함수 *G*의 표현에서 양의 함수 $\varphi$ 가 *L^p*('''T''')에 속하는 것이다.

원 위의 함수

\varphi

에서 위와 같이 표현된 외부 함수 *G*를 생각해보자.

\varphi

를

\varphi

^α (α > 0)으로 대체하면 다음 속성을 가진 외부 함수족 (*G*_α)가 얻어진다.

:''G''₁ = ''G'', ''G''_α+β = ''G''_α ''G''_β and |''G''_α| = |''G''|^α (단위 원에서 거의 모든 곳에서).

따라서 0 < *p*, *q*, *r* < ∞이고 1/*r* = 1/*p* + 1/*q*일 때, *H^r*에 있는 모든 함수 *f*는 *H^p*에 있는 함수와 *H^q*에 있는 함수의 곱으로 표현될 수 있다. 예를 들어, *H*¹에 있는 모든 함수는 *H*²에 있는 두 함수의 곱이며, *p* < 1인 *H^p*에 있는 모든 함수는 어떤 *q* > 1인 *H^q*에 있는 여러 함수의 곱으로 표현될 수 있다.

5. 마팅게일 $H^p$

(''M_n'')_''n''≥0를 어떤 확률 공간 (Ω, Σ, ''P'') 위의, 증가하는 시그마-체 (Σ_''n'')_''n''≥0에 관한 마팅게일이라고 하자. 간단하게 하기 위해, Σ는 (Σ_''n'')_''n''≥0에 의해 생성되는 시그마-체와 같다고 가정한다. 마팅게일의 ''최대 함수''는 다음과 같이 정의된다.

: $M^* = \sup_{n \ge 0} \, |M_n|.$

1 ≤ ''p'' < ∞라고 하자. 마팅게일 (''M_n'')_''n''≥0는 ''M*'' ∈ ''L^p''일 때 ''마팅게일''-''H^p''에 속한다.

만약 ''M*'' ∈ ''L^p''이면, 마팅게일 (''M_n'')_''n''≥0는 ''L^p''에서 유계이고, 따라서 마팅게일 수렴 정리에 의해 어떤 함수 ''f''로 거의 확실하게 수렴한다. 또한, ''M_n''는 지배 수렴 정리에 의해 ''L^p''-노름에서 ''f''로 수렴한다. 따라서 ''M_n''은 Σ_''n''에 대한 ''f''의 조건부 기대값으로 표현될 수 있다. 따라서 마팅게일-''H^p''는

: $M_n = \operatorname E \bigl( f | \Sigma_n \bigr)$

가 마팅게일-''H^p''에 속하는 그런 ''f''들로 구성된 ''L^p''(Ω, Σ, ''P'')의 부분 공간과 동일시될 수 있다.

두브의 최대 부등식은 1 < ''p'' < ∞일 때 마팅게일-''H^p''가 ''L^p''(Ω, Σ, ''P'')와 일치함을 함축한다. 흥미로운 공간은 마팅게일-''H''¹이며, 그 쌍대 공간은 마팅게일-BMO이다.

Burkholder–Gundy 부등식(''p'' > 1일 때)과 Burgess Davis 부등식(''p'' = 1일 때)은 최대 함수의 ''L^p''-노름을 마팅게일의 ''제곱 함수''

: $S(f) = \left( |M_0|^2 + \sum_{n=0}^{\infty} |M_{n+1} - M_n|^2 \right)^{\frac{1}{2}}.$

의 ''L^p''-노름과 관련시킨다. 마팅게일-''H^p''는 ''S''(''f'')∈ ''L^p''라고 말함으로써 정의할 수 있다.

연속 시간 매개변수를 갖는 마팅게일도 고려할 수 있다. 복소 평면에서 점 ''z'' = 0에서 시작하여 시간 ''t'' = 0일 때의 복소 브라운 운동(''B_t'')을 통해 고전 이론과의 직접적인 연결이 얻어진다. τ는 단위 원의 도달 시간이라고 하자. 단위 원판에서 모든 정칙 함수 ''F''에 대해,

: $M_t = F(B_{t \wedge \tau})$

는 마팅게일이며, ''F'' ∈ ''H^p''인 경우에만 마팅게일-''H^p''에 속한다.^[1]

6. 역사

리스 프리제시가 1923년에 도입하였으며,^[5] 고드프리 해럴드 하디의 이름을 따 명명하였다.

참조

_[1] 학술지 On two problems concerning linear transformations in Hilbert space
_[2] 학술지 Inner and outer functions on Riemann surfaces
_[3] 서적 Theory of H^p spaces Academic Press 1970
_[4] 서적 Introduction to ''H_p'' spaces Cambridge University Press 1998
_[5] 저널 Über die Randwerte einer analytischen Funktion

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