맨위로가기

시간 변화

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

시간 변화는 물리학에서 물리량의 값이 시간에 따라 변하는 것을 의미하며, 고전역학과 양자역학에서 다르게 표현된다. 고전역학에서는 뉴턴, 해밀턴, 라그랑주 역학을 통해 시간 발전을 설명하며, 양자역학에서는 측정값의 확률 분포 변화를 통해 시간 발전을 정의한다. 양자역학의 시간 발전은 슈뢰딩거, 하이젠베르크, 상호작용 묘사 등 세 가지 방법으로 나타낼 수 있으며, 닫힌 계의 경우 시간 발전 연산자를 통해 표현된다. 시간 변화 연산자는 유니터리 연산자이며 군의 성질을 지니고, 해밀토니안이 시간에 의존하지 않을 경우 슈뢰딩거 방정식을 통해 시간 변화 연산자를 구할 수 있다. 또한, 시간 변화 연산자는 전파 연산자로도 불리며, 물리적 시스템의 시간 진화를 나타내는 데 사용된다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 동역학계 - 가상일
    가상일은 역학계에서 외력이 가상 변위에 대해 하는 일의 합으로, 정역학에서는 계의 정적 평형 조건으로 활용되며, 달랑베르 원리를 통해 동역학에도 적용되어 구조 해석 및 계산에 널리 쓰이는 물리량이다.
  • 동역학계 - 위상 공간 (물리학)
    위상 공간은 역학계의 모든 가능한 상태를 모아 시스템의 상태 변수를 좌표로 나타낸 공간으로, 시간의 흐름에 따라 궤적을 그리며 시스템의 동역학적 거동을 분석하는 데 사용된다.
  • 물리학 사이드바 - 파울리 배타 원리
    파울리 배타 원리는 1925년 볼프강 파울리가 제시한 양자역학 원리로, 동일한 페르미온은 동일한 양자 상태에 존재할 수 없으며, 원자의 전자 배치, 화학 결합, 천체 특성 등을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.
  • 물리학 사이드바 - 양자역학
    양자역학은 20세기 초에 개발된 물리학 이론으로, 미시적인 계의 성질과 거동을 설명하며, 불확정성 원리, 파동-입자 이중성 등의 개념을 포함하고, 현대 기술과 현대 물리학에 중요한 영향을 미친다.
  • 역학 - 파울리 배타 원리
    파울리 배타 원리는 1925년 볼프강 파울리가 제시한 양자역학 원리로, 동일한 페르미온은 동일한 양자 상태에 존재할 수 없으며, 원자의 전자 배치, 화학 결합, 천체 특성 등을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.
  • 역학 - 양자역학
    양자역학은 20세기 초에 개발된 물리학 이론으로, 미시적인 계의 성질과 거동을 설명하며, 불확정성 원리, 파동-입자 이중성 등의 개념을 포함하고, 현대 기술과 현대 물리학에 중요한 영향을 미친다.
시간 변화

2. 고전역학에서의 시간 변화

고전 물리학에서의 시간 발전은 물리량의 값이 시간에 따라 변화하는 것을 말한다.

예를 들어 고전 역학의 한 형태인 뉴턴 역학에서는 시간 발전을 뉴턴의 운동 방정식으로 표현한다. 이것과 등가인 해밀턴 역학에서는 시간 발전을 정준 방정식으로 표현하며, 라그랑주 역학에서는 시간 발전을 오일러-라그랑주의 운동 방정식으로 표현한다.

3. 양자역학에서의 시간 변화

양자역학에서는 동일한 상태에서 같은 방식으로 물리량(관측 가능량)을 측정해도 측정값이 매번 다를 수 있다. 양자역학에서는 측정값의 확률 분포만이 유일하게 정해져 있으며, 이 확률 분포를 바탕으로 이론을 구축한다. 따라서 측정값의 확률 분포가 같다면 어떤 이론을 사용해도 무방하다. 실제로 연산자 형식이나 경로 적분 형식 등 다양한 이론이 존재한다.

양자역학에서 계의 시간 발전은 측정 시간에 따라 얻어지는 측정값의 확률 분포가 달라지는 것으로 정의된다. 이러한 시간 발전을 정식화하는 방법에는 여러 가지가 있지만, 다음 세 가지 방법이 대표적이며 서로 동등하다.


  • 슈뢰딩거 그림: 상태가 시간에 따라 변한다고 가정한다. 이 경우 슈뢰딩거 방정식이 시간 발전을 기술하는 기본 방정식이 된다.
  • 하이젠베르크 그림: 관측 가능량이 시간에 따라 변한다고 가정한다. 이 경우 하이젠베르크 운동 방정식이 시간 발전을 기술하는 기본 방정식이 된다.
  • 상호작용 그림: 상태와 관측 가능량이 모두 시간에 따라 변한다고 가정한다. 이 경우 시간 발전을 나타내는 방정식이 두 개 나타나며, 상태의 시간 발전을 나타내는 식은 토모나가-슈윙거 방정식이라고 불린다.


닫힌 계의 경우, 시간 ''t''에서의 상태 |\psi(t)\rang 는 초기 시간(''t'' = 0)에서의 상태 |\psi(0)\rang 를 유니타리 변환한 것과 같다. 즉, 벡터의 길이와 내적은 시간이 지나도 변하지 않는다.

3. 1. 시간 변화 연산자

양자역학의 슈뢰딩거 묘사에서, 시간 변화는 초기 시간 t_0의 상태 |\psi\rangle(t_0)\in\mathcal H를 나중 시간 t의 상태 |\psi\rangle(t)\in\mathcal H로 바꾸어 주는 연산자 U(t,t_0)\colon\mathcal H\to\mathcal H로 나타낼 수 있다. 이를 '''시간 변화 연산자'''(時間變化演算子, time evolution operator영어)라 한다.

:\begin{align}

U(t,t_0)\colon&&\mathcal H&\to\mathcal H\\

&&|\psi\rangle(t_0)&\mapsto|\psi\rangle(t).

\end{align}

만약 해밀토니언이 시간에 의존한다면, 시간 변화 연산자는 다이슨 전개(Dyson series영어)를 통해 나타낼 수 있다.

닫힌 계에서, 시각 ''t''에서의 상태 |\psi(t)\rang 는 시각 ''t'' = 0에서의 상태 |\psi(0)\rang 를 유니타리 변환한 것이다. 즉, 벡터의 길이와 내적은 시간이 지나도 변하지 않는다. 이 유니타리 변환은 힐베르트 공간 내에서의 변환이므로, 해당 공간 상의 연산자로 나타낼 수 있다. 이를 '''시간 발전 연산자''' (시간 추진 연산자라고도 불린다)라고 부르며, \hat{U}(t)로 표기한다.

:|\psi(t)\rang=\hat{U}(t)|\psi(0)\rang.

시간 발전 연산자가 만족해야 할 방정식은 슈뢰딩거 방정식으로부터 유도되며, 다음과 같다.

:i\hbar\frac{d}{dt}\hat{U}(t)=\hat{H}(t)\hat{U}(t)

해밀토니안 \hat{H}(t)로 표시되는 각 경우에 대해, 이 식을 초기 조건 \hat{U}(0)=\hat{1}로 풀면, 해당 경우의 시간 발전을 나타내는 시간 발전 연산자의 구체적인 형태를 얻을 수 있다.

3. 1. 1. 시간 변화 연산자의 성질

상태가 관측될 확률이 보존되므로, 시간 변화 연산자는 유니터리 연산자이다. 상태가 관측될 확률이 보존된다는 것은 다음을 의미한다.

:\langle \psi(t_0)|\psi(t_0)\rangle = \langle\psi(t)|\psi(t)\rangle

각 상태는 정규화되어 있으므로 양변은 모두 1이 된다. 이로부터 다음을 얻을 수 있다.

:U^\dagger(t,t_0)U(t,t_0) = 1

즉, 시간변화 연산자는 유니터리이다.

또한, 시간 변화 연산자는 다음과 같이 군의 성질을 지닌다.

  • U(t_2,t_1)U(t_1,t_0)=U(t_2,t_0)
  • U(t_0,t_0)=1
  • U(t,t_0)=U(t_0,t)^{-1}


만약 해밀토니언 H가 시간에 의존하지 않는다면, 시간 변화 연산자는 다음을 만족한다.

:U(t,t_0)=U(t+\Delta t,t_0+\Delta t)=U(t-t_0)

3. 1. 2. 슈뢰딩거 방정식과의 관계

양자역학의 슈뢰딩거 묘사에서 시간 변화는 초기 시간 t_0의 상태 |\psi\rangle(t_0)\in\mathcal H를 나중 시간 t의 상태 |\psi\rangle(t)\in\mathcal H로 바꾸어 주는 연산자 U(t,t_0)\colon\mathcal H\to\mathcal H로 나타낼 수 있다. 이를 '''시간 변화 연산자'''(時間變化演算子, time evolution operator영어)라 한다.

해밀토니언 H가 시간에 의존하지 않는다면, 시간 변화 연산자는 다음을 만족한다.

:U(t,t_0)=U(t+\Delta t,t_0+\Delta t)=U(t-t_0).

이 경우 슈뢰딩거 방정식을 적분하여 시간 변화 연산자를 다음과 같이 쓸 수 있다.

:U(t)=\exp(-itH_0/\hbar).

시간 변화 연산자를 미분하여 해밀토니언을 얻을 수 있다.

:H_0=i\hbar\frac{dU(t)}{dt}.

슈뢰딩거 그림에서 해밀토니안 연산자는 양자 상태의 시간 진화를 생성한다. \left| \psi (t) \right\rangle가 시간 t에서의 시스템 상태라면,[1]

: H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle.

이것은 슈뢰딩거 방정식이다. 초기 시간(t = 0)에서의 상태가 주어지고, H가 시간에 무관하다면, 유니타리 시간 진화 연산자 U(t)는 지수 연산자이다.[1]

: \left| \psi (t) \right\rangle = U(t)\left| \psi (0) \right\rangle = e^{-iHt/\hbar} \left| \psi (0) \right\rangle.

4. 전파 연산자 (Propagator)

수리 물리학에서, 맵핑 F''t'', ''s''는 '''전파 연산자''' 또는 간단히 전파자라고 불린다.[1] 고전역학에서 전파자는 물리적 시스템의 위상 공간에서 작동하는 함수이다. 양자역학에서 전파자는 일반적으로 힐베르트 공간에 대한 유니타리 연산자이다. 전파자는 통합된 해밀토니안의 시간 순서 지수 함수로 표현될 수 있으며, 시간 진화의 점근적 속성은 산란 행렬에 의해 주어진다.[1]

닫힌 계에서 시각 ''t''에서의 상태 |\psi(t)\rang 는 시각 ''t'' = 0에서의 상태 |\psi(0)\rang 를 유니타리 변환한 것이다. 즉, 벡터의 길이와 내적은 시간이 지나도 변하지 않는다.

이 유니타리 변환은 하나의 힐베르트 공간 내에서의 유니타리 변환이므로, 해당 힐베르트 공간 상의 연산자로 나타낼 수 있다. 이를 '''시간 발전 연산자''' (시간 추진 연산자라고도 불린다)라고 부르며, \hat{U}(t)로 표기한다.

:|\psi(t)\rang=\hat{U}(t)|\psi(0)\rang.

이는 다음 성질을 만족하는 유니타리 연산자이다.

:\hat{U}^\dagger(t)=\hat{U}^{-1}(t).

시간 발전 연산자가 만족해야 할 방정식은 슈뢰딩거 방정식으로부터,

:i\hbar\frac{d}{dt}\hat{U}(t)=\hat{H}(t)\hat{U}(t)

이다. 해밀토니안 \hat{H}(t)로 표시되는 각 경우에 대해, 이 식을 초기 조건 \hat{U}(0)=\hat{1}로 풀면, 해당 경우의 시간 발전을 나타내는 시간 발전 연산자의 구체적인 형태를 얻을 수 있다.

5. 비가역적 시스템에서의 시간 변화

비가역적 시스템의 경우, 전파 연산자 F''t'', ''s''는 ''t'' ≥ ''s''일 때마다 정의되며 다음의 전파 항등식을 만족한다.[1]

: \operatorname{F}_{u, t} (\operatorname{F}_{t, s} (x)) = \operatorname{F}_{u, s}(x) 모든 u \geq t \geq s에 대해.

균질한 경우, 전파자는 해밀토니안의 지수 함수이다.


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com