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하이젠베르크 묘사

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목차

1. 개요

하이젠베르크 묘사는 양자역학의 한 표현 방식으로, 상태 벡터는 시간에 따라 변하지 않고 연산자가 시간에 따라 변화하는 특징을 갖는다. 하이젠베르크 묘사에서는 하이젠베르크 운동 방정식이 성립하며, 연산자의 운동 방정식이 고전역학의 해밀턴 역학과 유사하여 양자역학과 고전역학 간의 동역학적 유사성을 쉽게 파악할 수 있다. 슈뢰딩거 묘사와 하이젠베르크 묘사는 유니타리 동치 관계에 있으며, 상대론적 이론에서 더 자연스럽고 편리하게 사용될 수 있다. 하이젠베르크 묘사에서는 연산자의 시간 의존성으로 인해, 동시각이 아닌 경우 슈뢰딩거 묘사와는 다른 교환 관계를 갖는다.

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하이젠베르크 묘사
개요
이름하이젠베르크 묘사
다른 이름하이젠베르크 그림
하이젠베르크 표현
설명
내용양자역학의 공식화
특징시간 불변 상태 벡터
시간 진화 연산자

2. 하이젠베르크 묘사의 기본 원리

하이젠베르크 묘사는 양자역학에서 계의 시간 변화를 기술하는 한 방식으로, 슈뢰딩거 묘사와 대조적이다. 이 묘사에서는 계의 상태 벡터 |''ψ''〉는 시간에 따라 변하지 않고 초기의 상태를 유지하는 것으로 간주한다. 대신, 측정 가능한 물리량을 나타내는 연산자 ''A''가 시간에 따라 변화한다.

물리량 ''A''의 시간 ''t''에서의 기댓값 〈''A''〉''t''는 시간에 따라 변하는 하이젠베르크 연산자 ''A''H(''t'')를 사용하여 다음과 같이 계산된다.

\langle A \rangle_t = \langle \psi | A_{\rm H}(t) | \psi \rangle

여기서 |''ψ''〉는 시간에 무관한 상태 벡터이다. 하이젠베르크 연산자 ''A''H(''t'')는 시간 변화 연산자 ''U''(''t'', ''t''0)와 슈뢰딩거 묘사의 (시간에 무관한) 연산자 ''A''S를 통해 다음과 같이 정의된다.

A_{\rm H}(t) = U^\dagger(t, t_0) A_{\rm S} U(t, t_0)

하이젠베르크 연산자의 시간 변화는 '''하이젠베르크 운동방정식'''에 의해 기술된다. 이 방정식은 고전역학의 해밀턴 역학에서 물리량의 시간 변화를 나타내는 방정식과 유사한 형태를 가지고 있어, 두 이론 사이의 대응 원리를 이해하는 데 도움을 준다.

하이젠베르크 묘사는 특히 상대론적 양자 이론에서 유용하게 사용되는데, 상태 벡터가 시간과 공간에 대해 불변하여 로런츠 불변성을 명확하게 다루기 용이하기 때문이다. 스톤-폰 노이만 정리에 따르면 하이젠베르크 묘사와 슈뢰딩거 묘사는 수학적으로 동등하며(유니타리 동치), 동일한 물리적 현상을 다른 관점에서 기술하는 방식이다.

2. 1. 시간 변화와 묘사 선택

양자역학에서 계의 시간 변화를 기술하는 방법에는 여러 가지 '묘사'(picture)가 있으며, 대표적으로 슈뢰딩거 묘사와 '''하이젠베르크 묘사'''가 있다. 어떤 묘사를 사용하든 물리적인 예측 결과는 동일하지만, 수학적 표현 방식과 해석에서 차이가 있다.

시간 ''t''0에서의 초기 상태 벡터를 |''ψ''〉라고 할 때, 임의의 시간 ''t''에서의 상태는 시간 변화 연산자 ''U''(''t'', ''t''0)를 사용하여 |''ψ''(''t'')〉 = ''U''(''t'', ''t''0)|''ψ''〉 로 표현할 수 있다. 물리량 ''A''의 시간 ''t''에서의 기댓값 〈''A''〉''t''는 다음과 같이 계산된다.

\langle A \rangle_t = \langle \psi(t) | A | \psi(t) \rangle = \langle \psi | U^\dagger(t, t_0) A U(t, t_0) | \psi \rangle

이 기댓값의 시간 변화를 설명하기 위해 두 가지 관점을 선택할 수 있다.

# '''슈뢰딩거 묘사''': 상태 벡터가 시간에 따라 변하고, 연산자는 (명시적인 시간 의존성이 없다면) 시간에 무관하다고 본다.

#: | \psi(t) \rangle = U(t, t_0) | \psi \rangle, \quad A_{\rm S} = A (시간에 무관)

# '''하이젠베르크 묘사''': 상태 벡터는 초기 상태 |''ψ''〉로 시간에 무관하게 고정되고, 대신 연산자가 시간에 따라 변한다고 본다.

#: | \psi_{\rm H} \rangle = | \psi \rangle, \quad A_{\rm H}(t) = U^\dagger(t, t_0) A U(t, t_0)

두 묘사 중 어느 것을 사용하든 물리량의 기댓값은 동일하게 주어진다: \langle A \rangle_t = \langle \psi(t) | A_{\rm S} | \psi(t) \rangle = \langle \psi_{\rm H} | A_{\rm H}(t) | \psi_{\rm H} \rangle.

하이젠베르크 묘사에서 연산자 ''A''H(''t'')의 시간 변화는 '''하이젠베르크 운동방정식'''으로 기술된다.

\frac{dA_{\rm H}(t)}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[A_{\rm H}(t), H_{\rm H}(t)] + U^\dagger(t, t_0) \left( \frac{\partial A_{\rm S}}{\partial t} \right) U(t, t_0)

여기서 ''H''H는 하이젠베르크 묘사에서의 해밀토니안 연산자이고, [·, ·]는 교환자를 나타낸다. 마지막 항은 슈뢰딩거 묘사의 연산자 ''A''S가 명시적으로 시간에 의존할 경우에 나타나는 기여이다. 만약 ''A''S가 시간에 명시적으로 의존하지 않는다면 이 항은 0이 된다.

하이젠베르크 묘사의 중요한 특징 중 하나는 고전역학과의 유사성을 명확하게 보여준다는 점이다. 하이젠베르크 운동방정식은 해밀턴 역학에서 물리량 ''A''의 시간 변화를 나타내는 방정식

\frac{dA}{dt} = \{A, H\} + \frac{\partial A}{\partial t}

(여기서 {·, ·}는 푸아송 괄호)과 매우 유사한 형태를 가진다. 교환자를 i\hbar로 나눈 것이 푸아송 괄호에 대응되는 것으로 볼 수 있다 ([A, H] \leftrightarrow i\hbar\{A, H\}). 이러한 형식적 유사성은 양자화 과정을 통해 고전역학에서 양자역학으로 넘어가는 과정을 이해하는 데 도움을 준다. 반면, 슈뢰딩거 묘사에서는 상태 벡터가 시간에 따라 변화하기 때문에 이러한 고전적 유사성을 직관적으로 파악하기는 상대적으로 어렵다.

스톤-폰 노이만 정리에 따르면, 하이젠베르크 묘사와 슈뢰딩거 묘사는 서로 유니타리 동치이다. 이는 두 묘사가 수학적으로 동등하며, 시간 변화를 상태 벡터의 변화로 보느냐 연산자의 변화로 보느냐 하는 관점의 차이일 뿐이라는 것을 의미한다. 어떤 문제를 다루느냐에 따라 더 편리한 묘사를 선택하여 사용할 수 있다. 예를 들어, 상대론적 양자역학에서는 로렌츠 불변성을 명확하게 다루기 위해 하이젠베르크 묘사가 선호되기도 한다.

2. 2. 하이젠베르크 운동 방정식

하이젠베르크 묘사에서는 상태 벡터 |''ψ''〉는 시간에 대해 변하지 않지만, 관측 가능한 물리량을 나타내는 연산자 ''A''는 시간에 따라 변화한다. 이 시간 변화는 다음과 같은 '''하이젠베르크 운동방정식'''(영어: Heisenberg equation of motion)으로 기술된다.

\frac{dA}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[A, H] + \frac{\partial A}{\partial t}

여기서 ''H''는 해밀토니안 연산자, i는 허수 단위, \hbar는 디랙 상수(플랑크 상수를 2\pi로 나눈 값), [·, ·]는 두 연산자의 교환자를 나타낸다. 마지막 항 \frac{\partial A}{\partial t}는 연산자 ''A'' 자체가 시간에 따라 명시적으로 변하는 경우를 나타내며, 연산자가 시간에 대해 명시적인 의존성을 가지지 않는다면 이 항은 0이 된다.

하이젠베르크 묘사는 슈뢰딩거 묘사와 대조적인데, 슈뢰딩거 묘사에서는 연산자가 시간에 따라 변하지 않고 상태 벡터가 슈뢰딩거 방정식에 따라 시간에 따라 변화한다.

하이젠베르크 묘사의 중요한 특징 중 하나는 고전역학과의 유사성을 명확하게 보여준다는 점이다. 하이젠베르크 운동방정식은 고전역학의 해밀턴 역학에서 물리량 ''A''의 시간 변화를 나타내는 방정식과 형태가 매우 유사하다.

\frac{dA}{dt} = \{A, H\}_{\mathrm{PB}} + \frac{\partial A}{\partial t}

여기서 {·, ·}PB는 푸아송 괄호를 의미한다. 양자역학의 교환자를 i\hbar로 나눈 것이 고전역학의 푸아송 괄호에 대응된다는 점(\frac{1}{i\hbar}[A, H] \leftrightarrow \{A, H\}_{\mathrm{PB}})은 두 역학 체계 사이의 깊은 연관성을 보여준다. 이러한 유사성 덕분에, 예를 들어 뉴턴의 제2법칙과 같은 고전적인 운동방정식을 하이젠베르크 묘사에서는 연산자의 운동방정식을 통해 자연스럽게 유도할 수 있다.

또한, 하이젠베르크 묘사는 상대론적 양자역학이나 양자장론과 같이 상대론적 효과를 고려해야 하는 이론에서 특히 유용하다. 상태 벡터가 시간과 공간에 대해 불변하기 때문에 로런츠 불변성이 명백하게 드러나는 장점이 있다.

스톤-폰 노이만 정리에 따르면, 하이젠베르크 묘사와 슈뢰딩거 묘사는 물리적으로 동등하며, 서로 유니타리 동치 관계에 있다. 이는 단지 힐베르트 공간에서 기저 변환을 통해 두 묘사를 서로 변환할 수 있음을 의미하며, 어떤 묘사를 사용할지는 다루는 문제의 편의성에 따라 선택할 수 있다.

3. 슈뢰딩거 묘사와의 관계

양자역학에서 시스템의 시간 변화를 기술하는 데에는 두 가지 주요한 수학적 형식, 즉 슈뢰딩거 묘사와 '''하이젠베르크 묘사'''가 사용된다. 이 두 묘사는 물리적으로 동등하며, 단지 시간 변화를 상태 벡터에 귀속시키느냐 연산자에 귀속시키느냐의 차이만 있다.[1]

슈뢰딩거 묘사에서는 시스템의 상태를 나타내는 상태 벡터가 슈뢰딩거 방정식에 따라 시간에 따라 변화하고, 물리량을 나타내는 연산자는 (명시적인 시간 의존성이 없는 한) 시간에 대해 일정하다고 본다. 반면, '''하이젠베르크 묘사'''에서는 상태 벡터는 시간에 무관하게 초기 상태로 고정되고, 대신 연산자 A_{\rm H}가 시간에 따라 변화한다. 이 연산자의 시간 변화는 다음과 같은 '''하이젠베르크 운동방정식'''(Heisenberg equation of motion|하이젠베르크 운동방정식영어)으로 주어진다.

\frac{dA_{\rm H}}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[A_{\rm H}, H_{\rm H}] + \left(\frac{\partial A_{\rm S}}{\partial t}\right)_{\rm H}

여기서 H_{\rm H}는 해밀토니안 연산자, [ , ]는 교환자를 나타내며, 마지막 항은 슈뢰딩거 묘사의 연산자 A_{\rm S}가 명시적으로 시간에 의존하는 경우의 기여를 나타낸다.[1]

스톤-폰 노이만 정리에 따르면, 하이젠베르크 묘사와 슈뢰딩거 묘사는 수학적으로 유니타리 동치이다. 이는 두 묘사가 단지 힐베르트 공간에서의 기저 변환에 해당하며, 유니타리 변환 U(t)를 통해 서로 변환될 수 있음을 의미한다. 구체적으로 하이젠베르크 연산자 A_{\rm H}(t)는 슈뢰딩거 연산자 A_{\rm S}(t)와 A_{\rm H}(t) = U^{\dagger}(t) A_{\rm S}(t) U(t)의 관계를 가진다. 어떤 묘사를 사용하든 물리량의 기댓값 \langle A \rangle_t은 동일하게 계산된다.[1]

하이젠베르크 묘사는 몇 가지 장점을 가진다. 첫째, 연산자의 운동방정식이 고전역학의 해밀턴 역학에서 물리량의 시간 변화를 나타내는 방정식과 형태적으로 유사하다. 특히 양자역학의 교환자 [A, H]와 고전역학의 푸아송 괄호 \{A, H\}_{\mathrm{cl}} 사이의 대응 관계([A,H] \leftrightarrow i\hbar\{A,H\}_{\mathrm{cl}})를 통해 고전역학과의 유사성을 더 명확하게 보여준다. 둘째, 상대론적 양자역학에서는 상태 벡터가 시간이나 공간을 특별히 구분하지 않기 때문에 로런츠 불변성을 더 자연스럽게 다룰 수 있다.

3. 1. 두 묘사 간의 연관성

시간 ''t''0에서의 어떤 상태 |''ψ''〉를 생각해 보자. 물리량 ''A''의 시간 ''t'' 에서의 기댓값 〈''A''〉''t''은 다음과 같이 주어진다.

\begin{align}

\langle A \rangle_t & = \langle \psi(t) | A | \psi(t) \rangle

\\ & = \langle \psi | U^\dagger A U | \psi \rangle

\end{align}

여기서 ''U''는 시간 변화 연산자이다. 양자계의 시간 변화를 기술하기 위해, 연산자와 상태 벡터가 시간에 따라 어떻게 변하는지에 대해 다음 두 가지 동등한 방식을 선택할 수 있다.

# 상태 벡터가 시간에 따라 변하고, 연산자는 시간에 무관하다. (슈뢰딩거 묘사)

#: | \psi \rangle \mapsto U | \psi \rangle, \quad \; A \mapsto A

# 상태 벡터는 시간에 무관하고, 연산자가 시간에 따라 변한다. (하이젠베르크 묘사)

#: | \psi \rangle \mapsto | \psi \rangle, \quad \quad A \mapsto U^\dagger AU

하이젠베르크 묘사는 더 널리 사용되는 슈뢰딩거 묘사로부터 유도될 수 있다.

슈뢰딩거 방정식에 따르면, 시간 t에서의 양자 상태는 |\psi(t)\rangle = U(t) |\psi(0)\rangle로 주어진다. 여기서 U(t)=T e^{-\frac{i}{\hbar}\int_0^t ds H_ (s)}는 시간에 의존할 수 있는 해밀토니안 H_{\rm S}(t)에 의해 생성되는 시간 진화 연산자이고, |\psi(0) \rangle는 초기 상태이다. T는 시간 순서 연산자, ''ħ''는 환산 플랑크 상수, ''i''는 허수 단위이다. 슈뢰딩거 묘사에서 관측 가능량 A_{\rm S} (t)(시간에 의존할 수 있는 에르미트 선형 연산자)의 기댓값은 상태 |\psi(t)\rangle에 대해 다음과 같이 계산된다.

\langle A \rangle _t = \langle \psi (t) | A_{\rm S}(t) | \psi(t) \rangle.

하이젠베르크 묘사에서는 양자 상태 벡터는 초기 상태 |\psi(0) \rangle로 고정되고 시간에 따라 변하지 않는다고 가정한다. 대신, 연산자가 다음 정의에 따라 시간에 따라 진화한다.

A_{\rm H} (t) := U^{\dagger}(t) A_{\rm S} (t) U(t) \, .

이 정의를 기댓값 식에 대입하면, \langle A \rangle_t = \langle \psi(0) | U^{\dagger}(t) A_{\rm S}(t) U(t) | \psi(0) \rangle = \langle \psi(0) | A_{\rm H}(t) | \psi(0) \rangle가 된다. 따라서 물리량의 기댓값은 슈뢰딩거 묘사에서 계산하든 하이젠베르크 묘사에서 계산하든 동일한 결과를 얻으며, 두 묘사는 물리적으로 동등하다.

하이젠베르크 묘사에서 연산자 A_{\rm H}(t)는 시간에 따라 변하며, 그 시간 변화는 '''하이젠베르크 운동방정식'''으로 기술된다. 이 방정식을 유도하기 위해, 먼저 시간 진화 연산자 U(t)가 만족하는 슈뢰딩거 방정식을 이용한다.

\frac{d}{dt} U(t) = -\frac{i}{\hbar} H_{\rm S}(t) U(t) .

그리고 A_{\rm H}(t)의 정의를 시간에 대해 미분하면 곱 규칙에 따라 다음을 얻는다.

\begin{align}

\frac{d}{dt} A_{\rm H} (t) &= \left( \frac{d}{dt} U^\dagger (t) \right) A_{\rm S}(t) U(t) + U^\dagger(t) A_{\rm S} (t) \left( \frac{d}{dt} U (t) \right) + U^\dagger (t) \left(\frac{\partial A_{\rm S}} {\partial t}\right) U(t) \\

& = \frac{i}{\hbar} U^{\dagger}(t) H_{\rm S}(t) A_ (t) U(t) - \frac{i}{\hbar} U^{\dagger}(t) A_{\rm S}(t) H_{\rm S} (t) U(t) + U^{\dagger}(t) \left(\frac{\partial A_{\rm S}}{\partial t}\right) U(t)\\

& = \frac{i}{\hbar} \left( U^{\dagger}(t) H_{\rm S} (t) U(t) \right) \left( U^\dagger(t) A_{\rm S}(t) U(t) \right) - \frac{i}{\hbar} \left( U^{\dagger}(t) A_{\rm S} (t) U(t) \right) \left( U^\dagger(t) H_{\rm S}(t) U(t) \right) + \left(\frac{\partial A_{\rm S} }{\partial t}\right)_{\rm H}\\

& = \frac{i}{\hbar} [H_{\rm H}(t), A_{\rm H} (t)] + \left(\frac{\partial A_{\rm S}}{\partial t} \right) _{\rm H} .

\end{align}

여기서 H_{\rm H}(t) = U^{\dagger}(t) H_{\rm S}(t) U(t)는 하이젠베르크 해밀토니안이며, 일반적으로 슈뢰딩거 해밀토니안 H_{\rm S} (t)와 다를 수 있다. [ , ]는 교환자를 나타낸다. 마지막 항 \left(\frac{\partial A_{\rm S}}{\partial t} \right) _{\rm H} = U^{\dagger}(t) \left(\frac{\partial A_{\rm S}}{\partial t}\right) U(t)는 슈뢰딩거 묘사의 연산자 A_{\rm S}가 명시적으로 시간에 의존하는 경우 (예: 외부 장의 변화) 기여하는 항이다. 이것이 일반적인 하이젠베르크 운동방정식이다.

만약 해밀토니안 H_{\rm S}가 시간에 따라 변하지 않는다면, 시간 진화 연산자는 U(t) = e^{-\frac{i} {\hbar} t H_{\rm S}} 로 간단히 쓸 수 있다. 이 경우 U(t)는 H_{\rm S}와 교환 가능하므로, H_{\rm H} = U^{\dagger}(t) H_{\rm S} U(t) = H_{\rm S} \equiv H가 되어 하이젠베르크 해밀토니안과 슈뢰딩거 해밀토니안이 동일하고 시간에 무관하게 된다. 따라서 운동 방정식은 다음과 같이 된다.

\begin{align}

\frac{d}{dt} A_{\rm H}(t)

& = \frac{i}{\hbar} [H,A_{\rm H}(t)]+ \left(\frac{\partial A_{\rm S}}{ \partial t} \right)_{\rm H}.

\end{align}

만약 연산자 A_{\rm S} \equiv A 자체도 명시적인 시간 의존성이 없다면 (\frac{\partial A_{\rm S}}{\partial t} = 0), 마지막 항은 사라지고 하이젠베르크 운동 방정식은 더욱 간단해진다.

\frac {d}{dt} A_{\rm H}(t)=\frac {i}{\hbar} [H, A_{\rm H} (t)] ,

여기서 A_(t) \equiv A(t)= e^{\frac {i} {\hbar} t H} A e^{- \frac {i} {\hbar} t H} 이다. 이 방정식의 해는 표준 연산자 항등식을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

A(t) = A + \frac{i t}{\hbar}[H,A] + \frac{1}{2!}\left(\frac{i t}{\hbar}\right)^2 [H,[H,A]] + \frac{1}{3!} \left(\frac{i t}{\hbar}\right)^3 [H,[H,[H,A]]] + \cdots

이러한 관계는 고전역학의 해밀턴 역학과 유사성을 보인다. 양자역학의 교환자 [A, H]는 고전역학의 푸아송 괄호 \{A, H\}_{\mathrm{cl}}와 [A,H] \leftrightarrow i\hbar\{A,H\}_{\mathrm{cl}}의 대응 관계를 가진다. 고전 역학에서 명시적인 시간 의존성이 없는 관측량 ''A''의 시간 변화는 \frac{dA}{dt} = \{A,H\}_{\mathrm{cl}}로 주어지는데, 이는 하이젠베르크 운동방정식과 형태적으로 유사하다.

3. 2. 스톤-폰 노이만 정리

스톤-폰 노이만 정리에 따르면, 하이젠베르크 묘사와 슈뢰딩거 묘사는 수학적으로 유니타리 동치이다. 이는 두 묘사가 물리적으로는 동일한 현상을 설명하지만, 마치 벡터를 다른 기저로 표현하는 것처럼 수학적인 표현 방식만 다르다는 것을 의미한다. 즉, 하이젠베르크 묘사는 힐베르트 공간에서 슈뢰딩거 묘사와 다른 기저 변환을 선택한 것과 같다.

두 묘사는 서로 동등하기 때문에, 어떤 물리량의 기댓값을 계산하든 동일한 결과를 얻는다. 슈뢰딩거 묘사에서는 상태 벡터가 시간에 따라 변하고 연산자는 고정되어 있는 반면, 하이젠베르크 묘사에서는 상태 벡터는 고정되어 있고 연산자가 시간에 따라 변하지만, 최종적으로 계산되는 물리적인 예측은 같다.

어떤 관점에서는 하이젠베르크 묘사가 슈뢰딩거 묘사보다 더 자연스럽거나 편리한 경우도 있다. 특히 상대성 이론과 같은 상대론적 이론을 다룰 때, 하이젠베르크 묘사에서는 상태 벡터가 시간이나 공간에 따라 변하지 않기 때문에 로런츠 불변성이 더 명확하게 드러난다는 장점이 있다.

4. 하이젠베르크 묘사의 특징 및 장점

하이젠베르크 묘사는 양자역학을 기술하는 한 방식으로, 이 접근법에서는 상태 벡터 |''ψ''〉는 시간에 따라 변하지 않고 고정되어 있다. 대신, 물리적 관측량(observable)을 나타내는 연산자 ''A''가 시간에 따라 변화하며, 그 변화는 다음의 '''하이젠베르크 운동방정식'''을 따른다.

:\frac{dA}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[A, H] + \frac{\partial A}{\partial t}

여기서 ''H''는 계의 해밀토니안 연산자이고, `[·, ·]`는 두 연산자의 교환자를 의미한다. 우변의 마지막 항 \frac{\partial A}{\partial t}는 연산자 자체가 시간에 따라 명시적으로 변하는 경우를 나타낸다.

하이젠베르크 묘사의 주요 특징 중 하나는 고전역학, 특히 해밀턴 역학과의 형식적인 유사성을 명확하게 보여준다는 점이다. 또한, 상태 벡터가 시간이나 공간을 특별히 구분하지 않기 때문에 상대론적 양자역학에서 로런츠 불변성과 같은 대칭성을 다루기에 자연스러운 측면이 있다.

스톤-폰 노이만 정리에 따르면, 하이젠베르크 묘사는 슈뢰딩거 묘사와 수학적으로 동등하다. 두 묘사는 동일한 물리적 현상을 기술하는 다른 표현 방식이며, 힐베르트 공간에서의 기저 변환을 통해 서로 변환될 수 있다.

4. 1. 고전역학과의 유사성

하이젠베르크 묘사는 슈뢰딩거 묘사와 달리, 각 물리량들이 고전역학과 유사성을 가지는 점을 쉽게 발견할 수 있다. 슈뢰딩거 묘사에서는 물리량을 나타내는 연산자가 아니라 상태 벡터가 시간에 따라 변화하기 때문에, 상태 벡터를 사용하지 않는 고전역학과의 동역학적 유사성을 직관적으로 찾기 어렵다.

반면, 하이젠베르크 묘사에서는 연산자 ''A''가 시간에 따라 변화하며, 그 변화는 다음의 '''하이젠베르크 운동방정식'''을 따른다.

:\frac{dA}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[A, H] + \frac{\partial A}{\partial t}

여기서 ''H''는 해밀토니안 연산자이고, `[·, ·]`는 교환자를 나타낸다.

이 운동방정식은 고전역학의 해밀턴 역학에서 물리량의 시간 변화를 나타내는 방정식과 형태적으로 매우 유사하다. 해밀턴 역학에서의 방정식은 다음과 같다.

:\frac{dA}{dt} = \{A, H\}_\mathrm{PB} + \frac{\partial A}{\partial t}

여기서 `{·, ·}`PB는 푸아송 괄호를 의미한다.

양자역학의 하이젠베르크 방정식에서 교환자 항 `(1/iħ)[A, H]`를 고전역학의 푸아송 괄호 `{A, H}`PB로 간단히 대체하면, 정확히 해밀턴 역학의 운동 방정식과 같은 형태가 된다. 이러한 형식적 유사성 때문에 하이젠베르크 묘사는 양자역학과 고전역학 사이의 대응 원리를 이해하는 데 도움을 준다. 예를 들어, 뉴턴의 제2법칙

:m \frac{d^2 \mathbf{x}}{dt^2} = - \nabla V(\mathbf{x})

과 같은 고전적 운동 법칙은, 물리량들을 양자역학적 연산자로 다루었을 때 슈뢰딩거 묘사에서는 직접적으로 성립하지 않지만, 하이젠베르크 묘사에서는 운동방정식을 통해 위 식에 해당하는 관계를 얻을 수 있다. 또한, 연산자의 기댓값을 취하면 에렌페스트 정리가 도출되는 것도 이러한 고전역학과의 연관성을 보여준다.

이처럼 하이젠베르크 묘사는 고전 물리학과의 직접적인 유사성을 통해 양자 현상을 고전적 직관과 연결하여 이해하는 데 유용하다.

4. 2. 상대론적 양자역학에서의 유용성

하이젠베르크 묘사는 슈뢰딩거 묘사와 비교했을 때, 특히 상대성 이론과 같은 상대론적 이론을 다룰 때 더 자연스럽고 편리한 측면이 있다. 이는 하이젠베르크 묘사에서 로런츠 불변성이 명확하게 드러나기 때문이다. 하이젠베르크 묘사에서는 상태 벡터가 시간에 따라 변하지 않고 시간과 공간을 특별히 구분하지 않으므로, 상대성 이론의 기본 원리와 잘 부합한다. 이러한 이유로 상대론적 양자역학에서는 로런츠 불변성을 명확하게 기술하기 위해 주로 하이젠베르크 묘사를 사용한다.

5. 교환 관계

하이젠베르크 묘사에서는 물리량에 해당하는 연산자가 시간에 따라 변화한다. 이 때문에 서로 다른 시간 t_1과 t_2에서의 두 연산자 사이의 교환 관계는 연산자가 시간에 따라 변하지 않는 슈뢰딩거 묘사에서의 교환 관계와 일반적으로 다르게 나타난다.

연산자의 시간 변화는 하이젠베르크 운동 방정식에 의해 결정되며, 이는 계의 해밀토니안에 의존한다. 따라서 서로 다른 시간에서의 연산자 교환 관계, 예를 들어 [A(t_1), B(t_2)]의 값은 일반적으로 0이 아니거나, 슈뢰딩거 묘사에서의 값과 다를 수 있다.

하지만 중요한 점은 같은 시간, 즉 t_1 = t_2 = t일 경우, 하이젠베르크 묘사에서의 교환 관계는 슈뢰딩거 묘사에서의 정준 교환 관계와 동일하다는 것이다. 예를 들어, 동시각에서의 위치 연산자 \hat x(t)와 운동량 연산자 \hat p(t)의 교환 관계는 다음과 같이 항상 성립한다.

[\hat x(t), \hat p(t)] = i\hbar

마찬가지로, 같은 종류의 연산자 간의 동시각 교환 관계는 0이다.

[\hat x(t), \hat x(t)] = 0

[\hat p(t), \hat p(t)] = 0

이는 하이젠베르크 묘사가 양자역학의 기본 구조와 일관성을 유지함을 보여준다.

5. 1. 시간 의존성에 따른 교환 관계 변화

하이젠베르크 묘사에서는 연산자가 시간에 따라 변화하므로, 서로 다른 시간에서의 연산자들 사이의 교환 관계는 슈뢰딩거 묘사에서와 다를 수 있다. 예를 들어, 1차원 조화 진동자의 경우를 살펴보자. 이 계의 해밀토니안 \hat H는 다음과 같이 주어진다.

\hat H = \frac{\hat p^{2}}{2m} + \frac{m \omega^{2} \hat x^{2}}{2}.

여기서 \hat x는 위치 연산자, \hat p는 운동량 연산자, m은 질량, \omega는 각진동수이다.

하이젠베르크 운동 방정식에 따라, 시간에 따른 위치 연산자 \hat x(t)와 운동량 연산자 \hat p(t)의 변화는 다음과 같다.

{\mathrm d \over \mathrm dt} \hat x(t) = {i \over \hbar } [ \hat H , \hat x(t) ]=\frac {\hat p(t)}{m},

{\mathrm d \over \mathrm dt} \hat p(t) = {i \over \hbar } [ \hat H , \hat p(t) ]= -m \omega^{2} \hat x(t).

이 연립 미분 방정식을 초기 조건 \hat x(0) = \hat x_0와 \hat p(0) = \hat p_0에 대해 풀면 다음과 같은 해를 얻는다.

\hat x(t)=\hat x_{0}\cos(\omega t)+\frac{\hat p_{0}}{\omega m}\sin(\omega t),

\hat p(t)=\hat p_{0}\cos(\omega t)-m\omega\hat x_{0}\sin(\omega t).

이 해를 이용하여 서로 다른 시간 t_1과 t_2에서의 연산자들 사이의 교환 관계를 직접 계산하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

[\hat x(t_{1}), \hat x(t_{2})]=\frac{i\hbar}{m\omega}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1}),

[\hat p(t_{1}), \hat p(t_{2})]=i\hbar m\omega\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1}),

[\hat x(t_{1}), \hat p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1}).

이 결과는 일반적으로 0이 아니며, 두 시간 t_1과 t_2의 차이에 의존한다.

하지만 만약 두 시간이 같은 경우, 즉 t_1 = t_2 = t (동시각)인 경우를 생각해보자. 이때 \sin(\omega t_2 - \omega t_1) = \sin(0) = 0이고 \cos(\omega t_2 - \omega t_1) = \cos(0) = 1이므로, 교환 관계는 다음과 같이 단순화된다.

[\hat x(t), \hat x(t)]=0,

[\hat p(t), \hat p(t)]=0,

[\hat x(t), \hat p(t)]=i\hbar.

이것은 잘 알려진 정준 교환 관계이다. 따라서 하이젠베르크 묘사에서도 같은 시간에서의 연산자들은 슈뢰딩거 묘사에서와 동일한 정준 교환 관계를 만족한다는 것을 알 수 있다.


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