한켈 행렬

3. 정의 및 구성

한켈 행렬은 대각선 방향의 성분들이 같은 값을 가지는 행렬이다. n×n 한켈 행렬의 행렬 요소 m_j,k는 수열 {a_i} (i=0,...,2n)에 대해 m_j,k = a_j+k-2 (1≦j≦n, 1≦k≦n)으로 결정된다.^[1]

:$\backslash begin\{bmatrix\}$

a & b & c & d & e \\

b & c & d & e & f \\

c & d & e & f & g \\

d & e & f & g & h \\

e & f & g & h & i \\

\end{bmatrix}

한켈 행렬은 토플리츠 행렬(한켈 행렬이 상하 반전된 것)과 관련이 있다. 한켈 행렬의 특수한 경우로 힐베르트 행렬이 있다.

4. 성질

• 모든 한켈 행렬은 대칭 행렬이다.
• n × n^영어 교환 행렬 J_n^영어에 대해, m × n^영어 한켈 행렬 H^영어는 H = T J_n^영어을 만족하는 m × n^영어 토플리츠 행렬 T^영어가 존재한다.
• 만약 T^영어가 실수 대칭 행렬이라면, H = T J_n^영어은 부호를 제외하고 T^영어와 동일한 고유값을 갖는다.^[1]
• 힐베르트 행렬은 한켈 행렬의 한 예이다.
• 한켈 행렬의 행렬식은 카탈렉티컨트라고 불린다.

5. 한켈 연산자

주어진 형식적 로랑 급수

$$$$

f(z) = \sum_{n=-\infty}^N a_n z^n,



에 대한 '''한켈 연산자'''($H\_f$)는 다음과 같이 정의된다.^[2] 이는 다항식 $g\; \backslash in\; \backslash mathbf\; C[z]$를 $fg$의 곱으로 보내지만, 음이 아닌 지수를 갖는 모든 $z$의 거듭제곱을 버리고 엄격하게 음의 지수를 갖는 형식적 멱급수 $z^\{-1\}\; \backslash mathbf\; Cz^\{-1\}$의 원소를 제공하는 사상이다. 즉,

$$$$

H_f : \mathbf C[z] \to \mathbf z^{-1} \mathbf Cz^{-1}.



이다.

사상 $H\_f$는 자연스러운 방식으로 $\backslash mathbf\; C[z]$-선형이며, 원소 $1,\; z,\; z^2,\; \backslash dots\; \backslash in\; \backslash mathbf\; C[z]$ 및 $z^\{-1\},\; z^\{-2\},\; \backslash dots\; \backslash in\; z^\{-1\}\backslash mathbf\; Cz^\{-1\}$에 대한 행렬은 한켈 행렬이다.

$$\backslash begin\{bmatrix\}$$

a_1 & a_2 & \ldots \\

a_2 & a_3 & \ldots \\

a_3 & a_4 & \ldots \\

\vdots & \vdots & \ddots

\end{bmatrix}.

모든 한켈 행렬은 이런 방식으로 발생한다. 크로네커의 정리에 따르면, 이 행렬의 계수가 유한한 것은 $f$가 유리 함수, 즉 두 다항식의 분수

$$$$

f(z) = \frac{p(z)}{q(z)}.



일 때이다.

6. 한켈 행렬 변환

'''행켈 행렬 변환'''(또는 간단히 '''행켈 변환''')은 수열 $b\_k$의 한켈 행렬의 행렬식으로 이루어진 수열이다. 정수 $n\; >\; 0$에 대해, $(n\; \backslash times\; n)$ 차원 한켈 행렬 $B\_n$은 행렬 요소 $[B\_n]\_\{i,j\}\; =\; b\_\{i+j\}$로 정의된다. 이때 수열 $h\_n$은 다음과 같이 정의된다.

$$$$

h_n = \det B_n



이 수열 $h\_n$은 수열 $b\_k$의 행켈 변환이다. 행켈 변환은 수열의 이항 변환에 대해 불변하는 성질을 가진다. 즉, 수열 $b\_n$의 이항 변환을 다음과 같이 정의하면,

$$$$

c_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} b_k



$\backslash det\; B\_n\; =\; \backslash det\; C\_n$이 성립한다.

7. 응용

한켈 행렬은 주어진 출력 데이터를 바탕으로 기저 상태 공간 또는 은닉 마르코프 모델을 실현할 때 사용된다.^[3] 이 행렬의 특이값 분해를 통해 상태 공간 실현에 필요한 ''A'', ''B'', ''C'' 행렬을 계산할 수 있다.^[4] 신호 처리 분야에서 한켈 행렬은 비정상 신호 분해 및 시간-주파수 표현에 유용하게 활용된다.

적률법을 다항 분포에 적용하면, 가중치 매개변수를 얻기 위해 역행렬 계산이 필요한 한켈 행렬이 생성된다.^[5]

7. 1. 긍정적 한켈 행렬과 Hamburger 모멘트 문제

참조

_[1] 논문 A Spectral Characterization of Hermitian Centrosymmetric and Hermitian Skew-Centrosymmetric K-Matrices
_[2] 서적
_[3] 서적 Notes on Economic Time Series Analysis : System Theoretic Perspectives Springer
_[4] 서적 Notes on Economic Time Series Analysis : System Theoretic Perspectives Springer
_[5] 논문 Polynomial probability distribution estimation using the method of moments