하이젠베르크 스핀 사슬

2. 정의

하이젠베르크 스핀 사슬은 양자역학적 모형의 일종으로, 스핀 사슬의 길이, 스핀의 표현, 그리고 실수 대칭 행렬 등의 요소들을 통해 정의된다. 이 모형은 힐베르트 공간과 해밀토니언 연산자를 사용하여 수학적으로 표현할 수 있다.

하이젠베르크 스핀 사슬의 힐베르트 공간은 주어진 요소들의 텐서곱으로 표현된다.

:$\backslash mathcal\; H=V^\{\backslash otimes\; L\}$

여기서 L은 스핀 사슬의 길이를 나타낸다.

s=1/2인 경우, 해밀토니언 연산자는 다음과 같이 주어진다.

:$H\_\{1/2\}\; =\; \backslash frac1\backslash hbar\; \backslash sum\_\{i=1\}^L\; J(\backslash vec\; \backslash sigma\_i,\backslash vec\; \backslash sigma\_\{i+1\})$

여기서 i는 법 L로 취급된다.

두 쌍극자 사이의 결합은 인접한 쌍극자가 정렬될 때 가장 낮은 에너지를 가지도록 한다. 이러한 가정 하에 1차원 주기적 격자에서 해밀토니안은 다음과 같이 표현된다.^[1]

:$\backslash hat\; H\; =\; -J\; \backslash sum\_\{j\; =1\}^\{N\}\; \backslash sigma\_j\; \backslash sigma\_\{j+1\}\; -\; h\; \backslash sum\_\{j\; =1\}^\{N\}\; \backslash sigma\_j$

여기서 J는 결합 상수, σ_j는 고전적인 벡터(스핀), h는 외부 자기장을 나타내며, 주기적 경계 조건 σ_N+1 = σ₁이 적용된다.

스핀을 양자 연산자로 대체하면, 해밀토니안은 다음과 같이 더 현실적인 형태로 표현된다.

:$\backslash hat\; H\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{N\}\; (J\_x\; \backslash sigma\_j^x\; \backslash sigma\_\{j+1\}^x\; +\; J\_y\; \backslash sigma\_j^y\; \backslash sigma\_\{j+1\}^y\; +\; J\_z\; \backslash sigma\_j^z\; \backslash sigma\_\{j+1\}^z\; +\; h\backslash sigma\_j^\{z\})$

여기서 σ^x, σ^y, σ^z는 파울리 행렬이다.

$J$의 고윳값에 따라 하이젠베르크 스핀 사슬은 XXX, XXZ, XYZ 스핀 사슬 등으로 분류된다. 또한, 사용되는 스핀 s를 첨자로 표기한다. 예를 들어, “XXX_½ 스핀 사슬”은 $J\_1=J\_2=J\_3$이며, $s=1/2$인 하이젠베르크 스핀 사슬을 뜻한다.^[1]

2. 1. 기본 요소

• 자연수 $L\backslash in\backslash mathbb\; N$: 스핀 사슬의 '''길이'''이다.
• SU(2)의 복소수 표현 $V=\backslash mathbb\; C^\{2s+1\}$, $\backslash vec\backslash sigma\_\{ab\}$, $a,b\backslash in\backslash \{1,2,\backslash dotsc,2s+1\backslash \}$: 스핀 $s\backslash in\backslash \{0,1/2,1,3/2,2,\backslash dotsc\backslash \}$에 의하여 유일하게 결정되며, 스핀 $s$에 대응되는 표현은 $2s+1$ 복소수 차원 표현이다.
• 3×3 실수 대칭 행렬 $J\_\{ij\}\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(3;\backslash mathbb\; R)$: 이 데이터에 의하여 주어지는 하이젠베르크 스핀 사슬의 힐베르트 공간은 텐서곱 $\backslash mathcal\; H=V^\{\backslash otimes\; L\}$이다. 각 $i\backslash in\backslash \{1,\backslash dotsc,L\backslash \}$에 대하여, 그 스핀에 대응하는 힐베르트 공간 $V\_i$ 및 그 위에만 작용하는 $\backslash operatorname\{SU\}(2)$ 표현 $\backslash vec\backslash sigma\_i$를 정의할 수 있다.

• 만약 $J$의 세 고윳값 $(J\_1,J\_2,J\_3)$이 모두 같다면 (즉, $J$가 $\backslash operatorname\; O(3)$ 불변이라면), 이를 '''하이젠베르크 XXX 스핀 사슬'''(Heisenberg XXX spin chain^영어)이라고 한다.
• 이 경우, 만약 $J\_1=J\_2=J\_3>0$이 양수라면 이는 '''강자성 XXX 스핀 사슬'''(強磁性XXX spin사슬, ferromagnetic XXX spin chain^영어)이라고 한다.
• 이 경우, 만약 이 음수라면 이는 '''반강자성 XXX 스핀 사슬'''(反強磁性XXX spin사슬, antiferromagnetic XXX spin chain^영어)이라고 한다.
• 만약 $J$의 세 고윳값 $(J\_1,J\_2,J\_3)$ 가운데 두 개가 같다면 (즉, $J$가 $\backslash operatorname\; O(2)$ 불변이라면), 이를 '''하이젠베르크 XXZ 스핀 사슬'''(Heisenberg XXZ spin chain^영어)이라고 한다.
• 만약 $J$의 세 고윳값 $(J\_1,J\_2,J\_3)$이 모두 서로 다르다면 (즉, $J$의 안정자군이 자명군이라면), 이를 '''하이젠베르크 XYZ 스핀 사슬'''(Heisenberg XYZ spin chain^영어)이라고 한다.

2. 2. 힐베르트 공간

• 자연수 $L\backslash in\backslash mathbb\; N$. 이는 스핀 사슬의 '''길이'''이다.
• SU(2)의 복소수 표현 $V=\backslash mathbb\; C^\{2s+1\}$, $\backslash vec\backslash sigma\_\{ab\}$, $a,b\backslash in\backslash \{1,2,\backslash dotsc,2s+1\backslash \}$. 이는 스핀 $s\backslash in\backslash \{0,1/2,1,3/2,2,\backslash dotsc\backslash \}$에 의하여 유일하게 결정되며, 스핀 $s$에 대응되는 표현은 $2s+1$ 복소수 차원 표현이다.
• 3×3 실수 대칭 행렬 $J\_\{ij\}\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(3;\backslash mathbb\; R)$.

2. 3. 해밀토니언 연산자

• 만약 $J$의 세 고윳값 $(J\_1,\; J\_2,\; J\_3)$이 모두 같다면 (즉, $J$가 $\backslash operatorname\; O(3)$ 불변이라면), 이를 '''하이젠베르크 XXX 스핀 사슬'''(Heisenberg XXX spin chain^영어)이라고 한다.
• 이 경우, 만약 $J\_1=J\_2=J\_3>0$이 양수라면 이는 '''강자성 XXX 스핀 사슬'''(강자성XXX 스핀사슬, ferromagnetic XXX spin chain^영어)이라고 한다.
• 이 경우, 만약 이 음수라면 이는 '''반강자성 XXX 스핀 사슬'''(반강자성XXX 스핀사슬, antiferromagnetic XXX spin chain^영어)이라고 한다.
• 만약 $J$의 세 고윳값 $(J\_1,\; J\_2,\; J\_3)$ 가운데 두 개가 같다면 (즉, $J$가 $\backslash operatorname\; O(2)$ 불변이라면), 이를 '''하이젠베르크 XXZ 스핀 사슬'''(Heisenberg XXZ spin chain^영어)이라고 한다.
• 만약 $J$의 세 고윳값 $(J\_1,\; J\_2,\; J\_3)$이 모두 서로 다르다면 (즉, $J$의 안정자군이 자명군이라면), 이를 '''하이젠베르크 XYZ 스핀 사슬'''(Heisenberg XYZ spin chain^영어)이라고 한다.

2. 4. 모델 종류

• 만약 $J$의 세 고윳값 $(J\_1,\; J\_2,\; J\_3)$이 모두 같다면 (즉, $J$가 $\backslash operatorname\; O(3)$ 불변이라면), 이를 '''하이젠베르크 XXX 스핀 사슬'''(Heisenberg XXX spin chain^영어)이라고 한다.
• 이 경우, 만약 $J\_1=J\_2=J\_3>0$이 양수라면 이는 '''강자성 XXX 스핀 사슬'''(強磁性XXX spin사슬, ferromagnetic XXX spin chain^영어)이라고 한다.
• 이 경우, 만약 이 음수라면 이는 '''반강자성 XXX 스핀 사슬'''(反強磁性XXX spin사슬, antiferromagnetic XXX spin chain^영어)이라고 한다.
• 만약 $J$의 세 고윳값 $(J\_1,\; J\_2,\; J\_3)$ 가운데 두 개가 같다면 (즉, $J$가 $\backslash operatorname\; O(2)$ 불변이라면), 이를 '''하이젠베르크 XXZ 스핀 사슬'''(Heisenberg XXZ spin chain^영어)이라고 한다.
• 만약 $J$의 세 고윳값 $(J\_1,\; J\_2,\; J\_3)$이 모두 서로 다르다면 (즉, $J$의 안정자군이 자명군이라면), 이를 '''하이젠베르크 XYZ 스핀 사슬'''(Heisenberg XYZ spin chain^영어)이라고 한다.